如果要投票評(píng)選最優(yōu)美的數(shù)學(xué)公式,，歐拉公式一定榜上有名，甚至很可能是位居榜首,。它是長(zhǎng)這個(gè)樣子滴：

在今日頭條里隨便搜索“歐拉公式”,，出來(lái)的都是下面這個(gè)畫風(fēng)

人們對(duì)這個(gè)公式推崇備至的原因就是所謂的“五元會(huì)聚”，即,，它把數(shù)學(xué)里面最常用的5個(gè)常數(shù)：自然底數(shù)e,，虛數(shù)單位i，圓周率π,，以及兩個(gè)最基礎(chǔ)的數(shù)量單位0和1（有人從哲學(xué)的角度認(rèn)為這代表了“無(wú)”和“有”）,，以巧妙的方式連接在一個(gè)公式中。因此很多人從哲學(xué)乃至神學(xué)的角度對(duì)它進(jìn)行詮釋,，認(rèn)為它蘊(yùn)含了宇宙最終極的真理和奧秘,，甚至是上帝創(chuàng)造出來(lái)的，因而對(duì)它頂禮膜拜,。

不得不說(shuō)，筆者當(dāng)年上中學(xué)的時(shí)候第一次見到這個(gè)公式,，也是五體投地,，激動(dòng)地要向黑板下跪。但隨著大學(xué)后學(xué)了越來(lái)越多的數(shù)學(xué)知識(shí),，漸漸了解了這個(gè)公式的來(lái)龍去脈,，也就沒有當(dāng)初那激動(dòng)了。其實(shí),，對(duì)這個(gè)公式最淡定的恰恰就是數(shù)學(xué)家們自己,，因?yàn)樗麄冃睦锴宄@個(gè)公式是被人工構(gòu)造出來(lái)的，因此一點(diǎn)兒也不神秘。

今天這篇文章,，就是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)窺探一下這個(gè)公式的來(lái)龍去脈,，揭開它的神秘面紗，來(lái)看一看為什么說(shuō)它一點(diǎn)兒也不神秘,。

1.傳統(tǒng)證明

其實(shí),，上面那個(gè)等式只是歐拉公式的一個(gè)特例，真正的歐拉公式是下面這個(gè)式子：

其中x是一個(gè)實(shí)數(shù),。當(dāng)x=π時(shí),，帶進(jìn)式子里就得到：

于是就得到了大名鼎鼎的

因此我們需要先證明最上面的那個(gè)歐拉公式。先來(lái)說(shuō)一下大多數(shù)科普文章里出現(xiàn)的證明方法,，使用的是泰勒公式,。首先寫出e?的泰勒展開式，或更確切地說(shuō),，麥克勞林展開式：

為了做對(duì)比,，我們?cè)賹懗?strong>sinx和cosx的麥克勞林展開式：

我們把e?里面的x替換成ix，再利用i2=-1,，i3=-i,，i?=1，便有

再把含有i的式子都提出來(lái),，并與sinx和cosx的麥克勞林展開式做對(duì)比,，就變成

這樣就得到了歐拉公式

上面這個(gè)證明可以說(shuō)是非常地簡(jiǎn)潔與漂亮。但是很遺憾,，從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的角度來(lái)看,，這個(gè)證明并不是很完善，因?yàn)樵跉W拉那個(gè)年代,，還沒有關(guān)于極限的精確定義,，無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論還很不成熟。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家也不會(huì)考慮收斂域這個(gè)問(wèn)題,。e?的泰勒公式里面x是實(shí)數(shù),，能不能隨隨便便地就換成復(fù)數(shù)，換成復(fù)數(shù)以后是否還是收斂的,，以及e的復(fù)數(shù)次方又是什么含義,，這些問(wèn)題在當(dāng)時(shí)都沒有搞清楚。所以歐拉只是天才般的憑借自己的靈感寫下了這個(gè)式子,，但是它的嚴(yán)格證明則是等后來(lái)關(guān)于復(fù)數(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論發(fā)展完善之后才有的,。

接下來(lái)我們從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看一下這個(gè)公式的由來(lái),。

2.復(fù)變函數(shù)

要做的第一件事情就是把函數(shù)從實(shí)數(shù)推廣到復(fù)數(shù),，即考慮定義域與值域都是復(fù)數(shù)的函數(shù)，這樣的函數(shù)我們稱為復(fù)變函數(shù)。簡(jiǎn)單的來(lái)寫,，就是

這里x,，y都是自變量，u,，v都是因變量，因此我們寫成更清楚的形式：

這里u(x,y)和v(x,y)都是關(guān)于x和y的二元實(shí)值函數(shù),，因此在復(fù)變函數(shù)里面我們普遍的做法就是將其看成兩個(gè)實(shí)變函數(shù),。從而可以定義復(fù)變函數(shù)的極限，導(dǎo)數(shù)與積分,。

