雷鋒網(wǎng) AI 開(kāi)發(fā)者按：網(wǎng)上關(guān)于各種降維算法的資料參差不齊,，同時(shí)大部分不提供源代碼,。這里有個(gè) GitHub 項(xiàng)目整理了使用 Python 實(shí)現(xiàn)了 11 種經(jīng)典的數(shù)據(jù)抽取（數(shù)據(jù)降維）算法,，包括：PCA,、LDA、MDS,、LLE,、TSNE 等，并附有相關(guān)資料,、展示效果,；非常適合機(jī)器學(xué)習(xí)初學(xué)者和剛剛?cè)肟訑?shù)據(jù)挖掘的小伙伴。

所謂降維，即用一組個(gè)數(shù)為 d 的向量 Zi 來(lái)代表個(gè)數(shù)為 D 的向量 Xi 所包含的有用信息,，其中 d

通常,，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分?jǐn)?shù)據(jù)集的維度都會(huì)高達(dá)成百乃至上千，而經(jīng)典的 MNIST,，其維度都是 64,。

MNIST 手寫(xiě)數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)集

但在實(shí)際應(yīng)用中，我們所用到的有用信息卻并不需要那么高的維度,，而且每增加一維所需的樣本個(gè)數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng),，這可能會(huì)直接帶來(lái)極大的「維數(shù)災(zāi)難」；而數(shù)據(jù)降維就可以實(shí)現(xiàn)：

• 使得數(shù)據(jù)集更易使用

• 確保變量之間彼此獨(dú)立

• 降低算法計(jì)算運(yùn)算成本

• 去除噪音

一旦我們能夠正確處理這些信息,，正確有效地進(jìn)行降維,，這將大大有助于減少計(jì)算量，進(jìn)而提高機(jī)器運(yùn)作效率,。而數(shù)據(jù)降維，也常應(yīng)用于文本處理,、人臉識(shí)別,、圖片識(shí)別、自然語(yǔ)言處理等領(lǐng)域,。

往往高維空間的數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)分布稀疏的情況，所以在降維處理的過(guò)程中,，我們通常會(huì)做一些數(shù)據(jù)刪減,，這些數(shù)據(jù)包括了冗余的數(shù)據(jù)、無(wú)效信息,、重復(fù)表達(dá)內(nèi)容等,。

例如：現(xiàn)有一張 1024*1024 的圖，除去中心 50*50 的區(qū)域其它位置均為零值,，這些為零的信息就可以歸為無(wú)用信息,；而對(duì)于對(duì)稱圖形而言，對(duì)稱部分的信息則可以歸為重復(fù)信息,。

因此，大部分經(jīng)典降維技術(shù)也是基于這一內(nèi)容而展開(kāi),，其中降維方法又分為線性和非線性降維,，非線性降維又分為基于核函數(shù)和基于特征值的方法。

• 線性降維方法：

PCA ,、ICA LDA,、LFA、LPP(LE 的線性表示)

• 非線性降維方法：

基于核函數(shù)的非線性降維方法——KPCA ,、KICA,、KDA

基于特征值的非線性降維方法（流型學(xué)習(xí)）——ISOMAP、LLE,、LE,、LPP,、LTSA、MVU

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)技術(shù)專(zhuān)業(yè)的在讀碩士生 Heucoder 則整理了 PCA,、KPCA,、LDA、MDS,、ISOMAP,、LLE、TSNE,、AutoEncoder,、FastICA、SVD,、LE,、LPP 共 12 種經(jīng)典的降維算法，并提供了相關(guān)資料,、代碼以及展示,，下面將主要以 PCA 算法為例介紹降維算法具體操作。

PCA 是一種基于從高維空間映射到低維空間的映射方法,，也是最基礎(chǔ)的無(wú)監(jiān)督降維算法,，其目標(biāo)是向數(shù)據(jù)變化最大的方向投影，或者說(shuō)向重構(gòu)誤差最小化的方向投影,。它由 Karl Pearson 在 1901 年提出,，屬于線性降維方法。與 PCA 相關(guān)的原理通常被稱為最大方差理論或最小誤差理論,。這兩者目標(biāo)一致,，但過(guò)程側(cè)重點(diǎn)則不同。

