基于“意義學習”視角下的數(shù)學課堂教學 ——以“圓的面積”教學為例

GXF360 2019-12-07

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一、“意義學習”對教學的啟示

人本主義心理學家卡爾·羅杰斯把學習分無意義學習和意義學習,，第一種學習是一種效率低下的機械式學習,，第二種學習則是一種有價值的意義學習?！八^意義學習,，不是指那種僅僅涉及事實累積的學習，而是指一種使個體的行為態(tài)度、個性以及在未來選擇行為方向時發(fā)生重大變化的學習,。這不僅僅是一種增長知識的學習,，而且是一種與每個人各部分經(jīng)驗都融合在一起的學習?！?span tag='1'>[1]羅杰斯的意義學習重視知識與經(jīng)驗的聯(lián)系和“做”中學,，認為學會如何學習是最有用的，在學習過程中獲得如何進行學習的方法和經(jīng)驗比知識更為重要,，同時認為學習過程中的認知與情感對于人的發(fā)展也同樣重要,。

1.以學生為中心

“羅杰斯認為，意義學習的動力來源于學生自身內(nèi)部,，并滲透于整個學習的過程中,。”[2]在這個過程中,，教師由高高在上的知識傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極旁觀者,、有效激勵者和適時幫助者。正如《數(shù)學課程標準》指出,，“教學活動是師生積極參與,、交往互動、共同發(fā)展的過程,?！?span tag='3'>[3]我們要積極建立民主互動的新型師生關系，構建問題情境,，營造學習氛圍,，鼓勵學生在自由、自主的學習中充分發(fā)揮主觀能動性,，在完善自我的過程中成為一個有意義的學習個體,。

2.在做中學

羅杰斯認為“大多數(shù)意義學習是從做中學的?！?span tag='2'>[2]讓學生做中直接體驗實際問題是促進學習的最有效方式之一,，正如杜威所說“人們最初的知識和最牢固保持的知識，是關于怎樣做的知識……應該認識到,，自然的發(fā)展進程總是包含著從做中學的那些情境,。”[4]“兒童真正需要的就是自己怎樣去做,、怎樣去探究,。”[4]因此數(shù)學學習不應是機械記憶,、反復練習和被動吸收的過程,，而是在做中體驗,、做中主動建構的過程。

3.關注學習的過程

《數(shù)學課程標準》指出：“課程內(nèi)容的組織要重視過程,，處理好過程與結果的關系,。”[3]“評價既要關注學生學習的結果,，也要重視學習的過程,；既要關注學生數(shù)學學習的水平，也要重視學生在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度,，幫助學生認識自我,、建立信心?！?span tag='1'>[1]這正與羅杰斯的意義學習理念不謀而合,，對于學習結果和學習過程，羅杰斯更看重后者,，他認為學生獲得有效的學習方法和養(yǎng)成健全人格正是滲透在學習過程中的,。所以在數(shù)學學習中，只有關注學習過程,，才能感受學生生動而富有個性的內(nèi)心過程,，才能對其進行全面而有針對性的評價。

二,、“意義學習”的教學實踐

1.課前探習：變“學跟著教走”為“教為學服務”

有調(diào)查表明：“一個新的知識點,，如果全部放給學生自學,，學生可以掌握其中的73%,，也就是說，真正需要研究和解決的只有27%的內(nèi)容(基本上是教材的重難點),。這27%的內(nèi)容在課堂上,，學生可以在教師的引導下通過小組合作、師生對話,、探索研究等方式予以解決,。”[5]所以我們要充分相信學生的自學能力,，讓學走在教的前面,。在“圓的面積”學習之前，學生已有多邊形(長方形,、平行四邊形,、三角形等)面積計算的經(jīng)驗，但圓和這些圖形相比有著很大的差異,，很難和它們建立必然的聯(lián)系,，所以求圓的面積對于學生來說是困難的,。但以前的學習也不是完全沒有用處，畢竟它們都是運用轉(zhuǎn)化的思想,，這點是相通的也是尤為重要的,。面對學生可能遇到的困難，我們思考：學生會想到轉(zhuǎn)化嗎,？在轉(zhuǎn)化的過程中,，學生是“創(chuàng)造者”還是“操作工”？一定要轉(zhuǎn)化成長方形嗎,？極限思想如何滲透,？顯然這些問題都和“實踐操作”相關，但課堂上的時間有限,，能否把部分知識的探究放在課前,？

帶著以上種種思考，我們設置了“課前探習”環(huán)節(jié),，上課前一天在班級布置一項作業(yè)：

“圓的面積”課前探究任務一,、回憶你學過的圖形面積,并用畫圖或簡短文字等形式把推導方法表示出來。二,、你能想辦法求圓的面積嗎?1.你遇到了什么困難?2.你是如何想出辦法的?3.你的辦法是什么?