當(dāng)然,，理論上u(x,y)和v(x,y)可是任意兩個(gè)實(shí)函數(shù)，它們之間彼此可以沒有任何關(guān)系,。是這樣的話研究起來(lái)沒有太大的意義,，我們希望它還是有某種關(guān)系的。最主要的是我們希望讓函數(shù)是可微的,，這樣研究起來(lái)才有意義,，于是我們就有以下一個(gè)非常重要的結(jié)論。

3.柯西-黎曼條件

我們知道,，一個(gè)實(shí)值函數(shù)在某一點(diǎn)可微,，是需要滿足一定條件的。同樣道理,，一個(gè)復(fù)變函數(shù)要想在某一點(diǎn)可微,，也需要滿足的一些條件，而且更加嚴(yán)格,。它不僅要求在這一點(diǎn)u(x,y)和v(x,y)都是可微的,，還需要滿足一個(gè)附加條件，即在這一點(diǎn)需要滿足

這個(gè)條件是如此之重要,，被稱為柯西-黎曼條件,。一個(gè)公式里面同時(shí)出現(xiàn)兩位數(shù)學(xué)大神的名字，也是不多見,。

這個(gè)條件是個(gè)充要條件,，意思是說(shuō)如果函數(shù)可微則一定滿足這個(gè)條件；反過(guò)來(lái),，如果滿足這個(gè)條件,，則函數(shù)一定可微。證明起來(lái)也比較容易,，只需要利用可微性的定義：自變量的差值減去因變量差值的常數(shù)倍是一個(gè)因變量差值的高階無(wú)窮小,。同學(xué)們可以很輕松地利用這個(gè)定義，把柯西-黎曼條件自己推導(dǎo)出來(lái)。

這里想順便多說(shuō)一句,，一方面柯西-黎曼條件的出現(xiàn)使我們可以研究的函數(shù)的范圍大大縮小了，因?yàn)橹挥泻苌僖徊糠趾瘮?shù)滿足柯西-黎曼條件,。另一方面,，福兮禍之所倚，禍兮福之所伏,。正因?yàn)橛辛?strong>柯西-黎曼條件,，我們才可以以之為基礎(chǔ)推導(dǎo)出更多的性質(zhì)來(lái)。從這個(gè)角度講,，柯西-黎曼條件是大大的有用,。

3.復(fù)指數(shù)冪函數(shù)

有了上述準(zhǔn)備知識(shí)，我們就可以來(lái)研究復(fù)指數(shù)冪函數(shù)了,，即指數(shù)為復(fù)數(shù)的指數(shù)函數(shù),。更通俗的講，e?里當(dāng)x是復(fù)數(shù)的時(shí)候,，應(yīng)該怎么計(jì)算,。

我們先回顧一下實(shí)值函數(shù)值的情景，對(duì)于普通的實(shí)值函數(shù)f(x)=e?,，它滿足下面兩個(gè)條件

數(shù)學(xué)上有這樣一個(gè)規(guī)律,，當(dāng)你把一個(gè)簡(jiǎn)單的概念往更高的范圍推廣時(shí)，一定要保持在原有范圍內(nèi)的性質(zhì)不能發(fā)生變化,。于是我希望來(lái)定義一種e的復(fù)數(shù)次冪的計(jì)算方法,，使得定義出來(lái)的這個(gè)方法仍然滿足下面兩條性質(zhì)：

其中z，z?,，z?都是復(fù)數(shù),。

首先假設(shè)

這里利用的是第二條性質(zhì)，其中A(y)和B(y)就是我們一樣尋找的函數(shù),，用我們前面的符號(hào)表示就是：

接下來(lái)我們需要讓它滿足第一條,，即在任意一點(diǎn)可微，于是需要滿足柯西-黎曼條件,，我們分別來(lái)求一下四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：

在求偏導(dǎo)的過(guò)程中千萬(wàn)要注意,，我們是使用了(e?)'=e?這個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論是極端重要的,，我們下面還會(huì)談到,。

比較一下柯西-黎曼條件，就有

也就是說(shuō),，我們需要自己找兩個(gè)函數(shù)A(y)和B(y),，使他們滿足上面兩個(gè)式子,，小伙伴們不妨先自己想一想，什么樣的函數(shù)可以呢,。

相信聰明的小伙伴們一定很快就能想出來(lái)了,，在我們學(xué)過(guò)的函數(shù)里面確實(shí)有兩個(gè)可以滿足它：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx,。因此我們就可以直接讓

當(dāng)然肯定有小伙伴要問(wèn),，有沒有其它的函數(shù)也滿足這兩個(gè)條件。答案是在可微的條件下,，沒有其它函數(shù)了,。這就是所謂的解析函數(shù)唯一性定理，它告訴我們,，在保持函數(shù)解析的情況下，只有這一種可能的結(jié)果,，因此我們只能這樣定義,。于是我們就來(lái)定義復(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則