最大方差理論降維原理

將一組 N 維向量降為 K 維（K 大于 0,，小于 N），其目標(biāo)是選擇 K 個(gè)單位正交基,，各字段兩兩間 COV(X,Y) 為 0,，而字段的方差則盡可能大。因此,，最大方差即使得投影數(shù)據(jù)的方差被最大化,，在這過(guò)程中，我們需要找到數(shù)據(jù)集 Xmxn 的最佳的投影空間 Wnxk,、協(xié)方差矩陣等,，其算法流程為：

• 算法輸入：數(shù)據(jù)集 Xmxn；

• 按列計(jì)算數(shù)據(jù)集 X 的均值 Xmean,，然后令 Xnew=X?Xmean,；

• 求解矩陣 Xnew 的協(xié)方差矩陣,，并將其記為 Cov；

• 計(jì)算協(xié)方差矩陣 COv 的特征值和相應(yīng)的特征向量,；

• 將特征值按照從大到小的排序,，選擇其中最大的 k 個(gè)，然后將其對(duì)應(yīng)的 k 個(gè)特征向量分別作為列向量組成特征向量矩陣 Wnxk,；

• 計(jì)算 XnewW,，即將數(shù)據(jù)集 Xnew 投影到選取的特征向量上，這樣就得到了我們需要的已經(jīng)降維的數(shù)據(jù)集 XnewW,。

最小誤差理論降維原理

而最小誤差則是使得平均投影代價(jià)最小的線性投影，這一過(guò)程中,，我們則需要找到的是平方錯(cuò)誤評(píng)價(jià)函數(shù) J0(x0) 等參數(shù),。

詳細(xì)步驟可參考《從零開(kāi)始實(shí)現(xiàn)主成分分析 (PCA) 算法》：

https://blog.csdn.net/u013719780/article/details/78352262

關(guān)于 PCA 算法的代碼如下：

from __future__ import print_function

from sklearn import datasets

import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib.cm as cmx

import matplotlib.colors as colors

import numpy as np

%matplotlib inline

def shuffle_data(X, y, seed=None):

if seed:

np.random.seed(seed)

idx = np.arange(X.shape[0])

np.random.shuffle(idx)

return X[idx], y[idx]

# 正規(guī)化數(shù)據(jù)集 X

def normalize(X, axis=-1, p=2):

lp_norm = np.atleast_1d(np.linalg.norm(X, p, axis))

lp_norm[lp_norm == 0] = 1

return X / np.expand_dims(lp_norm, axis)

# 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)集 X

def standardize(X):

X_std = np.zeros(X.shape)

mean = X.mean(axis=0)

std = X.std(axis=0)

# 做除法運(yùn)算時(shí)請(qǐng)永遠(yuǎn)記住分母不能等于 0 的情形

# X_std = (X - X.mean(axis=0)) / X.std(axis=0)

for col in range(np.shape(X)[1]):

if std[col]:

X_std[:, col] = (X_std[:, col] - mean[col]) / std[col]

return X_std

# 劃分?jǐn)?shù)據(jù)集為訓(xùn)練集和測(cè)試集

def train_test_split(X, y, test_size=0.2, shuffle=True, seed=None):

if shuffle:

X, y = shuffle_data(X, y, seed)

n_train_samples = int(X.shape[0] * (1-test_size))

x_train, x_test = X[:n_train_samples], X[n_train_samples:]

y_train, y_test = y[:n_train_samples], y[n_train_samples:]

return x_train, x_test, y_train, y_test

# 計(jì)算矩陣 X 的協(xié)方差矩陣

def calculate_covariance_matrix(X, Y=np.empty((0,0))):

if not Y.any:

Y = X

n_samples = np.shape(X)[0]

covariance_matrix = (1 / (n_samples-1)) * (X - X.mean(axis=0)).T.dot(Y - Y.mean(axis=0))

return np.array(covariance_matrix, dtype=float)

# 計(jì)算數(shù)據(jù)集 X 每列的方差

def calculate_variance(X):

n_samples = np.shape(X)[0]

variance = (1 / n_samples) * np.diag((X - X.mean(axis=0)).T.dot(X - X.mean(axis=0)))

return variance

# 計(jì)算數(shù)據(jù)集 X 每列的標(biāo)準(zhǔn)差

def calculate_std_dev(X):

std_dev = np.sqrt(calculate_variance(X))

return std_dev

# 計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣

def calculate_correlation_matrix(X, Y=np.empty([0])):

# 先計(jì)算協(xié)方差矩陣

covariance_matrix = calculate_covariance_matrix(X, Y)

# 計(jì)算 X, Y 的標(biāo)準(zhǔn)差

std_dev_X = np.expand_dims(calculate_std_dev(X), 1)

std_dev_y = np.expand_dims(calculate_std_dev(Y), 1)

correlation_matrix = np.divide(covariance_matrix, std_dev_X.dot(std_dev_y.T))

return np.array(correlation_matrix, dtype=float)

class PCA:

'''

主成份分析算法 PCA,，非監(jiān)督學(xué)習(xí)算法.

