在上一篇文章《深度：宇稱不守恒到底說了啥,？楊振寧和李政道的發(fā)現(xiàn)究竟有多大意義,？》里，長尾君用了很長的篇幅跟大家聊了聊宇稱不守恒的事,。大家也知道楊振寧和李政道先生因此斬獲了全球華人的第一個諾貝爾獎,，然而，對楊振寧關(guān)注多一點(diǎn)的人就會經(jīng)常聽到這樣一個說法,，說宇稱不守恒雖然為楊振寧贏得了物理學(xué)界至高無上的諾貝爾獎,，但這并不是他的最高成就，楊先生最大的貢獻(xiàn)是楊-米爾斯理論。

這下子很多人就懵圈了,。楊-米爾斯理論是啥,？上學(xué)的時候老師肯定沒講過，去百度上搜,，搜出來結(jié)果更是一頭霧水,，那都是只有懂的人才能看得懂的東西。隱隱約約能感覺到楊振寧先生好像做了什么非常了不起的工作,，但是要具體說他做了啥,，在科學(xué)上有啥意義，就迷糊了,。

那楊-米爾斯理論到底重不重要,？重要，當(dāng)然重要,，絕對的重要,，這是現(xiàn)代規(guī)范場論和粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)。在講宇稱不守恒的時候我就說過,，楊-米爾斯理論是一個背景更加宏大的故事,。宇稱不守恒雖然也影響了物理學(xué)的方方面面，但是我們把它單獨(dú)拎出來還是馬馬虎虎能講清楚的,，而楊-米爾斯理論就不一樣了,，想要把它搞清楚，我們得把視角上升到整個物理學(xué)發(fā)展的高度上來,，因?yàn)檫@是一個跟物理學(xué)主線密切相關(guān)的故事,。

01物理學(xué)的主線

物理學(xué)家到底在研究什么？

大自然中有各種各樣的現(xiàn)象,，有跟物體運(yùn)動相關(guān)的,，有跟聲音、光,、熱相關(guān)的,，有跟閃電、磁鐵相關(guān)的,，也有跟放射性相關(guān)的等等,。物理學(xué)家們就去研究各種現(xiàn)象背后的規(guī)律，然后他們得到了一堆關(guān)于運(yùn)動啊,，聲學(xué),、光學(xué)、熱學(xué)之類的定律,，然后物理學(xué)家們就滿意了么,？

當(dāng)然不滿意，為啥？定律太多了,！

你想想,，如果每一種自然現(xiàn)象都用一種專門的定律來描述它，那得有多少“各自為政”的定律啊,。于是物理學(xué)家們就想：我能不能用更少的定律來描述更多的現(xiàn)象呢？有沒有可能有兩種現(xiàn)象表面上看起來毫不相關(guān),，但是在更深層次上卻可以用同一種理論去描述,？有沒有可能最終用一套理論來描述所有的已知的事情？

這個事情,，本質(zhì)上就跟秦始皇要統(tǒng)一六國一樣,，我決不允許還有其他六個各自為政的國家存在，必須讓所有人遵守同樣的法律,，服從同一個政令,，用同樣的語言和文字，這樣才和諧,。物理學(xué)家的統(tǒng)一之路,，也是這樣浩浩蕩蕩地開始的。

牛頓統(tǒng)一了天上和地上的力,，麥克斯韋統(tǒng)一了電,、磁、光,。到了19世紀(jì),，隨著人們對微觀世界研究的深入，許多在宏觀上風(fēng)牛馬不相及的東西,，在微觀層面上卻很好的統(tǒng)一了起來,。比如我們熟悉的支持力、彈力,、摩擦力之類的東西,，在宏觀上它們確實(shí)是不同的東西，但是到了微觀一看：這些雜七雜八的力全都是分子間作用力造成的,，而分子間作用力本質(zhì)上就是電磁力,。并且，這些分子,、原子運(yùn)動的快慢,，在宏觀層面上居然體現(xiàn)為溫度，然后熱現(xiàn)象就變成了一種力學(xué)現(xiàn)象,。

于是,，到了19世紀(jì)末，人類所有已知現(xiàn)象背后的力就都?xì)w結(jié)為引力和電磁力，其中引力由牛頓的萬有引力定律描述,，電磁力由麥克斯韋方程組描述,。但尷尬的是，麥克斯韋方程組和牛頓力學(xué)這套框架居然是矛盾的,，那么到底是麥克斯韋方程組有問題還是牛頓力學(xué)的這套框架有問題呢,？

愛因斯坦說麥克斯韋方程組沒毛病，牛頓的框架有問題,。于是愛因斯坦升級了一下牛頓的這套框架,，在新框架下繼續(xù)跟麥克斯韋方程組愉快的玩耍，這套升級后的新框架就叫狹義相對論,。

在狹義相對論這個新框架里,，麥克斯韋方程組不用做任何修改就能直接入駐，這是一等公民,。另外,，牛頓力學(xué)里有些東西無法直接搬過來，但是稍微修改一下就可以很愉快的搬到這個新框架里來,，比如動量守恒定律（直接用牛頓力學(xué)里動量的定義,，在狹義相對論里動量是不守恒的，需要修改一下就守恒了）,，這是二等公民,。還有一類東西，無論怎么改都無法讓它適應(yīng)這個新框架,，這是刁民,。

