提要

數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑和重要策略，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美,，統(tǒng)一美,。數(shù)，式能反映圖形的準(zhǔn)確性,，圖形能增強(qiáng)數(shù),，式的直觀性,。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾概況：“數(shù)與形 ，本是相倚依,，焉能分作兩邊飛,；數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微,；數(shù)形結(jié)合百般好,，割裂分家萬(wàn)事非；切莫忘,，幾何代數(shù)統(tǒng)一體,，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離,?！?/p>

知識(shí)全解

一．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的概念

數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙和諧地結(jié)合起來(lái),，并充分利用這種結(jié)合,，尋求解題思路，使問(wèn)題得到解決,。

將“數(shù)”字化為圖“形”,，或能從“圖”形中獲取有用的解題“數(shù)”字，是數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵所在,。

二．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的解題策略

利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是明確“數(shù)”,，“形”之間的緊密聯(lián)系，“數(shù)”問(wèn)題可利用“形”去解決,，“形”的問(wèn)題可利用“數(shù)”去解決,。

注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察，斟酌問(wèn)題的具體情形,，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題,，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題,，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,，抽象問(wèn)題具體化,，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案,。

三．學(xué)法指導(dǎo)

類型1 利用數(shù)軸將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何圖形問(wèn)題

例1 已知a>0,，b<0，且lbl>a,，試比較a,-a,b,-b的大小

【解析】若直接比較上述4個(gè)數(shù)的大小有一定的難度,；若用特殊值法，是可以比較它們的大小關(guān)系的；若把它們?cè)跀?shù)軸上表示出來(lái),，利用數(shù)軸的直觀性,，它們的大小關(guān)系將一目了然。

∵a>0,b<0,，∴在數(shù)軸上表示數(shù)a,b的點(diǎn)分布在原點(diǎn)的右邊和左邊

∵lbl>a,，∴表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于數(shù)b的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

故a,-a,b,-b這4個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的排列順序如下圖所示

觀察數(shù)軸可知b< -a<a<-b

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)a表示實(shí)數(shù)，可以是正數(shù),、零,，也可以是負(fù)數(shù)。不能認(rèn)為a一定是正敷,，-a 一定是負(fù)數(shù)

類型2 利用幾何模型將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何圖形問(wèn)題

【點(diǎn)評(píng)】本題若直接計(jì)算則非常繁雜,，通過(guò)構(gòu)造圖形，利用形的直觀性一目了然即可求解

類型3 利用函數(shù)圖像將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題

例3 已知反比例函數(shù),，y= 2/x及一次函數(shù)y=-3/4x+7/2,，求以這兩個(gè)函數(shù)圖形的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積。

【解析】

可得到兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)為A（2/3,，3）,，B（4，1/2）

如果直接求△ABO的三條邊長(zhǎng)再求面積,，則運(yùn)算非常煩瑣,。

如圖所示

結(jié)合圖像可以把復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題：

直線 y=-3/4x+7/2與x軸的交點(diǎn)為C（14/3，0）

∴S△ABO=S△ACO-S△BCO=1/2 × 14/3 ×3 -1/2 ×14/3 ×1/2=1/2 × 14/3 ×(3-1/2)=35/6

【點(diǎn)評(píng)】本題利用函數(shù)圖像,，將△ABO的面積轉(zhuǎn)化為△ACO的面積與△BCO的面積差,，直觀快捷,。

經(jīng)典例題

例1 利用數(shù)軸解題

已知實(shí)數(shù)a,，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A. |a|<l<|b| B. l<-a<b C．1<|a|<b D. -b<a<-l

【解析】觀察圖象可知-l<a<0,，b>l,，故a、b異號(hào),，顯然|a|和|b|都大于1,，所以A錯(cuò)誤，故選A．

【點(diǎn)評(píng)】從數(shù)軸上觀察出a,，b的符號(hào)及絕對(duì)值的大小是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵

例2 構(gòu)造函數(shù)圖象解題

【解析】依題意,，畫(huà)出函數(shù)y=（x-a）（x-b）的圖象，如圖所示

函數(shù)圖像為拋物線,，開(kāi)口向上,，與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b(a<b)。方程l- (x-a)(x-b)=0轉(zhuǎn)化為（x-a）(x-b)=1,，方程的兩根是拋物線y=（x-a）(x-b)與直線y=l的兩個(gè)交點(diǎn),。

由m<n可知對(duì)稱軸左側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，右側(cè)為n,。由拋物線開(kāi)口向上,，則在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少,，則有m<a,；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大,，則b<n,，綜上所述，可知m<a<b<n,，故選A,。

【點(diǎn)評(píng)】本題在已知中沒(méi)有出現(xiàn)圖象，通過(guò)作出函數(shù)圖象將方程問(wèn)題與拋物線有機(jī)結(jié)合,，使看似難以解答的問(wèn)題得以輕松解決,。

例3 利用數(shù)形結(jié)合思想解幾何問(wèn)題

如圖所示

點(diǎn)D在△ABC的邊BC上, ∠C+∠BAD=∠DAC, tan ∠BAD=4/7，AD=√65,CD=13, 則線段AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____

【解析】在DC上取點(diǎn)E,，使∠CAE=∠BAD,，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，連接AE,。∴∠DAE=∠C,。∴△ADE∽△CDA。∴AD/CD=DE/AD,，即√65/13=DE/√65,。∴DE=5,，∴CE= CD-DE=8 ,。∵EF/AF=tan∠EAF=tan∠BAD=4/7,故可設(shè)EF=4x，AF=7x,。

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,、銳角三角函數(shù)的知識(shí)，通過(guò)添加輔助線轉(zhuǎn)化相等,，方程思想的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵,。本題具有一定的難度。