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上一講中,，我們對相反數(shù)和絕對值的基本內(nèi)容作了一個歸納，這一講,，我們對絕對值的幾何意義作一個深入的剖析．因為在絕對值的知識點中,，蘊含了許多重要的數(shù)學思想． (1)分類討論思想：絕對值化簡時，要根據(jù)被化簡式子的正負性來分類． (2)整體思想：絕對值化簡時,，有時需要將被化簡式子看作整體． (3)數(shù)形結(jié)合思想：絕對值的幾何意義中,，結(jié)合數(shù)軸來了解，更加簡單易懂． ——寫在前面 一,、概念辨析 首先,，來回憶一下絕對值的幾何意義：數(shù)軸上，表示一個數(shù)的點與原點的距離,，叫做這個數(shù)的絕對值．如數(shù)a的絕對值記作|a|,，表示數(shù)a的點與原點的距離． 但是我們其實可以把|a|看作|a－0|，這樣就能表示為數(shù)a的點與數(shù)0的點的距離． 那么|a－5|表示什么呢,？千萬別說成數(shù)a－5的點與數(shù)0的點的距離．而應該看成數(shù)a的點與數(shù)5的點的距離． 不能理解的同學,，我們就舉最簡單的例子，數(shù)10的點與數(shù)5的點的距離是多少,，你肯定是知道是10－5,，那這里只不過把10換成了a而已，如果a比5小,，加個絕對值符號,，保證距離的非負性即可，這下你明白了吧． 那么|a＋5|表示什么呢,？|a＋5|＝|a－(－5)|,，表示數(shù)a的點與數(shù)－5的點的距離． 最后,，你能說出|a－b|和|a＋b|的幾何意義嗎？ 二,、典型例題 1.絕對值化簡求最值 例1 求|x－1|＋|x－2|的最小值． 分析： |x－1|表示數(shù)x的點與數(shù)1的點之間的距離， |x－2|表示數(shù)x的點與數(shù)2的點之間的距離,， |x－1|＋|x－2|表示數(shù)x的點與數(shù)1的點之間的距離與數(shù)x的點與數(shù)2的點之間的距離之和． 我們不妨在數(shù)軸上,，設A、B,、P三點對應的數(shù)分別是1,、2、x． 當1≤x≤2時,，即P點在線段AB上,，此時|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＝1； 當x＞2時,，即P點在B點右側(cè),，此時|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＋2PB＞AB； 當x＜1時,，即P點在A點左側(cè),，此時|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB； 解答： 綜上,，當1≤x≤2時(P點在線段AB上),，|x－1|＋|x－2|取得最小值為1． 結(jié)論歸納： 若已知a＜b，則當a≤x≤b時,， |x－a|＋|x－b|取得最小值為b－a． 變式1 求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值． 分析： 我們不妨在數(shù)軸上,， 設A、B,、C,、P四點對應的數(shù)分別為1、2,、3,、x． ①當1≤x≤3時，|x－1|＋|x－3|＝PA＋PC＝3－1＝2,，取得最小值,； ②當x＝2時，|x－2|＝PB＝0,，取得最小值,； 而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＝PA＋PB＋PC，即上面兩式|x－1|＋|x－3|與|x－2|之和,，如果這兩式能同時取得最小值,，那么它們的和必然也取得最小值． 解答： 當x＝2時,，|x－1|＋|x－2|＋|x－3| 的最小值為(3－1)＋0＝2． 變式2 求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|的最小值． 分析： 我們不妨在數(shù)軸上，設A,、B,、C、D,、P五點對應的數(shù)分別為1,、2、3,、4,、x． ①當1≤x≤4時，|x－1|＋|x－4|＝PA＋PD＝4－1＝3,，取得最小值,； ②當2≤x≤3時，|x－2|＋|x－3|＝PB＋PC＝3－2＝1,，取得最小值,； 而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＝PA＋PB＋PC＋PD，即上面兩式|x－1|＋|x－4|與|x－2|＋|x－3|之和,，如果這兩式能同時取得最小值,，那么它們的和必然也取得最小值． 解答： 當2≤x≤3時，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4| 的最小值為(4－1)＋(3－2)＝4． 變式3 求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋|x－5|的最小值． 分析： 我們不妨在數(shù)軸上,，設A,、B、C,、D,、E、P六點對應的數(shù)分別為1,、2,、3、4,、5,、x． ①當1≤x≤5時，|x－1|＋|x－5|＝PA＋PE＝5－1＝4,，取得最小值,； ②當2≤x≤4時，|x－2|＋|x－4|＝PB＋PD＝4－2＝2,，取得最小值,； ③當x＝3時，|x－3|＝PC＝0,，取得最小值,； 而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3＋|x－4|＋|x－5||＝PA＋PB＋PC＋PD＋PE,，即上面三式|x－1|＋|x－5|，|x－2|＋|x－4|與|x－3|之和,，如果這三式能同時取得最小值,，那么它們的和必然也取得最小值． 解答： 當x＝3時，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋|x－5| 的最小值為(5－1)＋(4－2)＋0＝6． 結(jié)論歸納： 2．絕對值化簡求定值 例3 |x＋1|＋|x－3|＝6,，x＝_______． 分析： |x＋1|＋|x－3|表示數(shù)x的點與數(shù)－1的點之間的距離與數(shù)x的點與數(shù)3的點之間的距離之和． 顯然,，我們易知，當－1≤x≤3時,，距離之和為4，因此,，x的取值必然滿足x＜－1或x＞3． 我們不妨以x＜－1為例,，結(jié)合數(shù)軸分析，設A,、B,、P三點對應的數(shù)分別是－1、3,、x．設P,、A兩點距離為a，則P,、B兩點距離為a＋4,，a＋a＋4＝6，a＝1,，則x＝－1－1＝－2,，同理，當x＞3時,，也可求． 解答： x＜－1,，設P、A兩點距離為a,，則P,、B兩點距離為a＋4， a＋a＋4＝6,，a＝1,，則x＝－1－1＝－2， x＞3,，設P,、B兩點距離為a，則P,、A兩點距離為a＋4,， a＋a＋4＝6,，a＝1，則x＝3＋1＝4,， 綜上,，x＝－2或4． 例4 |x＋1|－|x－3|＝2，x＝_______． 分析： |x＋1|－|x－3|表示數(shù)x的點與數(shù)－1的點之間的距離與數(shù)x的點與數(shù)3的點之間的距離之差． 顯然,，我們易知,，當x＜－1時，距離之差為－4,，當x＞3時,，距離之差為4，因此,，x的取值必然滿足－1≤x≤3． 我們不妨結(jié)合數(shù)軸分析,，設A、B,、P三點對應的數(shù)分別是－1,、3、x．設P,、A兩點距離為a,，則P、B兩點距離為a－2,，a＋a－2＝4,，a＝3，則x＝－1＋3＝2． 解答： x＝2 本講思考題 |
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