這項作業(yè)看似簡單,，實則內(nèi)涵豐富。第一題是對原有圖形面積的回顧,，為本課的學習打下堅實的基礎,；第二題是圓的面積推導方法的思考，三個小問題層層深入地還原了學生的思考過程,，真實暴露了學生的想法,。

上課時，我們首先對學生的課前探習進行了檢查,。

師：在求圓的面積的過程中,，你遇到了什么困難？

生1：圓沒有長寬高,，沒法求面積,。

近年來國內(nèi)學者關于中小微企業(yè)信貸約束的研究較多。董曉林和楊小麗指出,，農(nóng)村中小企業(yè)信貸可獲性受其自身特征,、農(nóng)村金融市場結構特征以及宏觀經(jīng)濟環(huán)境特征因素的綜合影響。[7]郭麗虹和王碩發(fā)現(xiàn)市場化程度較低地區(qū)的小企業(yè)面臨更嚴重的信貸約束,，其中企業(yè)規(guī)模和市場環(huán)境對信貸可獲得性產(chǎn)生的影響顯著,。[8]姚錚等人發(fā)現(xiàn)社會網(wǎng)絡有助于增進小微企業(yè)貸款可獲得性。[9]肖晶和粟勤以世界銀行2012年《中國企業(yè)問卷調(diào)查》2 179個民營企業(yè)樣本為對象,，考察了中國銀行業(yè)市場集中度下降和競爭程度增強對中小企業(yè)融資約束的影響,。[10]

生2：圓是一個曲線圖形,，不好求面積。

師：你是如何想出辦法的,？

生1：剛開始我想到了求長方形面積的方法,，但圓不能像長方形那樣數(shù)格子求面積，接著想到了平行四邊形,，沿著高剪下可以拼成一個長方形,，我想圓能不能拼成一個長方形呢？

生2：求平行四邊形,、三角形和梯形的面積都不能直接數(shù)格子,，用的都是轉(zhuǎn)化方法，我想圓也應該用轉(zhuǎn)化的方法,。

師：你們的想法很好,！圓不同于長方形可以直接數(shù)格子，那就把它轉(zhuǎn)化成其他圖形求面積,。轉(zhuǎn)化成什么呢,？你的辦法是什么？

在課前探習的過程中,，學生通過自主探索,，已對圓的面積推導有了一些思路，盡管零散,、不成系統(tǒng),，但已做到“心中有底”。所以此時的學習不會是“漫無目的”地跟著教師走,，而是帶著思考,、帶著問題主動探究。

2.課中研習：變“教師講授”為“學生主動探究”

學生前期已有了充分的“課前探習”,，這時課堂教學不應再是簡單地重復課本,，而應是在原有基礎上通過思想的交流,、思維的碰撞提升其理解力與創(chuàng)新力,。當然也要看到，學生的“課前探習”未必是清晰明了的,，有可能只是“囫圇吞棗”,，因此課堂教學中要善于抓住探習疑點、找準探習盲點,、展示探習亮點,，讓學生在質(zhì)疑、批判,、辨析,、聯(lián)想,、發(fā)散等思辨過程中提升自我。

(1)匯報交流,。

生1：(學生拿著作品在實物展臺上邊展示邊匯報)我把圓平均分成16個像這樣的三角形,，把它們拼在一起，就成了一個長方形,。

此外,，為了進一步發(fā)揮農(nóng)田水利工程的灌溉效益，提高水資源利用效率,，還應該重視對基礎水利設施的建設和保護,，要進一步劃分責任，明確責任方,，確保農(nóng)田水利工程運行完好,，不存在開裂滲透現(xiàn)象。同時,，還應該進一步對照大規(guī)模的灌溉區(qū)域,，實行統(tǒng)一化的管理，實現(xiàn)農(nóng)戶之間的有效監(jiān)督,，避免各自為政,，使得先進的節(jié)水灌溉技術難以在廣大基層地區(qū)推廣應用。

