函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心概念之一，圍繞函數(shù)發(fā)展起來(lái)了許多重要的數(shù)學(xué)理論,，而調(diào)和函數(shù)就是這樣一類(lèi)常見(jiàn)而重要的函數(shù),，它出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的方方面面，在物理中也有重要應(yīng)用,，可以說(shuō),，調(diào)和函數(shù)既是重要的研究對(duì)象，更是強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具,。今天我們就簡(jiǎn)單地介紹一下調(diào)和函數(shù),，以此窺探數(shù)學(xué)的奧妙。

我們很難追溯調(diào)和函數(shù)的具體起源,，但起碼在19世紀(jì),，調(diào)和函數(shù)已經(jīng)是重要且被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念。那么何謂調(diào)和函數(shù)呢,？首先我們要定義拉普拉斯算子：

拉普拉斯算子的作用就是對(duì)不同的自變量求二階偏導(dǎo)數(shù),，然后相加得到一個(gè)關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，而調(diào)和函數(shù)就是那些經(jīng)過(guò)拉普拉斯算子作用后等于零的函數(shù)，也就是滿(mǎn)足下列條件的函數(shù)：

值得注意的是,，定義調(diào)和函數(shù)前,，我們要求這個(gè)函數(shù)起碼是在R^n中某區(qū)域(也可以是實(shí)數(shù)空間R^n本身)上存在二階偏導(dǎo)數(shù)的，而且往往也要要求n大于等于2,。

那么我們?yōu)槭裁匆芯空{(diào)和函數(shù),？簡(jiǎn)而言之是因?yàn)樗男再|(zhì)實(shí)在是太好了，可以拿來(lái)做很多事,。

調(diào)和函數(shù)的第一個(gè)驚人性質(zhì)是它的解析性,，也就是說(shuō)，調(diào)和函數(shù)在定義域內(nèi)每一點(diǎn)是可以進(jìn)行無(wú)窮次泰勒展開(kāi)的,，這就意味著調(diào)和函數(shù)是光滑的,，或者說(shuō)無(wú)窮次可導(dǎo)的。為什么說(shuō)這個(gè)性質(zhì)好呢,？注意到,，定義調(diào)和函數(shù)時(shí)我們僅僅要求它存在二階偏導(dǎo)數(shù)，但實(shí)際上這樣的定義只用極少的要求就保證了函數(shù)的光滑性,，可謂化腐朽為神奇,。

但解析性并非調(diào)和函數(shù)的本質(zhì)特征，實(shí)際上,，調(diào)和函數(shù)的最本質(zhì)的性質(zhì)是滿(mǎn)足所謂的平均值原理,。而且為了獲得調(diào)和函數(shù)更好的性質(zhì)，一般我們會(huì)在有界區(qū)域中考慮這些問(wèn)題,，還會(huì)要求函數(shù)具有連續(xù)或可導(dǎo)的邊值,。那么，什么是平均值原理呢,？簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),，就是函數(shù)u在一點(diǎn)x的值等于函數(shù)在以x為中心的球區(qū)域中體積積分或面積積分的平均值(通過(guò)簡(jiǎn)單的積分計(jì)算可以證明，這兩種積分平均值是等價(jià)的)：

為什么說(shuō)平均值原理是調(diào)和函數(shù)最本質(zhì)的特征呢,，這是因?yàn)檎{(diào)和函數(shù)幾乎所有的重要性質(zhì)都可以從平均值原理推導(dǎo)出來(lái),，例如上面說(shuō)過(guò)的解析性。而且更重要的是,，平均值性質(zhì)完全刻畫(huà)了調(diào)和函數(shù),，這就是如下的結(jié)論：

調(diào)和函數(shù)的另一個(gè)重要性質(zhì)是極值原理：

調(diào)和函數(shù)如果不是常數(shù)，那么它不能在內(nèi)部取到極大值或極小值,。

由極值原理,，我們立即可以獲知，調(diào)和函數(shù)由其邊值唯完全決定：

如果我們從更高的角度來(lái)看調(diào)和函數(shù),，也就是將定義△u=0看成是一個(gè)偏微分方程(準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)是一個(gè)拉普拉斯方程),，那么調(diào)和函數(shù)就是這個(gè)方程的解,，而極值原理就告訴我們，在給定邊值的情況下,，解是唯一的,。實(shí)際上，如果區(qū)域足夠特殊(一般來(lái)說(shuō)是球)的話,，我們是可以通過(guò)邊值條件直接得到這個(gè)解的,，而這又要涉及到泊松積分，泊松積分又要聯(lián)系著格林函數(shù),。

格林函數(shù)起源于物理中的場(chǎng)論，具體定義我們就不多說(shuō)了,，但它的作用就是拿來(lái)表示這種帶有邊值的方程的解,。實(shí)際上，利用格林函數(shù)和拉普拉斯方程的基本解,，我們得到調(diào)和函數(shù)的格林表示：

由于被積函數(shù)是光滑的,，從格林表示我們?cè)俅潍@得了調(diào)和函數(shù)的光滑性。當(dāng)區(qū)域是一個(gè)球時(shí),，由于區(qū)域特殊,，我們可以利用幾何中反演的方法得到相應(yīng)格林函數(shù)的表達(dá)式，因而直接通過(guò)邊值求解調(diào)和函數(shù)成為可能,，這也就有了帶有邊值的調(diào)和函數(shù)的泊松積分表達(dá)式：

除此之外,，調(diào)和函數(shù)還有一個(gè)非常好的性質(zhì)，這就是調(diào)和函數(shù)序列良好的收斂性質(zhì),。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的時(shí)候,，級(jí)數(shù)和函數(shù)序列的收斂性是我們非常關(guān)注的概念，因?yàn)榱己玫氖諗啃钥梢员ＷC極限函數(shù)也具有一些好的性質(zhì),。而從之前我們所說(shuō)過(guò)的平均值原理可以發(fā)現(xiàn),，調(diào)和函數(shù)序列恰恰擁有某些良好的收斂性：

一致收斂的調(diào)和函數(shù)序列的極限函數(shù)也是調(diào)和的。

進(jìn)一步還可以證明：

從上面我們所講述的東西我們可以看見(jiàn),，調(diào)和函數(shù)的確擁有眾多其他函數(shù)所不具備的良好性質(zhì),，因而調(diào)和函數(shù)成為了許多數(shù)學(xué)學(xué)科中常用的工具，例如我們說(shuō)過(guò)的偏微分方程理論,，數(shù)學(xué)物理方法等,。不僅如此，“調(diào)和”這個(gè)概念也早已不再局限于實(shí)數(shù)空間上的函數(shù),，它可以輕松被推廣到微分流形上,，用來(lái)定義和研究流形上的調(diào)和函數(shù)。不僅如此,，“調(diào)和”還可以用到更一般的微分形式上,，由此與著名的“霍奇理論”產(chǎn)生了深刻地關(guān)聯(lián),。當(dāng)然，調(diào)和函數(shù)及其推廣的應(yīng)用完全不止說(shuō)過(guò)的這些,，但可以肯定是,，它的確在數(shù)學(xué)中扮演著十分重要的角色。