數(shù)學(xué)是科學(xué)的靈魂，而科學(xué)又是技術(shù)的源頭,，技術(shù)又是生產(chǎn)力增加,、生活條件提升的必要條件。

昨天我們?yōu)榱烁惺芤幌驴低械难芯繉ο?，用的是一條線段和線段上的點來舉例的,，而實際上，康托在研究無窮集合的時候,，也是在類似情景下做研究的,。

他研究的東西，就是數(shù)軸上不同類型的點,。

• 第一個問題,，就是正整數(shù)和實數(shù)，在數(shù)軸上能不能建立起一一對應(yīng)的關(guān)系呢,？

結(jié)果是,，它們不是一一對應(yīng)的。正整數(shù)是可數(shù)的,，實數(shù)是不可數(shù)的,。而且還得出了另外幾條結(jié)論，咱們先直接說,。

比如,，一切代數(shù)是可數(shù)的,，任何線段上的實數(shù)是不可數(shù)的,，超越數(shù)是不可數(shù)的，無窮集合里,，有些集合是可數(shù)的,，有些是不可數(shù)的,。這些結(jié)論咱們不能一一地解釋，但是我挑幾個最簡單的,，你肯定可以聽懂,。

比如現(xiàn)在，我來給你解釋什么叫做有限,，什么叫做可數(shù),，什么叫做不可數(shù)。

那么咱們作一個比喻：

• 我現(xiàn)在問你,，我的年齡是多少,，你就是亂猜，只要猜140次就夠了,，因為人不可能活過這么長的年齡,，所以140次總能猜對。那么你猜我的年齡,，這個候選答案一共有多少呢,？最多就是1到140，每一個數(shù)字都是一個單獨的元素,，它們組成了一個包含140個元素的集合,，這個集合是有限的，它一共140個元素,，這就叫做集合是有限的,。

那我們接下來說，什么叫做集合是無限,，但是可數(shù)的,。

比如問，正多面體一共有多少種,，這個估計很少人能知道答案,，但是我告訴你，它確實有一個數(shù),，你可以猜,，于是你就順著猜，比如說2種,、3種,、4種、5種,，別猜了,，猜對了，就是5種。

正多面體,，就是說這一個立體形狀中每一個面都是正多邊形組成的,，這種立體形狀才能叫做正多面體。其實這是一個很嚴(yán)格的條件,，很難很難滿足,。所以像正5面體，正7面體,，9,、10、11,、13,、14、15,、16,、17，這些正多面體都是統(tǒng)統(tǒng)不存在的,，而你猜的這些數(shù)字,，如果能按照一定順序推進(jìn)下去，你根本不知道它的正確答案是5,，但是你按照一個一個數(shù)位這么遞增下去猜,，終歸有一個時刻你能猜到正確答案，那我們就可以說,，候選答案形成的這個集合是可數(shù)的,。

以剛才咱們問正多面體有多少種這種問題來看，它的概念都是包含在正整數(shù)里的,，所以正整數(shù)是可數(shù)集,。正整數(shù)還對應(yīng)著負(fù)整數(shù)，然后跟0加在一起就組成了整數(shù),。所以,，整數(shù)集合也是可數(shù)的。

那么有理數(shù)呢,？

可能你現(xiàn)在都忘了有理數(shù)的定義是什么了,，有理數(shù)的定義就是整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。那么你可以考慮一下,，有理數(shù)的集合是不是可數(shù)的,。

怎么思考呢？

就是我們還按照剛才的思路,，假設(shè)有一個問題的答案就藏在有理數(shù)集合的數(shù)中,，我們能不能找到一種猜數(shù)字的順序,，這種方法一步一步進(jìn)行下去，早晚能把這個答案猜出來,，不論這個答案是在前面還是在后面。

康托當(dāng)年就在考慮這個問題,，而且把順序想出來了,。

有理數(shù)集

我想大家只要按照上面這張圖的數(shù)字猜下去，不會漏掉任何一個有理數(shù),。所以結(jié)論就是有理數(shù)也是可數(shù)的,。

• 那么實數(shù)集合的情況怎么樣呢？它可數(shù)不可數(shù)呢,？我們有沒有什么尺子來衡量這個標(biāo)準(zhǔn)呢,？

還是我剛剛說的那個思路，就是我們假設(shè)有一個答案藏在實數(shù)集里,，我們能不能定義出一種順著猜數(shù)的方法,，一步一步走下去，最終遇到這個答案呢,？康托最初的突破就是在這里,，他用了反證法這種思維工具，咱們之前提過,。

