你好，歡迎來(lái)的我的《數(shù)學(xué)通識(shí)50講》,。

我們總是說(shuō),，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)。這不僅是因?yàn)樵谧匀豢茖W(xué)中要用到數(shù)學(xué),，而且只有采用了數(shù)學(xué)的方法,，才讓自然科學(xué)從“前科學(xué)”，或者說(shuō)帶有巫術(shù)性質(zhì)的知識(shí)體系,，變成我們今天意義上的科學(xué)體系,。

因此，馬克思這樣來(lái)描述數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的關(guān)系：“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),，才算達(dá)到了真正完善的地步,。”這個(gè)論斷可以被看成是對(duì)笛卡爾理性主義的另一種描述方式，也可以被認(rèn)為是對(duì)從伽利略到19世紀(jì)中期自然科學(xué)發(fā)展過(guò)程的總結(jié),。

為什么早期的自然科學(xué)也叫自然哲學(xué),？

自然科學(xué)早期被稱(chēng)為自然哲學(xué)，包括牛頓的名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》也是用的這種提法,，因?yàn)槟菚r(shí)人們普遍把所有的學(xué)問(wèn)統(tǒng)稱(chēng)為哲學(xué),，而涉及到自然界和宇宙的規(guī)律，就是自然哲學(xué),。后來(lái)到了19世紀(jì)初,，英國(guó)人才把那種采用實(shí)驗(yàn)的方法，系統(tǒng)地構(gòu)造和組織知識(shí),，解釋和預(yù)測(cè)自然的學(xué)問(wèn)稱(chēng)為科學(xué),。

自然科學(xué)中最典型的特征則是其自然屬性，當(dāng)年,，亞里士多德把它籠統(tǒng)地稱(chēng)為Physics,，今天直接翻譯過(guò)來(lái)就是物理學(xué),，但是由于它真實(shí)的含義是包括所有的自然哲學(xué)，因此被翻譯成“形而下學(xué)”,，相對(duì)應(yīng)的是在它之上的“形而上學(xué)”（MetaPhysics）,，即今天意義上的哲學(xué)。

根據(jù)科學(xué)的自然屬性,，它研究的是自然現(xiàn)象和自然現(xiàn)象產(chǎn)生的規(guī)律,。因此從這個(gè)定義來(lái)講，數(shù)學(xué)顯然不屬于自然科學(xué),，因?yàn)樗侨藶橹圃斐鰜?lái)的,。制造數(shù)學(xué)的目的在很大程度上是為了發(fā)展自然科學(xué)，而非數(shù)學(xué)本身,，這就如同牛頓為了研究運(yùn)動(dòng)學(xué)而發(fā)明了微積分一樣,。

但是，相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論一旦出現(xiàn),，并反過(guò)頭來(lái)作用于原來(lái)的學(xué)科時(shí),，原來(lái)的學(xué)科便脫胎換骨了。這就如同我們今天經(jīng)常講的“+互聯(lián)網(wǎng)”,，什么產(chǎn)業(yè)一旦利用互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)行改造,，就會(huì)使得效率倍增。自然科學(xué)各個(gè)學(xué)科的形成和發(fā)展,，其實(shí)就是一個(gè)“+數(shù)學(xué)”的過(guò)程,。接下來(lái)我們就來(lái)看看這個(gè)過(guò)程。

自然科學(xué)“+數(shù)學(xué)”的進(jìn)程

第一個(gè)被數(shù)學(xué)改造的學(xué)科是天文學(xué),。古代文明為了推算歷法和預(yù)測(cè)地上發(fā)生的各種現(xiàn)象,，發(fā)明了占星術(shù),。但是,，占星術(shù)的預(yù)測(cè)是極為不準(zhǔn)確的，因?yàn)樗朕o含混,，而且缺乏量化度量,。