這樣一來(lái)就是我們熟悉的歐拉公式了。因此與其說(shuō)它是一個(gè)公式,，倒不如是說(shuō)它是一個(gè)定義,。不是說(shuō)為什么左邊等于右邊，而是說(shuō)左邊這個(gè)東西我們一開始不會(huì)算,，然后我們就直接讓它等于右面這個(gè)東西,。這樣一來(lái)，這個(gè)公式的神秘性就大大降低了,。

4.關(guān)于e

當(dāng)然還有很多小伙伴們肯定會(huì)不服氣：好吧，我承認(rèn)這個(gè)是定義出來(lái)的,，但是這樣定義是因?yàn)樗裱欢ǖ臈l件,，而這個(gè)條件也有點(diǎn)太巧合了吧，這里面是不是包含著某種神秘性的東西呢,。

其實(shí)也不是,，我再來(lái)進(jìn)一步解構(gòu)一下。

本文提供了兩種證明方法,，第1種證明方法是利用的泰勒展開式,，而我們?cè)趯W(xué)習(xí)高數(shù)的時(shí)候肯定自己親手計(jì)算過(guò)e?的泰勒展式，他之所以長(zhǎng)那個(gè)樣子,，原因就是因?yàn)?strong>(e?)'=e?,，而且它求任意次導(dǎo)都還保持不變。同樣的,，對(duì)于第2種柯西-黎曼條件的方法,，我在文中也特地強(qiáng)調(diào)過(guò),，在求偏導(dǎo)的過(guò)程中，它所依賴的條件也是(e?)'=e?,，所以說(shuō)(e?)'=e?這個(gè)式子才是整個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵,。

那我們就來(lái)看一下(e?)'=e?又是怎么來(lái)的，它里面是否又包含著某些神秘性的東西呢,？答案也是否定的,，它一點(diǎn)兒也不神秘。

我們希望尋找一個(gè)函數(shù),，使得求完導(dǎo)保持不變,。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，冪函數(shù),，三角函數(shù),，對(duì)數(shù)函數(shù)都不符合，唯一有可能滿足的只有指數(shù)函數(shù),，所以我們來(lái)考慮f(x)=a?,，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有

所以只需要讓后面那個(gè)帶h的分式極限值是1就可以了，那么我把a(bǔ)選成幾呢,？我們通過(guò)函數(shù)圖像來(lái)試一試,，當(dāng)a分別取成2，2.5和3的時(shí)候,，來(lái)看一下這個(gè)函數(shù)

從下到上分別是a=2,，2.5和3的圖像，可以看出來(lái)它依次增高,。而2.5在零處的極限值是小于1的,，3在零處的極限值是大于1的，因此在2.5和3之間就存在某個(gè)數(shù),，使得a等于這個(gè)數(shù)的時(shí)候,，極限的恰好為1。那這個(gè)數(shù)是幾呢,？對(duì)不起,，不知道。我們只好拿一個(gè)字母來(lái)代表它,，那索性就用e好了(傳說(shuō)中的歐拉是想以自己姓名Euler的首字母來(lái)表示它),。所以我們會(huì)有(e?)'=e?。至于后來(lái)我們知道e=2.71828...,，那是后面的故事了,。

當(dāng)然還有另外一個(gè)來(lái)源，就是在計(jì)算復(fù)利公式中

不過(guò)這個(gè)式子與本文并無(wú)直接關(guān)系,，因此就不再多著筆墨了,。

因此在e?求導(dǎo)式子中,，人工定義的痕跡更為明顯。不是說(shuō)為什它求完導(dǎo)之后還保持不變,，而是說(shuō)有一個(gè)東西求完導(dǎo)保持不變的東西,，那我們把它稱為e。這個(gè)道理,，就好比說(shuō)紅玫瑰是紅色的,，難道這么巧嘛，當(dāng)然不是,，而是因?yàn)槲覀儼鸭t色的玫瑰叫成紅玫瑰,。這樣一來(lái)，就更沒有什么神秘性可言了,。

5.結(jié)語(yǔ)

從上面的分析過(guò)程可以看出,，雖然是有諸多線索，但歐拉公式仍然是被人工定義出來(lái)的,。這樣一來(lái),，也就沒有絲毫神秘性可言了。換句話說(shuō),，這個(gè)公式你可以說(shuō)它美妙,，說(shuō)它精巧,，但是它并不神秘,。其實(shí)，這種事情在其他地方我們也經(jīng)常干,。比如我們知道在一個(gè)大氣壓下,，正好是100攝氏度的時(shí)候水沸騰，那么巧的嗎,？當(dāng)然不是,。而是水從液體到氣體中間總有這樣一個(gè)臨界溫度，我們就把這個(gè)溫度定義為100度,。從固體到液體也有這樣一個(gè)臨界溫度,，我們定義為零度，這之間分成100份,，一份就是一度,。表面上看起來(lái)和諧且美妙，但實(shí)際背后是人工操作的結(jié)果,。