【原】用R語言用Nelson Siegel和線性插值模型對(duì)債券價(jià)格和收益率建模

拓端數(shù)據(jù) 2020-04-29

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債券基礎(chǔ)

鍵是一個(gè)合同,，作者與初始付款義務(wù)以預(yù)定的時(shí)間（s）（成熟）的錢付預(yù)定量。這類似于借入利息和付款結(jié)構(gòu)的錢,。
零息債券 是一種特殊類型的鍵,，其在到期時(shí)支付出僅一次沒有中間付款。
債券的面額/票面金額/本金是發(fā)行人在到期時(shí)所支付的金額,。標(biāo)準(zhǔn)價(jià)值通常為$ 1000,。
債券可以參考價(jià)格或收益,。例如,，將支付$ 100的零息債券的價(jià)格可以是$ 90。但收益率將是（100-90）/ 90 = 11％（100-90）/ 90 = 11％，而不是10％10％,。
債券價(jià)格的一個(gè)常見約定是,，它們最終收于100。這就是為什么當(dāng)利率上升時(shí)，債券價(jià)格下降,，反之亦然,。另一種慣例是美分兌美元（例如，90美分兌美元）。
債券收益率被稱為年利率,。例如,，十年期政府債券的收益率為2％，這意味著它的年收益將為2％,，而不是10年后,。
債券可以在二級(jí)市場(chǎng)上交易（一級(jí)市場(chǎng)是債券發(fā)行過程）。如果利率增加,，債券的價(jià)值就會(huì)增加,，如果利率降低,，債券的價(jià)值就會(huì)減少,，這僅僅是因?yàn)樵搨窃诶矢淖冎耙员阋?昂貴的價(jià)格發(fā)行的,。也可以做空債券。
即使不期望債券產(chǎn)生負(fù)利率，也不是完全看不見的,。在危機(jī)時(shí)期,，政府債券甚至公司債券可以負(fù)收益進(jìn)行交易。

定價(jià)債券

債券價(jià)格是通過使用票面利率和現(xiàn)金流量確定債券的現(xiàn)值來確定的,。

其中CFt是時(shí)間tt的現(xiàn)金流量，B（0,，t）是美元的折扣率或時(shí)間00的價(jià)格,。

其中R（0,，t）是在時(shí)間為tt時(shí)在時(shí)間00的年度即期匯率,。我們可以重新安排

B（0，t）也可以稱為零息債券的價(jià)格,。大多數(shù)債券不是零息債券,，但是有可能使用零息債券構(gòu)造幾乎所有支付結(jié)構(gòu),。

我們可以暗示與市場(chǎng)債券不同期限的零息票利率。然后,，我們可以使用這些利率建立期限結(jié)構(gòu)模型來對(duì)任何債券定價(jià)。嚴(yán)格違反期限結(jié)構(gòu)可能是買賣機(jī)會(huì),，也可能是套利機(jī)會(huì)。

calculate_bond_price<-function(face_value=1000,coupon_rate=0.05,maturity=1,yearly_coupons=0){ #This function calculates the price of the bond B(0,t) given #its face value, maturity, annual coupon rate and equidistant payment #if yearly_coupons == 0, it only pays out at the maturity #if yearly_coupons == 1, it pays out annually #if yearly_coupons == 2, it pays out semiannually if(yearly_coupons==0){ face_value/((1+coupon_rate)^maturity) }else{ face_value/((1+coupon_rate/yearly_coupons)^(yearly_coupons*maturity)) }

}calculate_bond_price()## [1] 952.381

如果我們有適當(dāng)?shù)淖C券,，我們也可以從付息債券中構(gòu)造零息債券,。從講義中假設(shè)我們有兩個(gè)紐帶。

1年期純貼現(xiàn)債券在$ 95出售,。
兩年期8％的債券售價(jià)99美元,。

2年期純折價(jià)債券的價(jià)格為99-0.08（95）= 91.499-0.08（95）= 91.4（通過買入兩年期債券多頭和買入一年期債券空頭0.08個(gè)單位（以抵消第一個(gè)債券的收益）年優(yōu)惠券）。

復(fù)利類型

簡(jiǎn)單復(fù)合

這是僅應(yīng)用一次利率的方法,。假設(shè)利率為0.05,，期限為2年。100美元的價(jià)格在到期時(shí)將是多少,。

定期復(fù)利

如果將利息永久添加到本金投資中,，那么我們的復(fù)利就是利率。假設(shè)相同的示例,，但每半年復(fù)算一次,。

產(chǎn)生的年名義利率為。

連續(xù)復(fù)利

現(xiàn)在,，假設(shè)復(fù)利的頻率很高,，以至于在兩次加息之間的時(shí)間間隔是無限的（接近零）。然后在極限情況下

看起來很熟悉,？

因此,，以我們的示例為例，連續(xù)復(fù)利的年利率是

給定一組零息票債券價(jià)格,，我們可以計(jì)算連續(xù)收益率

#Example bond price is 0.987 and maturity is half a year.calculate_yield(0.987,0.5)## [1] 0.02617048