從占星術(shù)到天文學(xué)的轉(zhuǎn)變?cè)从诠畔ＥD時(shí)期,，特別是靠喜帕恰斯和托勒密的工作,，他們利用數(shù)學(xué)這個(gè)工具，建立起天體運(yùn)動(dòng)的模型,，于是就能比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)天體的運(yùn)動(dòng)了,。其中最著名的是托勒密利用幾何學(xué)建立起來(lái)的地心說(shuō)模型。

第二個(gè)被改造的學(xué)科是博物學(xué),，亞里士多德使用分門(mén)別類(lèi)的方法,，對(duì)他那個(gè)時(shí)代所了解的世界萬(wàn)物進(jìn)行分類(lèi),，這和今天數(shù)學(xué)的集合論以及函數(shù)的概念有很高的一致性。由于篇幅的原因,，我們不多講了,。

第三個(gè)被改造的學(xué)科是物理學(xué)，這個(gè)過(guò)程始于阿基米德,，成熟于伽利略,，并且在后面不斷地被發(fā)揚(yáng)光大。

阿基米德最為人熟知的貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了浮力定律和杠桿原理,。浮力定律并非是從大量實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出來(lái)的,，而是他受到洗澡時(shí)的靈感，運(yùn)用邏輯得到的,。至于杠桿原理,，雖然比阿基米德早2000多年的古埃及人就知曉了，但是將它用數(shù)學(xué)公式描述出來(lái)的是阿基米德,。

在阿基米德之后,，希臘化地區(qū)不再有這個(gè)級(jí)別的科學(xué)家，因此建立物理學(xué)大廈的任務(wù)就落在了伽利略身上,。伽利略的偉大之處在于,，他把數(shù)學(xué)方法和實(shí)驗(yàn)方法結(jié)合起來(lái)研究自然界的現(xiàn)象，使物理學(xué)擺脫了經(jīng)院哲學(xué)的束縛,。楊振寧說(shuō),，數(shù)學(xué)和物理是兩片生長(zhǎng)在同一根管莖上的葉子，這非常形象化地說(shuō)明了數(shù)學(xué)與物理之間的關(guān)系,。

在伽利略以后,，物理學(xué)的數(shù)學(xué)化加快了步伐，牛頓的工作我在之前的《科技史綱60講》中已經(jīng)介紹了,，這里就不多說(shuō)了,。在牛頓之后，最重要的物理學(xué)家是麥克斯韋,，他對(duì)電磁學(xué)的貢獻(xiàn),，堪比牛頓在經(jīng)典力學(xué)上的貢獻(xiàn)。

在麥克斯韋之前,，庫(kù)侖,、安培,、伏特,、焦耳,、法拉第等人都通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了電學(xué)的一些規(guī)律。但是,，這些理論缺乏系統(tǒng)性,，沒(méi)有完全道出電和磁的本質(zhì),。麥克斯韋和這些物理學(xué)家都不同，它是從數(shù)學(xué)出發(fā),，把前人的理論,，特別是把法拉第有關(guān)電磁場(chǎng)的想法歸納成幾個(gè)簡(jiǎn)單的方程式，使得電學(xué)和磁學(xué)統(tǒng)一為電磁學(xué),。

麥克斯韋的理論了不起的地方在于他預(yù)見(jiàn)到了當(dāng)時(shí)大家還觀(guān)察不到的現(xiàn)象,，比如他在數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出電磁波的方程式，預(yù)測(cè)出電磁波的存在,，而電磁波在真空中的速度與當(dāng)時(shí)所知的光速相近,，因此他預(yù)測(cè)光也是一種電磁波，只是可見(jiàn)頻譜波段特殊的電磁波而已,。

后來(lái)赫茲等人發(fā)現(xiàn)了無(wú)線(xiàn)電波,，證明麥克斯韋的預(yù)測(cè)。對(duì)于麥克斯韋的貢獻(xiàn),，赫茲是這樣說(shuō)的：“我們不得不承認(rèn),，這些數(shù)學(xué)公式不是完全人造的，它們本身是有智慧的,，它們比我們還聰明,，甚至比發(fā)現(xiàn)者更聰明，我們從這些公式所得到的,，比當(dāng)初放到這些公式中的還多,。”