他假設(shè)存在這么一種猜數(shù)的方法,，然后他找出了一種能把0到1之間所有的實數(shù)都不遺漏地排列出來的一個方法，然后又構(gòu)造出來另外一個特別精巧的小數(shù),，結(jié)果這個小數(shù)竟然不能通過剛剛這種排列篩選出來,，就是這個答案假如真的是他精心構(gòu)造出的這個奇怪的小數(shù)的話，那么通過這種不會遺漏的排查方法,，仍然會把它遺漏,，所以矛盾就出現(xiàn)了。

那么現(xiàn)在的錯誤,，一個是不可能出現(xiàn)在構(gòu)造排列的方法上,，另外也不可能出現(xiàn)在這個特殊的小數(shù)身上。

問題在哪呢,？

那肯定是這個前期假設(shè)是錯的,，也就是說，并不存在這樣一種猜數(shù)的方法,。所以,，實數(shù)集合是不可數(shù)的。

當(dāng)然,，這個方法如果大家感興趣,，可以在維基百科上搜索實數(shù)，你可以仔細(xì)研究一下，因為涉及太多的細(xì)節(jié),，咱們就不在這兒說了,。

雖然我們現(xiàn)在討論的是集合論，這些都是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)才學(xué)的,，但實際上,，這里出現(xiàn)的符號、規(guī)律都是小學(xué)生可以掌握的,。它類似于一種下棋的游戲,，所以我倒是推薦有能力的小同學(xué)或大同學(xué)試試，你至少可以看懂康托的這段反證法,。

等康托推進(jìn)到這一步,，實際上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，實數(shù)中不可數(shù)的這部分遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于可數(shù)的那一部分,。

它們的比值是多少呢,？

是無窮大，也就是實數(shù)軸上可數(shù)的部分占比幾乎為0%,。

所以,，雖然像12345這些是可數(shù)的，這些整數(shù)是無窮多的,，但實數(shù)級是另外一種比無窮多的整數(shù)還多了無窮倍的集合的存在,。換句話說，大家都是無窮多,，但是有的人的無窮多比其他人的無窮多更加劇烈,，這種劇烈程度，康托就稱它為“無窮集合的勢”,。

集合論定義無窮

再接下來,，康托思考的另一個問題，就是如果把自然數(shù)的集合當(dāng)作是勢最小的無窮集合,，實數(shù)集合的勢肯定比自然數(shù)這個大,。

• 那么存在不存在另外一些集合，它的勢處于兩者之間呢,？

這是一種非常不同的思維方式,，它跟傳統(tǒng)的部分小于整體的概念完全不兼容。

比如我現(xiàn)在問,，偶數(shù)跟奇數(shù)誰多呢,？你可能說一樣多，對吧,。那我繼續(xù)問,，偶數(shù)跟整數(shù)誰多呢,？那傳統(tǒng)思維肯定是整數(shù)多呀，因為整數(shù)里頭一半是奇數(shù),，一半是偶數(shù),，整體大于部分嘛，但實際上在集合論中,，偶數(shù)跟整數(shù)是一樣多的,，因為任意一個偶數(shù)總能對應(yīng)一個整數(shù)的數(shù)字。只不過它們是2倍的關(guān)系,。但因為偶數(shù)又是無窮無盡的,，總是能以2倍這樣一一對應(yīng)整數(shù)寫下去,，這種一一對應(yīng)關(guān)系保證了偶數(shù)跟整數(shù)是一樣多的,。