師：(指著學生作品)這是長方形嗎,？

生2：圓形是曲線圖形,，拼在一起總會有一點點弧度，不可能是長方形,。

生3：我也認為不是長方形,，(指拼成后的圖形)那個圖形有波浪。

生4：我覺得應該說接近一個長方形,。

師：接近這個詞用得很好,，但也不能說明它是一個長方形，看來這樣做不行??！

生1：之所以不是一個長方形，是因為平均分的份數(shù)太少了,，我們組有一位同學平均分成32份,，拼起來更像一個長方形了。

說著這位同學拿出同組同學的作品在實物展臺對比展示：你們看平均分成32份,，拼起來更像一個長方形了吧,。

學生們恍然大悟：平均分的份數(shù)越多弧度越小，越像長方形,。

師：數(shù)學要靠動腦思考,，我們現(xiàn)在靜下心來想,，如果再繼續(xù)多分幾份，像這樣拼在一起會怎么樣,？

生：更接近一個長方形,。

師：如此分下去，拼成的圖形會變成長方形嗎,？

為了突破由“六級修”維修工作量時間集中性明顯而導致的維修作業(yè)年度時間段內(nèi)工作量分布不均,、車輛上線率不高的維修集約瓶頸，“均衡修”維修集約范式將“工作量均衡化”作為維修程式變化的核心理念,，制定出分散到12個月度的,、工作量相對平均的12項維修活動，如表3所示,。同時,，該維修集約范式充分利用車輛運營高峰回庫的窗口時間，完成維修作業(yè)內(nèi)容,。

學生們將信將疑,。

師：我也有點懷疑，這里有一個圓,，誰來把它平均分成128份試一試,。

十多年前，新婚的我第一次隨丈夫回老家過年,。一聽說我喜歡吃羊肉,，婆婆二話沒說，立刻趕到集市上買了幾斤,，做了一鍋香噴噴的紅燒羊肉,。吃飯時，婆婆一邊往我的碗里搛肉,，一邊嘆息：“買的羊肉就是不行,，以后還得自己養(yǎng)一只?！彼较吕?，我很是不以為意，就為了過年吃頓羊肉,，犯得著費事養(yǎng)只羊嗎,？

學生搖頭表示剪成128份太麻煩了。

師：當動手比較麻煩或無法操作時,，你知道可以找誰來幫忙嗎？

師(指了指電腦)：它可以幫忙,。

生：對,，電腦可以把圓很簡單地分成任意份,。

師：是的，此時信息技術的優(yōu)點就凸顯出來了,，合理利用它可以更好地解決數(shù)學中的一些棘手問題,。

(2)課件演示。

學生隨機說份數(shù),，教師利用幾何畫板演示,。(如圖1，演示4等分,、32等分,、200等分)

圖1

師：雖然現(xiàn)在等分成200份，拼成的圖形還不是一個長方形,，但你想一想,，如此下去，隨著等分的份數(shù)越來越多,，最終會拼成一個,？(長方形)

師：回到剛才的問題，你現(xiàn)在會利用這個拼成后的長方形,，求圓的面積嗎,？

(3)推導公式。

學生推導出圓面積公式：S長=a×b?S圓 width=168,height=30,dpi=110

滑模施工是較先進的高墩施工技術,，具有施工速度快,、節(jié)約資源、安全高效等特點,，滑模系統(tǒng)由工作平臺,、提升設備、工作吊籃等構成,，滑模施工時,，將模板掛在工作平臺圍圈上，滑模板最下層混凝土結構截面周邊組合拼裝模板,，滑模板在提升設備帶動下,，將滑動模板的套槽沿已澆筑成型的混凝土結構截面向上滑升后施工?；０迨┕ご怪备叨瓤刂戚^難,。

把圓等分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近于長方形,，如果把圓等分的份數(shù)趨于無窮多,，就能拼成一個精確的長方形，這里運用了“無限逼近”的極限思想。但對于小學生來說,，這種極限思想很難理解,，甚至于有些學生認為這是不可能的，畢竟動手操作是無法實現(xiàn)的,。當數(shù)學研究遇到了困難怎么辦,？“電腦”作為一個很好的“工具”便映入眼簾，當課件隨他們的意愿演示4等分,、32等分,、200等分后，學生還想再等分成10萬份,，可教師卻選擇了把課件關閉,，因為“電腦”終究只是個“工具”，不能替代“人腦”,。在思考圖形的變化趨勢中,，學生順利地體悟極限的思想。正如史寧中教授所說：“數(shù)學思想是一種智慧,，不是教出來的,，而是悟出來的?！?span tag='6'>[6]

(4)得出其他方法,。

師：回顧剛才的研究，圓的面積來得真不容易,。圓是一個曲線圖形,，沒法直接測量，我們想到平行四邊形,、三角形和梯形的面積推導方法,，它們都是用轉(zhuǎn)化思想解決的，那圓能不能也轉(zhuǎn)化成學過的圖形呢,？于是我們把圓,？(等分后轉(zhuǎn)化成長方形？)然后,？(利用長方形的面積求出圓的面積)

