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函數(shù)是當前中學代數(shù)最主要的內(nèi)容之一,，中學教學既要對函數(shù)作一般性討論,，又要討論一次函數(shù)、二次函數(shù),、冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),、三角函數(shù)等一些具體的初等函數(shù)．中學教材雖對函數(shù)著墨甚多,，中學教師也對函數(shù)研究甚廣，但是關(guān)于函數(shù),，常常還是有一些認識上的盲點,，筆者在這里提出來與大家共商，希望仁者見仁,，智者見智． 問題一：函數(shù)的靈魂是什么 中學教材指出函數(shù)的三要素是定義域,，對應法則，值域．那函數(shù)的靈魂是什么,？定義域,，解析式，還是圖象,？其實,，函數(shù)的靈魂是運動與變化，學習函數(shù)內(nèi)容的首要任務就是要實現(xiàn)由靜到動的轉(zhuǎn)變,，從常量到變量的飛躍． 方程研究的是靜態(tài)的點,，不等式研究的是動態(tài)的區(qū)間，而函數(shù)研究的則是動態(tài)的全部,，即整個定義域．若把函數(shù)問題搞清楚了,，則與之相關(guān)的方程與不等式問題可利用數(shù)形結(jié)合的思想迎刃而解，這充分體現(xiàn)了函數(shù),、方程與不等式的緊密聯(lián)系． 問題二：函數(shù)概念的分析與比較 函數(shù)的概念大抵有變量說,、對應說、關(guān)系說三種． 變量說：如果某些變量以如下方式依賴于另一些變量,，即當后者變化時,，前者本身也發(fā)生變化，則稱前一個變量是后一些變量的函數(shù)．(歐拉,，1755) 分析：【優(yōu)點】“變量說”建立在變量的基礎(chǔ)上,，描述和強調(diào)了函數(shù)最重要的特性——變化，其優(yōu)點是形象,、直觀,、自然,，通俗易懂．任何人理解函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系,，都是從觀察兩個變量之間的依賴關(guān)系入手的．因此“變量說”是最樸素,、最根本的，對于初學者也最容易接受．【缺陷】這種描述性的定義沒有準確表達函數(shù)的本質(zhì)——對應關(guān)系,，而且什么是變量,，也并沒有給出明確的定義．但“變量說”是一種樸素的思考，更加本原,，也能體現(xiàn)事物的本質(zhì)． 對應(或映射)說：我們假定Z是一個變量．如果對它的每一個值,，都有未知量W的一個值與之對應，則稱W是Z的函數(shù)．(黎曼,，1851 ) 分析：【優(yōu)點】“對應說”突出了函數(shù)的本質(zhì)——“對應”,，普適性強，也更接近現(xiàn)代數(shù)學的集合論語言．【缺陷】“對應”仍然不是一個經(jīng)過了嚴格界定的概念,，還需要對對應關(guān)系作更清楚的刻畫． 關(guān)系說：若X,，Y是兩個集合，X×Y的任何子集S稱為它們之間的一種關(guān)系．如果關(guān)系F滿足：對于每一個x∈X,，都存在唯一的一個y,，使得(x，y)∈F ,，則稱關(guān)系F是一個函數(shù)．（布爾巴基學派,，1939） 分析：【優(yōu)點】“關(guān)系說”完全解決了前兩者語義模糊的問題，沒有使用其他未經(jīng)定義的日常語言,，完全用集合論的語言敘述,，是完全數(shù)學形式化的表述，便于更深入地理解函數(shù)本質(zhì),，已廣泛用于計算機科學中．【缺陷】正是由于“關(guān)系說”過于形式化,，抽去了函數(shù)關(guān)系的生動直觀——變量變化及相互依賴關(guān)系的特征，看不見對應關(guān)系的形式和規(guī)律(解析式),，對初學者來說不易理解和掌握．“關(guān)系說”雖不適合放在中學教材中,，但中學教師應該掌握． 我們知道，高中教材中函數(shù)的定義是：設(shè)A,，B是非空的數(shù)集,，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使得對于集合A中的任意一個數(shù)x,，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f (x),，x∈A ． 每一個,、唯一是函數(shù)的核心成分嗎,？其實，“每一個”并不要緊,，無非出現(xiàn)偏函數(shù)（部分函數(shù)）而已，偏函數(shù)總可以變成全函數(shù)．“唯一”與否也不是關(guān)鍵,，取值唯一只是為了研究方便所進行的技術(shù)處理．如果不唯一,，無非出現(xiàn)多值函數(shù)而已，而多值函數(shù)在復變函數(shù)論中非常重要． 在函數(shù)定義教學中,，過分強調(diào)“每一個”,、“唯一值”，其實無助于函數(shù)觀念的建立,，對日后應用和解題也沒有幫助,，因此不必費太多的心思．建議函數(shù)的定義中去掉“每一個”、“唯一值”,，只需在定義之后另加上說明：“為了研究的方便,，常常限制函數(shù)為單值全函數(shù)．”或者說“中學只研究單值全函數(shù)．” 問題三：什么是求函數(shù)的定義域 中學數(shù)學課本這樣描述函數(shù)的定義域：…其中，x叫做自變量,，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域．中學數(shù)學課本中有這樣的問題：已知函數(shù) ,，求函數(shù)的定義域．課本上說，“如果只給出了解析式y=f(x),，而沒有指明它的定義域,，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合．”