如果看過電影的話你會(huì)發(fā)現(xiàn),，這就是電影《美麗心靈》（2001）中的角色約翰·納什首次向他的朋友們解釋有關(guān)他天才般的有關(guān)“博弈論”（governing dynamics）的新發(fā)現(xiàn),。當(dāng)然，事實(shí)上,，這并不是真實(shí)的約翰·福布斯·納什想到的,，他也不是這樣描述“博弈論”概念的。這篇文章的目的是更加準(zhǔn)確和全面地描述納什均衡提出的過程和其價(jià)值,。

納什均衡是是非合作博弈的概念,，涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的博弈者，假設(shè)其中每個(gè)博弈者都知道其他博弈者的均衡策略,，單個(gè)博弈者都無(wú)法通過單方面改變自己的策略來獲取利益(Osborne et al, 1994),。

定理可以被非正式地描述為：

如果沒有一方博弈者能通過單方面改變自身策略來獲取更大收益，那么這個(gè)策略就是納什均衡,。

也就是說,，在一個(gè)二人游戲中，如果已知玩家B選擇的情況下,，玩家 A 的策略是最優(yōu)的,，同時(shí)已知玩家A策略的情況下，玩家 B 策略也是最優(yōu)的,，那么這一對(duì)策略構(gòu)成納什均衡,。沒有一個(gè)玩家可以通過單方面改變自己的策略獲得更優(yōu)的結(jié)果。關(guān)鍵的是,，玩家都不知道對(duì)方的策略,，僅根據(jù)自身的利益選擇最優(yōu)策略（也知曉其他玩家的利益）。

推廣到 n 個(gè)玩家的情況,，可定義為：

納什的論文證明（1950c）使用了布勞威爾定點(diǎn)定理,。由于戴維·蓋爾的功勞,，納什利用更簡(jiǎn)單的方式（角谷定點(diǎn)定理）給出了相同的證明,。

條件 1 的前提是Σ是單純形，因此其為緊湊的,?！巴埂痹从谕婕夷軌蚧旌喜呗浴Ｍ婕冶仨氝x擇策略因此Σ為非空的,。

條件 2 和 3 可通過Berge 最大值定理（Berge's maximum theorem）證明,。因?yàn)?u? 是連續(xù)且緊湊的，所以 r(σ) 是非空的且上半連續(xù)的,。

條件 4 也是由于混合策略的原因,。假設(shè) σ?, σ?' ∈ r(σ??)，然后 λσ? + (1 - λ)σ?' ∈ r(σ??),。即如果兩個(gè)策略產(chǎn)生最大收益,，則兩個(gè)策略混合也會(huì)產(chǎn)生同等收益。

因此,，r 和納什均衡中存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

正式的游戲通常包含三個(gè)元素：玩家,，策略和每個(gè)玩家的收益。收益函數(shù)代表每個(gè)玩家對(duì)于策略的偏好,，策略集是玩家在游戲中的策略列表,。可以在示意圖中解釋三種元素,，并稱其為收益矩陣,，來表明兩玩家的策略（兩個(gè)玩家各有兩種策略）：

 左：游戲1的收益矩陣,，為一個(gè)“協(xié)調(diào)博弈”。右：游戲2的收益矩陣,，“錢幣配對(duì)”游戲（猜拳）

在每個(gè)游戲中,，兩個(gè)玩家都可以從A和B兩種策略中任選一種。

純策略的納什均衡指的是：沒有任何一個(gè)參與者可以通過單方面偏離和輪換策略來獲得更高的預(yù)期收益,。

在游戲1中,，如果他們選擇不同的策略（A，B）或（B,，A）,，則兩者的收益均為0。如果他們都選擇策略A,，則兩者都會(huì)得到收益2,。如果他們都選擇策略B，則兩者都會(huì)得到收益1,。策略集（A,，A）和（B，B）因此產(chǎn)生納什均衡,，因?yàn)閱蝹€(gè)玩家策略的改變會(huì)導(dǎo)致該玩家的收益更低,。

在游戲2中，如果他們選擇不同的策略（A,，B）或（B,，A），則玩家1的回報(bào)為-1,，玩家2的回報(bào)為1,。如果他們都選擇A或B，則玩家1會(huì)得到 1的收益,，玩家2得到-1,。該游戲中沒有純粹的納什均衡策略，因?yàn)樵诿糠N策略集中,，其中一名玩家都會(huì)從策略的偏離中獲利,。

納什的結(jié)果表明，在所有有限對(duì)策中至少存在一個(gè)納什均衡點(diǎn),。由于游戲2不存在純策略的納什均衡,，所以在混合策略中必然存在納什均衡：

在游戲2中，玩家不選擇單一的策略，而是按照一定的概率分布來選擇策略,。在均衡中,，每個(gè)參與者的概率分布選擇使得所有其他參與者對(duì)他們的純策略不感興趣。