'''

def __init__(self):

self.eigen_values = None

self.eigen_vectors = None

self.k = 2

def transform(self, X):

'''

將原始數(shù)據(jù)集 X 通過(guò) PCA 進(jìn)行降維

'''

covariance = calculate_covariance_matrix(X)

# 求解特征值和特征向量

self.eigen_values, self.eigen_vectors = np.linalg.eig(covariance)

# 將特征值從大到小進(jìn)行排序，注意特征向量是按列排的,，即 self.eigen_vectors 第 k 列是 self.eigen_values 中第 k 個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量

idx = self.eigen_values.argsort[::-1]

eigenvalues = self.eigen_values[idx][:self.k]

eigenvectors = self.eigen_vectors[:, idx][:, :self.k]

# 將原始數(shù)據(jù)集 X 映射到低維空間

X_transformed = X.dot(eigenvectors)

return X_transformed

def main:

# Load the dataset

data = datasets.load_iris

X = data.data

y = data.target

# 將數(shù)據(jù)集 X 映射到低維空間

X_trans = PCA.transform(X)

x1 = X_trans[:, 0]

x2 = X_trans[:, 1]

cmap = plt.get_cmap('viridis')

colors = [cmap(i) for i in np.linspace(0, 1, len(np.unique(y)))]

class_distr =

# Plot the different class distributions

for i, l in enumerate(np.unique(y)):

_x1 = x1[y == l]

_x2 = x2[y == l]

_y = y[y == l]

class_distr.append(plt.scatter(_x1, _x2, color=colors[i]))

# Add a legend

plt.legend(class_distr, y, loc=1)

# Axis labels

plt.xlabel('Principal Component 1')

plt.ylabel('Principal Component 2')

plt.show

if __name__ == '__main__':

main

最終,，我們將得到降維結(jié)果如下。其中,，如果得到當(dāng)特征數(shù) (D) 遠(yuǎn)大于樣本數(shù) (N) 時(shí),，可以使用一點(diǎn)小技巧實(shí)現(xiàn) PCA 算法的復(fù)雜度轉(zhuǎn)換。

PCA 降維算法展示

當(dāng)然,，這一算法雖然經(jīng)典且較為常用，其不足之處也非常明顯,。它可以很好的解除線性相關(guān),，但是面對(duì)高階相關(guān)性時(shí)，效果則較差,；同時(shí),，PCA 實(shí)現(xiàn)的前提是假設(shè)數(shù)據(jù)各主特征是分布在正交方向上，因此對(duì)于在非正交方向上存在幾個(gè)方差較大的方向,，PCA 的效果也會(huì)大打折扣,。

• KPCA（kernel PCA）

KPCA 是核技術(shù)與 PCA 結(jié)合的產(chǎn)物，它與 PCA 主要差別在于計(jì)算協(xié)方差矩陣時(shí)使用了核函數(shù),，即是經(jīng)過(guò)核函數(shù)映射之后的協(xié)方差矩陣,。

引入核函數(shù)可以很好的解決非線性數(shù)據(jù)映射問(wèn)題。kPCA 可以將非線性數(shù)據(jù)映射到高維空間,，在高維空間下使用標(biāo)準(zhǔn) PCA 將其映射到另一個(gè)低維空間,。

KPCA 降維算法展示

詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn) 《Python 機(jī)器學(xué)習(xí)》之特征抽取——kPCA：

https://blog.csdn.net/weixin_40604987/article/details/79632888

代碼地址：

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/blob/master/codes/PCA/KPCA.py

• LDA（Linear Discriminant Analysis）

LDA 是一種可作為特征抽取的技術(shù)，其目標(biāo)是向最大化類(lèi)間差異,，最小化類(lèi)內(nèi)差異的方向投影,，以利于分類(lèi)等任務(wù)即將不同類(lèi)的樣本有效的分開(kāi)。LDA 可以提高數(shù)據(jù)分析過(guò)程中的計(jì)算效率,，對(duì)于未能正則化的模型,，可以降低維度災(zāi)難帶來(lái)的過(guò)擬合。