師：你有沒有想過,，難道圓只能轉(zhuǎn)化成長方形？

生：還可以轉(zhuǎn)化成其他圖形,？

師：你試驗過嗎,？你們沒有試驗過，怎么可以下結論呢,？要不現(xiàn)在試試,，然后再想辦法推導圓的面積,？

學生小組內(nèi)嘗試拼出三角形和梯形，并利用這些圖形的面積推導出圓面積公式,，最后課件展示(如圖2),。

圖2

師：同學們真了不起,，利用三角形和梯形的面積推導出圓的面積,。我有一個問題，圓等分后還能拼成其他圖形,，比如組合圖形,，你們?yōu)槭裁床黄闯梢粋€組合圖形？

生：我們組剛開始就是拼成組合圖形,，但求面積太麻煩了,。

師：如果讓你在長方形、三角形和梯形里選擇一個,，你想拼組成什么圖形求面積,？(長方形)為什么選擇長方形？

翻轉(zhuǎn)課堂起源于國外,，國內(nèi)相關研究起步相對較晚,，可以說國外的研究趨勢是國內(nèi)研究的風向標，了解國外文獻研究方向,，對國內(nèi)研究具有重要的指導意義,。我們在對翻轉(zhuǎn)課堂進行了深入細致的理論溯源之后，結合其他國外有關翻轉(zhuǎn)課堂的研究文獻,，尤其是大學層面的研究,，不難發(fā)現(xiàn)已經(jīng)產(chǎn)生了三大主要研究趨勢：

生1：我們最先知道長方形的面積，它是最基本的,，其他圖形的面積都是由長方形的面積推導出來的,。

生2：長方形最容易推導出圓的面積，長是圓周長的一半,，寬是半徑,，其他圖形麻煩。

由圖2毛雞只重對肉雞大胸產(chǎn)品的出成影響可知,，隨著毛雞只重的增大,，總體趨勢來看，大胸出成呈上升趨勢,。在只重為4.31×500g時,，大胸產(chǎn)品出成為21.62%，當只重為4.61×500g時,，大胸產(chǎn)品出成增加了0.1%,，占比21.72%。且由實驗數(shù)據(jù)可知，毛雞只重對大胸產(chǎn)品的出成影響明顯,，只重越大,，大胸出成越高。在只重為5.68×500g時,，大胸產(chǎn)品出成出現(xiàn)小幅下滑,，分析原因可能是實驗過程中操作失誤導致的數(shù)據(jù)差距，但整體上來看,，大胸產(chǎn)品出成與毛雞只重之間存在正比關系,。這對于車間每日的生產(chǎn)指導具有一定的意義，對每日出成的高低有科學理性的預判,。

師：現(xiàn)在我們明白了通常情況下推導圓的面積為什么要變成長方形了,，因為轉(zhuǎn)化成其他圖形雖然也能求出面積，但相對復雜一些,，數(shù)學就是追求簡潔高效,。

(5)求異思維推導公式。

師：學到這兒,，對于圓的面積推導還有不同的方法嗎,？推導圓的面積公式，能不能不剪拼,？

常規(guī)管理：4月上旬播種,，已灌冬水的A、B小區(qū),，青稞秸稈已翻漚的田塊整平,。用種量300kg/hm2。施尿素112.5kg/hm2,、二銨187.5kg/hm2,，播種時分層施入作底肥和種肥。苗期化學防治除草,。

生1：不可以,，不剪拼還是一個圓，它是曲線圖形,，怎么推導面積公式,？

生2：我覺得可以，比如把一個圓等分成16份,，每份可以看成一個小三角形,，這個小三角形的面積乘16就是圓的面積，三角形的底是 width=33,height=30,dpi=110 高是r,，面積就是 width=160,height=30,dpi=110

聽了他的發(fā)言,，課堂自發(fā)響起掌聲,。

生3：我覺得不需要等分圓也可以求出圓的面積。

裝配數(shù)據(jù)需求的多色集元素為任務,、物料,、工藝、質(zhì)量4個視圖,，依次用a1,a2,a3,a4表示,，記為A={a1,a2,a3,a4}。