例如,，作為玩家1,，我們可以一半時(shí)使用A，一半時(shí)間選擇B,，根據(jù)拋硬幣決定策略,。玩家2唯一的理性反應(yīng)就是做同樣的事情。比如,，在“硬幣配對(duì)”博弈中,，當(dāng)選擇A和B的策略概率相等時(shí)，就是一種混合策略的納什均衡,。

在理性解釋下,，玩家們被認(rèn)定為理性的,，而且知曉游戲的全部信息，包含其他玩家的選擇偏好,，而且這些消息都是眾所周知的,。由于所有的玩家都了解彼此的選擇策略和偏好，所以也能為所有的策略計(jì)算其收益,，得到最佳策略,。如果游戲只玩一次且所有的玩家都期望相同的納什均衡（高收益），那么沒有人會(huì)想要改變自己的策略,。

基于統(tǒng)計(jì)人群的假設(shè)中,，納什指出：不必假設(shè)玩家完全了解游戲的信息，或者有能力和意愿進(jìn)行復(fù)雜的推理過程,。這是由于“假設(shè)在游戲的每個(gè)位置都有一群玩家,，隨著時(shí)間變化，會(huì)有隨機(jī)玩家參與游戲,。如果有玩家用一個(gè)穩(wěn)定的平均頻率來選用純策略,，那么這個(gè)穩(wěn)定的平均頻率就是混合策略納什均衡?！保{什,，1950c）。

正如哈羅德·庫(kù)恩后來寫道:

不同于電影中的描述,，傳記作者西爾維亞·納薩爾寫道：納什在普林斯頓大學(xué)讀研究生時(shí)想到了這個(gè)想法,，并研究了游戲策略和經(jīng)濟(jì)學(xué)談判的數(shù)學(xué)模型。正如納薩爾所寫：

納什和大衛(wèi)·蓋爾的對(duì)話在1995年由蓋爾轉(zhuǎn)述給納薩爾,。納什當(dāng)時(shí)在研究所謂的“談判問題”（bargaining problem），其中兩個(gè)人都有機(jī)會(huì)互惠互利,，但是任何單方面（未經(jīng)同意）采取的行為都不會(huì)影響另一方的利益,。想想經(jīng)典的“切蛋糕和選擇協(xié)議”，一方切蛋糕,，另一方優(yōu)先選擇自己想要的部分,，這種模式提供了所謂的無(wú)嫉妒的切蛋糕模式。

就像納薩爾所寫的那樣,，相比于納什新結(jié)論的應(yīng)用價(jià)值,，蓋爾對(duì)更對(duì)其數(shù)學(xué)價(jià)值著迷，他在1995年寫道：“數(shù)學(xué)是如此之美,?！边@在數(shù)學(xué)上是正確的。

蓋爾還起草給美國(guó)國(guó)家科學(xué)院,，幫助納什獲得其結(jié)果的榮譽(yù)。所羅門·萊夫謝茨代表他們提交了這份報(bào)告。1950年1月,，《美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院刊》的第36卷刊登了這份不到一頁(yè)的內(nèi)容,，題為《N人博弈中的均衡點(diǎn)》（Equilibrium points in N-person games）。

納什（1950b）,。N人博弈中的均衡點(diǎn),。美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院刊36（1）。

納什的論文最終催生了三篇期刊論文和一項(xiàng)諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)（1994年）。

這三篇文章包含了納什均衡存在的三種不同證明,。第一個(gè)題為“N人博弈中的均衡點(diǎn)”（1950b）的是納什和蓋爾為美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院刊編寫的筆記,。第二篇叫做《非合作博弈》（1951年），發(fā)表在《數(shù)學(xué)年鑒》 54卷第2期上,。在《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》第21期上發(fā)表的《兩人合作游戲》（1953年）中,，納什將其關(guān)于談判問題的工作(Nash, 1950a)擴(kuò)展到了“威脅”可以發(fā)揮作用的更廣泛的情況中(Kuhn et al, 2002)。

就在1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)于10月11日公布的幾周前,，兩位數(shù)學(xué)家——哈羅德·W·庫(kù)恩和小約翰·福布斯·納什——在梅多湖附近的療養(yǎng)院看望了他們的老師——將近90歲，臥病不起的阿爾伯特·W·塔克,。納什先生已經(jīng)好幾年沒有和他的導(dǎo)師說過話了,。從庫(kù)恩離席的一個(gè)小時(shí)中，他們就數(shù)論展開了討論,。

1994年10月11日，諾貝爾頒獎(jiǎng)委員會(huì)宣布,，將把1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予約翰·福布斯·納什博士,，以表彰他在非合作博弈理論中對(duì)均衡的開創(chuàng)性分析：

哈羅德·庫(kù)恩（左）和納什（右）