在集合論中，部分可以等于整體,，這種顛覆式的思想還有很多例子,。

• 比如說一條直線上所有的點，和一個平面上所有的點,，誰多呢,？或者一條直線上所有的點，和一個三維空間里所有的點,，誰多呢,？

答案是一樣多。用專業(yè)的詞匯說,，這些定義下的集合具有相同的勢,。因為它們已經(jīng)找到了一一對應(yīng)的映射關(guān)系。

• 所以,，當(dāng)康托在考慮有沒有比自然數(shù)的集的勢大一些,，又同時比實數(shù)集的勢小一些的其他的集合存在呢？

他在想這個問題的時候,，整個數(shù)學(xué)界其實已經(jīng)瘋掉了,。康托在一步一個腳印地定義著集合的各種運算,，和集合之間的關(guān)系用什么描述的時候,，比如像子集、真子集,、冪集,、并集、差集,、交集都是什么,，都是怎么定義的,，兩個集合的笛卡爾積是怎么運算的呀，這些全都定義清楚了,。

最后,，康托給無窮集合本身甚至都下了一個定義，就是如果一個集合能夠找出一種對應(yīng)關(guān)系,，讓它能和它的一部分構(gòu)成一一對應(yīng),，那么這個集合就是無窮的。現(xiàn)在連無窮都在邏輯上嚴(yán)格地定義出來了,，整個集合論的大廈就從地基到5樓全都建起來了,。

不被認(rèn)可的數(shù)學(xué)天才

康托從1870年陷入到其中開始研究的，到了我說的這一步,，經(jīng)歷了14年的時間,，這個時候，他已經(jīng)從一個26歲的小伙子變成了一個40歲的大叔了,。標(biāo)志性的成果,，就是他在40歲的時候出版了一本書，叫《一般集合論基礎(chǔ)》,。

但之后的數(shù)學(xué)界就是鋪天蓋地的攻擊跟反對,，當(dāng)時幾乎所有的數(shù)學(xué)家都在抨擊他。

• 比如有人就搬出了20多年前已經(jīng)去世了的數(shù)學(xué)王子高斯曾經(jīng)的筆記,，高斯這么寫的：我反對把一個無窮量當(dāng)作實體,，數(shù)學(xué)中從來不允許這么做，無窮只不過是一種語言上的說法而已,。這個還屬于很輕的反對,，更多的反對來自于他的親朋好友。
• 康托曾經(jīng)的導(dǎo)師克羅內(nèi)克評價集合論是空洞無物,，還說康托已經(jīng)是一個神經(jīng)病人了,。
• 大數(shù)學(xué)家龐加萊說，應(yīng)該把集合論當(dāng)做一個有趣的病理現(xiàn)象來研究,。
• 外爾評價,，集合論是霧中之霧，康托從前的至交好友施瓦茨因為反對集合論,，結(jié)果跟康托都斷交了,。

像大數(shù)學(xué)家克萊因，大哲學(xué)家維特根斯坦,，像他們那樣能夠不在反對的文章中夾雜著諷刺,，或者謾罵，只是理智客觀地表達(dá)反對意見的人,，其實已經(jīng)算是很客氣了,。

康托

可以說,，康托耗費了畢生青春做出來的東西，最終得到的是這樣的回應(yīng),。也就是在書出版的那一年,，他因為精神壓力過大，出現(xiàn)了嚴(yán)重的精神分裂,，此后人生的34年里,，一直分不清幻覺世界和現(xiàn)實世界的邊界。

據(jù)他妻子說,，他偶爾有幾個星期恢復(fù)清醒的時候,，思想的敏銳程度甚至超過了他患病之前的水準(zhǔn)，康托40歲后所有的成果,，都是在這種間歇性的幾周清醒的時間里完成的,。

在那30多年的渾渾噩噩的人生中，只有哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的開山鼻祖希爾伯特,，對康托有過真心的高度評價,，他說康托的集合論是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品,，是人類純粹智力活動的最高成就之一,，是這個時代能夸耀的最偉大的工作，沒有任何人能將我們從康托創(chuàng)造的伊甸園中驅(qū)趕出來,。

并且希爾伯特在1900年第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上,，他把康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列為了下一個100年有待解決的最重要的23個問題的第一名。

其實康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題就是我剛剛說過的,，存不存在其他的集合,，它的勢大于自然數(shù)集合的勢，而小于實數(shù)集的勢呢,？

今天我們先告一段落,，因為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展遠(yuǎn)沒有結(jié)束，它馬上就要走進(jìn)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)了,。