師驚訝地問：不等分圓怎么推導面積,？

生3：圓就像一個鐘表,，指針轉(zhuǎn)動一圈掃過的地方就是圓的面積,，針的長度就是圓的半徑,，針尖走一圈就是圓的周長，所以用圓的周長乘半徑,。

師遲疑一會,，馬上意識這種方法的可行性，但用圓的周長乘半徑肯定是不對的,。

師問其他學生：你們聽懂嗎,？

其他學生都疑惑不解：好像聽懂了，但沒有徹底搞明白,。

多機系統(tǒng)超低頻振蕩穩(wěn)定分析與調(diào)速器參數(shù)優(yōu)化//黃偉,段榮華,江崇熙,周靖皓,甘德強//(21):185

師：你說的好像很有道理,，我也沒有完全聽明白，你能再解釋一下嗎,？

生3：比如這是一個鐘表(邊指圓邊講解),，轉(zhuǎn)一圈正好就是圓的面積，一圈是360°,，每轉(zhuǎn)一弧度就相當一個小三角形,，這個小三角形的底就是 width=41,height=31,dpi=110 高就是圓的半徑，一共有360個這樣的三角形,，所以用 width=140,height=31,dpi=110

師：三角形的面積應該,？

生3：對了，應該再乘 width=20,height=30,dpi=110 圓的面積是 width=38,height=30,dpi=110 也就是πr2,。

與商業(yè)上舊企業(yè)的經(jīng)營模式類似的“以用戶體驗為中心”是“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的公司必要的戰(zhàn)略,。網(wǎng)絡時代的新企業(yè)能夠運用網(wǎng)絡特質(zhì)，做出更人性化,、界面友好而功能齊全的產(chǎn)品,，吸引更多的用戶進行體驗，從而達到獲得足夠多用戶流量的目的,。這樣的戰(zhàn)略是舊企業(yè)無法做到的,。

此時,，學生們自發(fā)地鼓起了掌。

從圓轉(zhuǎn)化成長方形到轉(zhuǎn)化成三角形和梯形,，可以看出學生已不再局限于教材的表面處,，而是創(chuàng)新于教材的潛隱處，特別是兩種另類求圓面積的方法(一種是把圓直接等分不拼組,，一種是利用扇形面積求圓的面積),，說明學生的思維愈加豐富、復雜與多變,。自主的探究使得教學不時閃爍智慧的亮點,，這其中他們不僅習得知識與技能，更感悟到自身思維及情感的變化,，達到羅杰斯所說的“‘意義學習’能把邏輯與直覺,、理智與情感、概念與經(jīng)驗,、觀念與意義等結合在一起,。”[1]

使用中南大學電子設備廠制造的PPM226-LS2-1負載傳感器測量力的大小,，其最大容量為10 kN,，線性度為0.2%。使用日本大阪松下LM10微型激光傳感器測量加載點的位移,，其測量范圍為200 mm,，線性度為0.2%，分辨率為0.02 mm,。為了獲取小應變速率范圍內(nèi)冰的三點彎曲強度,，本次試驗采用了減速比為1∶18 000的二級減速機，利用其帶動電動液壓式頂推千斤頂進行加載,。三點彎曲試驗設備圖如圖5所示,。

3.課后練習：變“簡單重復”為“探究提升”

多數(shù)情況下課后練習往往是課堂內(nèi)容的“簡單重復”，這種重現(xiàn)式的習題對于基礎知識的記憶與掌握確實起到重要作用,，但如果練習僅僅定位于知識的鞏固和技能的強化,，必然會陷入題型呆板、形式單一和內(nèi)容封閉的誤區(qū),，使得學習的積極性,、自主性和創(chuàng)造性缺失?！耙饬x學習”理論告訴我們,，每個學生都有學習的潛能，要充分尊重他們的差異,。這就要求我們提供的習題要具有層次性,、探究性和開放性,，讓不同層次的學生都能得到提升與發(fā)展。

在“圓的面積”練習階段,，我們首先讓學生解決兩道基礎題(第(1)和(2)題),，然后設計一道探究題(第(3)題)。

利夫西住在美國佐治亞州費耶特維爾市,。8月中旬,，他在家中叫了一份中餐外賣，總價80.60美元,。當送餐員歐文把外賣送上門時,，利夫西掏出一張銀行儲蓄卡付賬，不料刷卡機不認此卡,。利夫西轉(zhuǎn)而掏出支票簿,，寫了一張支票遞給歐文。歐文表示,，餐館不收支票,，只能把外賣帶回餐館。然而,，此時利夫西家中的另外兩人已經(jīng)開始吃起外賣，導致這份外賣無法退回餐館,。利夫西與歐文發(fā)生爭執(zhí),，升級成肢體沖突。按照歐文的說法,，利夫西曾掐住他的喉嚨,，推他撞到屋里的冰箱上。

(1)一個圓形茶幾桌面的直徑是1 m,，它的面積是多少平方米,？

(2)求下面各圓的面積(如圖3)。