但這又和前面的定義有什么關(guān)系呢？不管是從理論上講,，還是從應用上講,，函數(shù)定義域都應該是已知的，不是一個可以求解的事情．那么,，課本要求函數(shù)的定義域是什么意思,？中學數(shù)學求函數(shù)定義域準確的含義是求自變量可以允許的最大范圍．這個最大范圍要受限一些其他因素，如函數(shù)解析式,，這也是求解課本問題的基礎(chǔ)．另外,，我們在研究具體函數(shù)如冪函數(shù)時，總是去討論定義域最大時的情形．這當然是一種合理的想法,，因為其他情形可以由此拓廣得到相關(guān)結(jié)論．但不能因此以為定義域就是自變量可以允許的最大范圍,，而只能說不會超過這個范圍．否則，函數(shù)y=x(x>0)又該如何理解,？其實,，從本質(zhì)上講，定義域只不過就是討論的范圍,，它影響問題的討論,，而不是反過來．課本對定義域與值域概念的處理不當,，是造成教學病題泛濫的重要原因，也使得求值域成為學習難點．大家試比較以下兩題的異同： 問題四：單調(diào)區(qū)間要求極大嗎 高中課本有這樣的問題：根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 同學們給出這樣幾種答案,，你認為對嗎,？ ◎[-5，-2),， [-2,，1)， [1,，3),，[3,，5] ◎[-5,，-2],， [-2,，1],， [1,，3],，[3,，5] ◎[-5,， -3),，[-3， -2),， [-2,，1]， [1,，2),， [2，3),，[3,，5] 為什么要引入單調(diào)區(qū)間的概念？不過是為了比較函數(shù)值的方便而已．與極大無關(guān),，當然單調(diào)區(qū)間越大越有利．大家試比較以下兩題的異同： 問題五：為什么要求奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱 ◎y=f(x)(x∈D)是偶函數(shù)à如果對于任意的x∈D，都有f(x)=f(-x) 定義中隱含了D要關(guān)于原點對稱,，因?qū)θ我獾?/span>x,，都有f(x)=f(-x)或-f(-x)，-x接受了f的作用,，說明-x也∈D,，故D關(guān)于原點對稱．那么我們能不能不要求定義域關(guān)于原點對稱呢？下面給出函數(shù)奇偶性的一個可能的定義： ◎y=f(x)(x∈D)奇函數(shù)à如果對于任意的x∈D,，若存在-x∈D,，則f(x)=-f(-x) ◎y=f(x)(x∈D)偶函數(shù)à如果對于任意x∈D,，若存在-x∈D，則f(x)=f(-x) 該定義并沒有改變函數(shù)奇偶性的本質(zhì),，還有概括性更廣的優(yōu)點．那教材為什么不采用該定義呢,？是因為原定義可以使奇（偶）函數(shù)的幾何特性規(guī)整漂亮：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱．話又說回來,，如果定義域不對稱,，簡單擴充就行了，其實也很方便． 問題六：分段函數(shù)與抽象函數(shù)是兩種函數(shù)嗎 分段函數(shù)怎樣定義,？有必要嗎？由于課本沒有明確給出分段函數(shù)的定義,，只以例題的形式出現(xiàn),，不少學生對它認識膚淺模糊，以致解題時常常出錯．我們通常認為分段函數(shù)是指“對于自變量x的不同的取值范圍,，有著不同的對應法則的函數(shù)”．這算定義嗎,？什么叫做“不同”的對應法則？說不清,！其實,，不過就是表示方式的問題．過分點說，任何函數(shù)都可以是分段函數(shù)．形式并不能反應任何本質(zhì)特征,！ 什么是抽象函數(shù),？一般指“不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征方程的函數(shù)”．而什么又是“特殊條件”和“特征方程”呢,？在我們的印象中無非就是f(x+y)=f(x)+f(y),，f(xy)=f(x)+f(y)，f(x+y)=f(x)f(y)諸類,，這些抽象函數(shù)往往以相應的具體函數(shù)為背景和載體,，依據(jù)其性質(zhì)進行命題，在中學教輔界流行了近十幾年,！每一屆學生都要接受它們的洗禮,，且很多學生和老師也停留在做題和講題的層面上，從來不去想抽象函數(shù)和具體函數(shù)到底是什么關(guān)系．我想一句話可以點破其本質(zhì)：抽象函數(shù)其實就是函數(shù)方程,！當越來越多的學生和老師明白方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解在什么條件下就是正比例函數(shù),；方程f(xy)=f(x)+f(y)的解在什么條件下就是對數(shù)函數(shù)；方程f(x+y)=f(x)f(y)的解在什么條件下就是指數(shù)函數(shù)時,，與此相關(guān)的試題也就完成了自己的使命,，漸漸退出各級各類的考試試卷，相關(guān)的知識也慢慢地成為大家耳熟能詳?shù)臇|西了． 令人痛心的是,，分段函數(shù),、抽象函數(shù)是我國數(shù)學教育界生造的兩個概念,，是應試教育的產(chǎn)物．這反應了教學對本質(zhì)理解的缺失． 問題七：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點問題 受中學教材示例圖形的影響，學生容易形成以下直觀印象： 當a>1時,，y=ax和y=logax的圖像都與直線y=x無交點,，并且兩者也不相交； 當0<a<1時,，y=ax和y=logax的圖像都與直線y=x交于一點,，并且兩者也是只交于這一點． 其實，這些認識是片面的,，因為還有如下兩圖：
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