后來(lái),，人們發(fā)現(xiàn)從數(shù)學(xué)上得到的麥克斯韋方程,，和牛頓的經(jīng)典力學(xué)方程在高速的情況下出現(xiàn)了矛盾。我們?cè)谇懊娴恼n程中講過(guò),，如果這種事情發(fā)生,，而推理又沒(méi)有問(wèn)題，可能說(shuō)明我們最初的一些基本假設(shè)出了錯(cuò)誤,。

事實(shí)上正是這個(gè)矛盾的結(jié)果導(dǎo)致了相對(duì)論的誕生,，而最初,，距離和時(shí)間絕對(duì)性的這個(gè)假設(shè)其實(shí)錯(cuò)了,，也就是說(shuō)，在高速的狀態(tài)下,，測(cè)量到的時(shí)間和距離會(huì)變化,。這和我們前面講到的發(fā)現(xiàn)暗能量的道理很相似。在20世紀(jì),，另一個(gè)物理學(xué)成就就是量子力學(xué),，也幾乎完全是建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上的,。

在歷史上，數(shù)學(xué)水平不夠的物理學(xué)家,，地位都不會(huì)太高,，比如法拉第，他雖然發(fā)現(xiàn)了電學(xué)上的很多定律,，但是在科學(xué)上的地位和另一位電學(xué)大家麥克斯韋無(wú)法相比,。直到今天，依然如此,。數(shù)學(xué)對(duì)物理學(xué)的重要性,，可以通過(guò)一個(gè)人的經(jīng)歷來(lái)說(shuō)明。這個(gè)人就是以傅里葉變換而出名的法國(guó)物理學(xué)家傅里葉,。

1807年,，傅里葉將自己關(guān)于熱傳導(dǎo)的論文提交給法蘭西科學(xué)院，但是被拒絕了,，理由不是物理研究不好,，而是數(shù)學(xué)不嚴(yán)謹(jǐn)。1811年的另一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的論文再次被科學(xué)院的學(xué)報(bào)拒絕發(fā)表,，理由還是因?yàn)閿?shù)學(xué)上的缺陷,。

在此之后，傅里葉惡補(bǔ)數(shù)學(xué),，終于在1822年發(fā)布了《熱的分析理論》一文,，里面的數(shù)學(xué)推導(dǎo)極為嚴(yán)謹(jǐn)，不僅被科學(xué)家接受,，而且成為了今天熱傳導(dǎo)學(xué)的經(jīng)典理論,。

今天，理論物理學(xué)家通常是半個(gè)數(shù)學(xué)家,，在物理學(xué)方面有很多粒子,，其實(shí)都是在推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式時(shí)，為了讓等式平衡而假設(shè)出來(lái)的,，當(dāng)然很多在后面被實(shí)驗(yàn)證實(shí)了,。在宇觀(guān)層面，像黑洞這種無(wú)法直接觀(guān)測(cè)到的天體,，以及引力波這種長(zhǎng)期測(cè)不到的現(xiàn)象,，也是靠數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)的。

第四個(gè)被改造的學(xué)科是化學(xué),，實(shí)驗(yàn)和邏輯使得化學(xué)完成了從煉金術(shù)到科學(xué)的華麗轉(zhuǎn)身,。在這個(gè)過(guò)程中，“化學(xué)之父”拉瓦錫為后人確立了化學(xué)研究的方法,，簡(jiǎn)單講,，就是邏輯和量化,。

拉瓦錫的一大貢獻(xiàn)是提出了氧化學(xué)說(shuō)，推翻了過(guò)去的燃素說(shuō),，這個(gè)成就來(lái)自于邏輯的判斷,。

拉瓦錫是這么考慮的，如果燃燒是因?yàn)槿剂侠锏娜妓乇粺?，那么燃燒剩余物的質(zhì)量應(yīng)該減少,。但是，經(jīng)過(guò)他的測(cè)定,，燃燒后剩余物的質(zhì)量卻是增加的,。這說(shuō)明燃素說(shuō)在邏輯上有問(wèn)題，而能夠讓剩余物質(zhì)量增加唯一的可能性,，就是空氣中的一些元素和燃料結(jié)合了,，這就是氧化說(shuō)。

