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偉大的前蘇聯(lián)物理學(xué)家列夫·朗道和葉夫根尼·利夫希茨在他們的著作《經(jīng)典場論》中寫道：“建立在相對論基礎(chǔ)上的引力場理論被稱為廣義相對論,，它是由愛因斯坦建立的，并且可能是現(xiàn)存的物理理論中最美麗的一個,?！?/p>

所有認真研究過廣義相對論的人都會覺得它具有一種獨特的吸引力。20世紀(jì)最具影響力的物理學(xué)家之一,、英國理論物理學(xué)家保羅·狄拉克曾說過：

“很難將牛頓引力理論與其力的瞬時傳播相協(xié)調(diào),，使之符合狹義相對論的要求；然而,，愛因斯坦卻解決了這一問題,，相對論理論也由此誕生——這可能是有史以來最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)?！?/p>

本文中,，筆者將結(jié)合昌德拉塞卡的文章（任何遺漏或不清楚的細節(jié)都可以在作品文章中找到），并試圖說明為何這些偉大科學(xué)家都做出了如此有力的陳述,。

仔細觀察下圖：

當(dāng)時鐘向上移動時,，根據(jù)狹義相對論,，時鐘A和時鐘B測量的時間間隔與真空中的時鐘C測量的相應(yīng)間隔具有以下關(guān)系：

結(jié)合這兩個表達式，可以得到：

在以上方程中還使用到了托里拆利公式和引力勢的概念：

現(xiàn)在,，如果把時鐘B放到?jīng)]有引力場的位置x上,，那么上面的表達式將變成：

公式1：兩次的時間間隔如何隨引力勢U（x）的變化而變化。

在牛頓力學(xué)中,，有兩種概念的質(zhì)量,，即慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量。前者是一種測量外力阻力的方法（根據(jù)牛頓第二定律）,。后者是引力場的來源,，也是另一個大質(zhì)量物體對引力場的反應(yīng)。

兩個質(zhì)量分別為M與m的物體相距R，它們之間的引力可表示為：

根據(jù)牛頓第二定律,，物體m（或M）的加速度為：

公式2：慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量之所以會相等,，是因為加速度的大小并不取決于物體的質(zhì)量。因為加速度是不變的,，所以質(zhì)量比必須是常數(shù),。很明顯，此時該常數(shù)為1,。

事實上,，加速度a的大小無關(guān)于質(zhì)量m,，這也意味著上述的質(zhì)量比是一個普適常數(shù)。由此推斷,，慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量的大小相等,。

在狹義相對論中，閔可夫斯基距離表現(xiàn)為以下形式：

公式3：狹義相對論中的閔可夫斯基距離,。

其中dτ表示其本征時間,。沿世界線的本征時間（物體在時空中的軌跡）是由沿著該線的時鐘測量出的時間。

如上圖所示，時空中的世界線可以有以下三種：

· 光速曲線,，每一點都表示光速,。這樣的世界線在時空中形成了一個光錐。

· 時間曲線,。這些速度小于光速的曲線落在光錐內(nèi)（注意：大質(zhì)量粒子的世界線都是時間型曲線）

· 空間曲線,。例如，這些曲線表示物體的長度,。

本征時間dτ的長短取決于時空的性質(zhì)。在時空的某個區(qū)域,，如果方程2有效,，那么就可以將其代入方程3，并得出：

公式4：由恒定引力場引起的閔可夫斯基時空間隔的變化,。

現(xiàn)在,，可以考慮進行坐標(biāo)變換，將其放入一個勻加速的參考系中,。新的x和t變成：

公式5：通過坐標(biāo)變換將其放入一個勻加速的參考系,。

y和z保持不變。閔可夫斯基區(qū)間方程3用該坐標(biāo)表示如下：

公式6：勻加速的參考系中的閔可夫斯基距離,。

現(xiàn)在,，在變換方程5中選擇時間小于或等于c/g的次數(shù)，并進行簡單展開,，即新的時空間隔方程3變成：

公式7：用非慣性坐標(biāo)表示的平直閔可夫斯基時空中的時空間隔,。

注意，它的形式與方程4相同,。因此,，根據(jù)等效原理，轉(zhuǎn)換成一個加速參考系相當(dāng)于引入一個引力場,。

到目前為止,，我們只考慮了閔可夫斯基度量下的小偏差。與愛因斯坦相同,，我們也假設(shè),，一般來說（不僅是小偏差）引力場的存在扭曲了時空的幾何結(jié)構(gòu)。更準(zhǔn)確地說,，愛因斯坦的引力理論認為,，在引力場存在的情況下，時空會成為一個光滑的偽黎曼流形,，并具有以下形式的時空間隔：