遠(yuǎn)期匯率

假設(shè)有兩個(gè)到期日不同的債券

可以重新排列成

imply_forward_rate<-function(R0t1=0.04,R0t2=0.045,t1=1,t2=2){

((1+R0t2)^t2/(1+R0t1)^t1)^(1/(t2-t1)) -1

}imply_forward_rate()## [1] 0.05002404

到期日的相關(guān)性

利率不僅隨著到期日變化,，而且隨著時(shí)間變化。我們還將調(diào)用某些數(shù)據(jù)和計(jì)算,。

讓我們加載庫(kù)并檢查美聯(lián)儲(chǔ)收益率曲線數(shù)據(jù),。

## R_3M R_6M R_1Y R_2Y R_3Y R_5Y R_7Y R_10Y## 1981-12-31 12.92 13.90 14.32 14.57 14.64 14.65 14.67 14.59## 1982-01-31 14.28 14.81 14.73 14.82 14.73 14.54 14.46 14.43## 1982-02-28 13.31 13.83 13.95 14.19 14.13 13.98 13.93 13.86## 1982-03-31 13.34 13.87 13.98 14.20 14.18 14.00 13.94 13.87## 1982-04-30 12.71 13.13 13.34 13.78 13.77 13.75 13.74 13.62## 1982-05-31 13.08 13.76 14.07 14.47 14.48 14.43 14.47 14.30

相關(guān)矩陣顯示出收益率沒有完全相關(guān)，因此時(shí)間形狀會(huì)發(fā)生變化,。

	R_3M	R_6M	R_1Y	R_2Y	R_3Y	R_5Y	R_7Y	R_10Y
R_3M	1.0000000	0.9983390	0.9940045	0.9837559	0.9744780	0.9546189	0.9399504	0.9230412
R_6M	0.9983390	1.0000000	0.9981715	0.9899820	0.9817197	0.9632268	0.9491761	0.9332366
R_1Y	0.9940045	0.9981715	1.0000000	0.9959937	0.9900195	0.9746174	0.9621895	0.9478956
R_2Y	0.9837559	0.9899820	0.9959937	1.0000000	0.9984844	0.9896811	0.9808896	0.9694621
R_3Y	0.9744780	0.9817197	0.9900195	0.9984844	1.0000000	0.9958583	0.9896185	0.9804575
R_5Y	0.9546189	0.9632268	0.9746174	0.9896811	0.9958583	1.0000000	0.9983629	0.9936744
R_7Y	0.9399504	0.9491761	0.9621895	0.9808896	0.9896185	0.9983629	1.0000000	0.9981232
R_10Y	0.9230412	0.9332366	0.9478956	0.9694621	0.9804575	0.9936744	0.9981232	1.0000000

債券價(jià)格和收益率

在這一部分中,，我們將看到提取和構(gòu)建債券價(jià)格和收益率的方法。

直接法

假設(shè)您得到以下債券利率,。請(qǐng)記住，名義匯率是100,。

	優(yōu)惠券	到期	價(jià)錢
債券1	5.0	1個(gè)	101.0
債券2	5.5	2	101.5
債券3	5.0	3	99.0
債券4	6.0	4	100.0

零息債券價(jià)格（B（0,，t）B（0,，t）

然后我們得到

get_zero_coupon()## $B0t## [1] 0.9619048 0.9119386 0.8536265 0.7890111## ## $R0t## [1] 0.03960396 0.04717001 0.05417012 0.06103379

線性插值

R03<-0.055R04<-0.06

R03p75<-((4-3.75)*0.055+(3.75-3)*0.06)/(4-3)R03p75## [1] 0.05875##Or use the R functionyield_interpolate<-approxfun(x=c(3,4),y=c(0.055,0.06))yield_interpolate(3.75)## [1] 0.05875

三次插值

假設(shè)我們的費(fèi)率如下：

#Interpolate for a bond of 2.5 yearst_val<-2.5sum(abcd_vec*((2.5)^(3:0)))## [1] 0.0534375## [1] 0.0534375

間接方法（Nelson Siegel）

代替引導(dǎo)技術(shù)，我們將使用模型,。尼爾森·西格爾（Nelson Siegel）模型是模擬利率收益率曲線的一種流行方法,。

其中θ是到期日，β0是級(jí)別參數(shù)（長(zhǎng)期收益率）,，β1是斜率參數(shù)（長(zhǎng)期/短期擴(kuò)展）,，β2是曲率參數(shù)，τ是比例參數(shù),。

ns_data <-data.frame(maturity=1:30) %>%mutate(ns_yield=nelson_siegel_calculate(theta=maturity,tau=3.3,beta0=0.07,beta1=-0.02,beta2=0.01))

head(ns_data)## maturity ns_yield## 1 1 0.05398726## 2 2 0.05704572## 3 3 0.05940289## 4 4 0.06122926## 5 5 0.06265277## 6 6 0.06376956ggplot(data=ns_data, aes(x=maturity,y=ns_yield)) + geom_point() + geom_line()

可以使用參數(shù)來更好地估計(jì)收益曲線,。

Nelson Siegel參數(shù)的估計(jì)

YieldCurve 上述R包具有Nelson Siegel曲線估計(jì)功能。

## beta_0 beta_1 beta_2 lambda## 1981-12-31 14.70711 -5.3917409 3.269125 0.5123605## 1982-01-31 14.35240 -0.7602066 2.834508 0.1887807## 1982-02-28 13.74481 -0.9247232 2.681840 0.1236869

注意：我們將lambda稱為tau（ττ）（形狀參數(shù)）,。

Beta靈敏度

考慮提供Fi未來現(xiàn)金流的債券價(jià)格 ,。因此，帶有beta參數(shù)的價(jià)格變化如下,。

nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=2)## Beta0 Beta1 Beta2 ## -192.51332 -141.08199 -41.27936nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=7)## Beta0 Beta1 Beta2 ## -545.4198 -224.7767 -156.7335nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=15)## Beta0 Beta1 Beta2 ## -812.6079 -207.1989 -173.0285