當(dāng)然,，得到這個(gè)結(jié)論需要精確地度量實(shí)驗(yàn)結(jié)果,，因此拉瓦錫留下一句名言，“沒(méi)有天平就沒(méi)有真理”,。為了方便量化度量,，拉瓦錫等人還制定了今天我們使用的公制度量衡系統(tǒng)。

受到數(shù)學(xué)影響比較少的行業(yè)其實(shí)是生物學(xué)和醫(yī)學(xué),，這也是它們讓人們感覺(jué)不太嚴(yán)格的原因,。但是醫(yī)藥學(xué)要用到大量的邏輯，到了近代,，還要用到大量的統(tǒng)計(jì),。沒(méi)有統(tǒng)計(jì)，就沒(méi)有今天的醫(yī)藥學(xué),。

數(shù)學(xué)方法的意義在哪里,？

從上面這些例子可以看出，數(shù)學(xué)對(duì)自然科學(xué)的幫助,，主要體現(xiàn)在工具和方法兩方面,。數(shù)學(xué)作為工具很容易理解，比如微積分是今天很多自然科學(xué)研究的基礎(chǔ),，離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ),，而這在物理學(xué)中特別明顯。但是,，對(duì)大家更有借鑒意義的可能是在方法上,。

我們從各種自然科學(xué)的升華過(guò)程可以看出，它們有這樣三個(gè)共同點(diǎn)：

1. 從簡(jiǎn)單的觀(guān)察上升到理性的分析,。今天我們觀(guān)察到一個(gè)現(xiàn)象是一件很容易的事情,，大部分人都能做到，但是能夠?qū)ΜF(xiàn)象進(jìn)行理性分析的人很少,。這是每一個(gè)人都需要鍛煉和提高的,。
2. 從給出原則性結(jié)論到量化的結(jié)論，雖然我們不需要像拉瓦錫那樣隨身帶著天平,，但是需要明白很多事情必須量化度量才能得到準(zhǔn)確的結(jié)論,。從我們前面所講到的計(jì)算利息的內(nèi)容，你就能體會(huì)量化的重要性了,。
3. 將自然科學(xué)公式化,，或者說(shuō)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述自然科學(xué)。今天,，不論是哪個(gè)國(guó)家的人,，看到了F=ma，都知道是牛頓第二定律,，看到E=mc^2,，都知道是愛(ài)因斯坦的質(zhì)能方程，看到H?O,，都知道是水,。

古代很多科學(xué)手稿，采用的是自然語(yǔ)言,，而非數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述物理學(xué)的規(guī)律,，這種做法不僅不形象，而且里面有一些彼此矛盾的地方難以發(fā)現(xiàn),。在采用了數(shù)學(xué)公式描述自然科學(xué)規(guī)律之后,，由于公式的嚴(yán)謹(jǐn)性，一旦有矛盾之處,，就很容易被發(fā)現(xiàn),。

了解了自然科學(xué)的發(fā)展在很大程度上就是“+數(shù)學(xué)”的過(guò)程，我們?cè)谧约旱墓ぷ髦?，也不妨試試用一用這種“+數(shù)學(xué)”的方法,。養(yǎng)成理性和量化地處理我們?nèi)粘９ぷ鞯牧?xí)慣，建立和他人的溝通基礎(chǔ),，是我們通識(shí)課的一個(gè)目的,。希望你在留言區(qū)說(shuō)說(shuō)自己在這方面的例子。

下一講,，我們?cè)倏纯磾?shù)學(xué)與邏輯學(xué)的關(guān)系,。我們下一講再見(jiàn)。——吳軍《數(shù)學(xué)通識(shí)五十講》