公式8：偽黎曼流形上的時空間隔,。

在閔可夫斯基時空中，粒子以勻速直線運動：

公式10：在閔可夫斯基時空中,，粒子以勻速直線運動,。

在沒有重力的情況下，讓我們把下列變換成一個曲線坐標(biāo)系：

公式11：在沒有重力的情況下轉(zhuǎn)換成曲線坐標(biāo),。

時空間隔變?yōu)椋?/p>

方程12：變換后的時空間隔方程11,。

其中：

方程13：變換后的度量張量公式11。

在上圖的慣性參考系中,，黑球以直線運動,。然而，站在旋轉(zhuǎn)參照系（底部）中的觀察者（紅點）看到,，由于該參照系中存在科里奧利力和離心力,，該黑球沿著彎曲的路徑行進。

運動方程10成為普遍存在的測地線方程：

方程14：運動方程10經(jīng)坐標(biāo)變換后變?yōu)榉匠?1,，此時仍然沒有重力,。

其中物體被稱為克氏符號。

方程15：在測地線方程中出現(xiàn)的克氏符號,。

在方程14中,，克氏符號產(chǎn)生一種“明顯的”加速度，這種加速度只是在用曲線坐標(biāo)描述笛卡爾坐標(biāo)系中的線性運動時產(chǎn)生的,。但它們實際上是慣性加速度（例如科里奧利加速度）,。

但是根據(jù)等價原理，所有的加速度,，無論是慣性加速度還是重力加速度,，都是度量：重力扭曲了時空幾何（這是一個具有相關(guān)度量的擬黎曼流形），并且粒子在時空中沿著方程16給出的測地線進行運動,。

方程16：粒子在時空中運動所依據(jù)的測地線運動方程,。

在牛頓物理學(xué)中，描述引力場的方程是用引力勢U來表示的,。當(dāng)沒有引力時,，只有U=0,；當(dāng)有一個大質(zhì)量物體，但受其場影響的被測粒子在物體外時,，有?2U=0,；在有物質(zhì)的區(qū)域，方程變?yōu)?2U=4πGρ,。

再試試如何把這三個方程應(yīng)用于廣義相對論,。

首先，假設(shè)有一個粒子根據(jù)方程16來進行運動,。如果方程16通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可變?yōu)榉匠?0,，那么這就意味著粒子不在引力場中。

同樣,，在目前的重力下,，克氏符號在任何坐標(biāo)變換后都不能消失。利用克氏符號的變換規(guī)律就很容易證明,，如果要通過一個普通的坐標(biāo)變換來使得所有的克氏符號都消失,，只有當(dāng)方程17中的四個變換fs對于方程18有解。

方程17：應(yīng)用于克氏符號的變換,。

方程18：克氏符號消失的條件,。

如果所謂的黎曼-克氏張量消失，就會發(fā)生這種情況,。后者由以下給出：

方程19：黎曼曲率張量或黎曼-克氏張量,。

我們得出結(jié)論，引力場不存在的條件是：

方程20：失重的條件,。這個方程是U=0牛頓方程在相對論理論下的結(jié)果,。

這個方程是牛頓方程U=0的廣義相對論版本?？梢?，?2U=0最簡單的概括是方程20的收縮，即：

方程21：里奇標(biāo)量的消失是?2U=0牛頓方程在相對論下的結(jié)果,。

這個消失的物體叫做里奇張量,。最后一步是確定?2U=4πGρ右側(cè)的歸納。在此,，首先想到的是能量動量張量,。通過狹義相對論，我們可以知道它的導(dǎo)數(shù)消失了,。但是廣義相對論是協(xié)變理論,，所以標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)數(shù)的消失是不夠的：我們還需要T的協(xié)變導(dǎo)數(shù)消失，并且這在所有坐標(biāo)系中都滿足。

但里奇張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)是非零的,。通過引入一個相關(guān)且協(xié)變導(dǎo)數(shù)會消失的張量,，即所謂的愛因斯坦張量，這一問題就會得以解決,。

因此,，愛因斯坦引力定律變成：

通過要求在c → ∞的區(qū)間內(nèi)，可以獲得常數(shù)k,，并且牛頓的理論也能得以應(yīng)用,。

最美麗的物理理論，你感受到它的魅力了嘛,？