LDA 降維算法展示

詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)《數(shù)據(jù)降維—線性判別分析（LDA）》：

https://blog.csdn.net/ChenVast/article/details/79227945

代碼地址：

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LDA

• MDS（multidimensional scaling）

MDS 即多維標(biāo)度分析,，它是一種通過(guò)直觀空間圖表示研究對(duì)象的感知和偏好的傳統(tǒng)降維方法。該方法會(huì)計(jì)算任意兩個(gè)樣本點(diǎn)之間的距離,，使得投影到低維空間之后能夠保持這種相對(duì)距離從而實(shí)現(xiàn)投影,。

由于 sklearn 中 MDS 是采用迭代優(yōu)化方式，下面實(shí)現(xiàn)了迭代和非迭代的兩種,。

MDS 降維算法展示

詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)《MDS 算法》

https://blog.csdn.net/zhangweiguo_717/article/details/69663452

代碼地址：

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/MDS

• ISOMAP

Isomap 即等度量映射算法，該算法可以很好地解決 MDS 算法在非線性結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)集上的弊端,。

MDS 算法是保持降維后的樣本間距離不變,，Isomap 算法則引進(jìn)了鄰域圖，樣本只與其相鄰的樣本連接,，計(jì)算出近鄰點(diǎn)之間的距離,，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行降維保距。

ISOMAP 降維算法展示

詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)《Isomap》

https://blog.csdn.net/zhangweiguo_717/article/details/69802312

代碼地址：

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/ISOMAP

• LLE（locally linear embedding）

LLE 即局部線性嵌入算法,，它是一種非線性降維算法。該算法核心思想為每個(gè)點(diǎn)可以由與它相鄰的多個(gè)點(diǎn)的線性組合而近似重構(gòu),，然后將高維數(shù)據(jù)投影到低維空間中,，使其保持?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)之間的局部線性重構(gòu)關(guān)系，即有相同的重構(gòu)系數(shù),。在處理所謂的流形降維的時(shí)候,，效果比 PCA 要好很多。

LLE 降維算法展示

詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)《LLE 原理及推導(dǎo)過(guò)程》

https://blog.csdn.net/scott198510/article/details/76099630

代碼地址：

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LLE

• t-SNE

t-SNE 也是一種非線性降維算法,，非常適用于高維數(shù)據(jù)降維到 2 維或者 3 維進(jìn)行可視化。它是一種以數(shù)據(jù)原有的趨勢(shì)為基礎(chǔ),，重建其在低緯度（二維或三維）下數(shù)據(jù)趨勢(shì)的無(wú)監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)算法,。

下面的結(jié)果展示參考了源代碼，同時(shí)也可用 tensorflow 實(shí)現(xiàn)（無(wú)需手動(dòng)更新參數(shù)）。

t-SNE 降維算法展示

詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)《t-SNE 使用過(guò)程中的一些坑》：

http://bindog./blog/2018/07/31/t-sne-tips/

代碼地址：

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/T-SNE

• LE（Laplacian Eigenmaps）

LE 即拉普拉斯特征映射,，它與 LLE 算法有些相似，也是以局部的角度去構(gòu)建數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,。它的直觀思想是希望相互間有關(guān)系的點(diǎn)（在圖中相連的點(diǎn)）在降維后的空間中盡可能的靠近,；以這種方式，可以得到一個(gè)能反映流形的幾何結(jié)構(gòu)的解,。

LE 降維算法展示

詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)《拉普拉斯特征圖降維及其 python 實(shí)現(xiàn)》：

https://blog.csdn.net/HUSTLX/article/details/50850342

代碼地址：

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LE

• LPP（Locality Preserving Projections）

LPP 即局部保留投影算法，其思路和拉普拉斯特征映射類(lèi)似,，核心思想為通過(guò)最好的保持一個(gè)數(shù)據(jù)集的鄰居結(jié)構(gòu)信息來(lái)構(gòu)造投影映射,，但 LPP 不同于 LE 的直接得到投影結(jié)果，它需要求解投影矩陣,。

LPP 降維算法展示

詳情請(qǐng)參見(jiàn)《局部保留投影算法 (LPP) 詳解》：

https://blog.csdn.net/qq_39187538/article/details/90402961

代碼地址：

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LPP