刁民讓人很頭痛啊，不過還好,，雖然有刁民,，但是刁民的數(shù)量不多，就一個：引力,。牛頓的萬有引力定律在牛頓力學(xué)那個框架里玩得很愉快,，但是它骨頭很硬，不管怎么改,，它就是寧死不服狹義相對論這個新框架,，那要怎么辦呢？當(dāng)然,，我們可以繼續(xù)改,，我們相信雖然現(xiàn)在引力它不服，但是以后總能找到讓它服氣的改法,。但是愛因斯坦另辟蹊徑,，他說引力這小子不服改我就不改了,，然后他另外提出了一套新理論來描述引力，相當(dāng)于單獨(dú)給引力蓋了一棟別墅,。結(jié)果這套新引力理論極其成功,，而且愛因斯坦提出這套新理論的方式跟以往的物理學(xué)家們提出新理論的方式完全不一樣，這種新手法帶來夢幻般的成功驚呆了全世界的物理學(xué)家,，然后愛因斯坦就被捧上天了,，這套新理論就叫廣義相對論。

愛因斯坦用廣義相對論馴服了引力,，用狹義相對論安置好了電磁力之后,，接下來的路就很明顯了：統(tǒng)一引力和電磁力，就像當(dāng)年麥克斯韋統(tǒng)一電,、磁、光那樣,，畢竟用一套理論解釋所以的物理現(xiàn)象是物理學(xué)家們的終極夢想,。但是，愛因斯坦窮盡他的后半生都沒能統(tǒng)一引力和電磁力,。不僅如此,，隨著實(shí)驗(yàn)儀器的進(jìn)步，人們撬開了原子核,，在原子核內(nèi)部又發(fā)現(xiàn)了兩種新的力：強(qiáng)力和弱力,。

這下可好，不但沒能統(tǒng)一引力和電磁力,，居然又冒出來兩種新的力,。所以，我們現(xiàn)在的局面變成了有四種力：引力,、電磁力,、強(qiáng)力和弱力。其中,，引力用廣義相對論描述,，電磁力用麥克斯韋方程組（量子化之后用量子電動力學(xué)QED）描述，強(qiáng)力和弱力都還不知道怎么描述,，統(tǒng)一就更別談了,。

到了這里，我們這篇文章的主角楊-米爾斯理論終于要登場了,，我先把結(jié)論告訴大家：現(xiàn)在強(qiáng)力就是用楊-米爾斯理論描述的,，弱力和電磁力現(xiàn)在已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了完全的統(tǒng)一，統(tǒng)一之后的電弱力也是用楊-爾斯理論描述的,。也就是說,，在四種基本力里,，除了引力，其它三種力都是用楊-米爾斯理論描述的,，所以你說楊-米爾斯理論有多重要,？

同時，我們也要知道,，楊-米爾斯理論是一套非?；A(chǔ)的理論，它提供了一個非常精妙的模型,，但是理論本身并不會告訴你強(qiáng)力和電弱力具體該怎樣怎樣,。蓋爾曼他們把楊-米爾斯理論用在強(qiáng)力身上，結(jié)合強(qiáng)力各種具體的情況,，最后得到的量子色動力學(xué)（QCD）才是完整描述強(qiáng)力的理論,。格拉肖、溫伯格和薩拉姆等人用來統(tǒng)一弱力和電磁力的弱電統(tǒng)一理論跟楊-米爾斯理論之間也是這種關(guān)系,。他們之間的具體關(guān)系我們后面再說,，這里先了解這些。

以上就是一部極簡的物理學(xué)統(tǒng)一史,，只有站在這樣的高度,，我們才能對楊-米爾斯理論有個比較清晰的定位。統(tǒng)一是物理學(xué)的主線,，是無數(shù)物理學(xué)家們孜孜以求的目標(biāo),，楊-米爾斯能在這條主線里占有一席之地，其重要性不言而喻,。有了這樣的認(rèn)知,，我們才能繼續(xù)我們下面的故事。

在物理學(xué)的統(tǒng)一史里,，有一個人的工作至關(guān)重要,，這個重要倒不是說他提出了多重要的理論（雖然他的理論也極其重要），而是他顛倒了物理學(xué)的研究方式,。以他為分水嶺,，物理學(xué)家探索世界的方式發(fā)生了根本的改變。正是這種改變,，讓20世紀(jì)的物理學(xué)家們能夠游刃有余的處理比之前復(fù)雜得多得多的物理世界,，讓他們能夠大膽的預(yù)言各種以前想都不敢想的東西。這種思想也極其深刻的影響了楊振寧先生,，楊振寧先生反過來又把這種思想發(fā)揚(yáng)光大,，最后產(chǎn)生了精妙絕倫的楊-米爾斯理論。

那么這個人是誰呢,？沒錯,，他就是愛因斯坦,。那么，愛因斯坦究發(fā)現(xiàn)了什么,，以至于顛倒了物理學(xué)的研究方式呢,？

02被顛倒的物理學(xué)

大家先想一想，愛因斯坦之前的物理學(xué)家是怎么做研究的,？

他們?nèi)プ龈鞣N實(shí)驗(yàn),，去測量各種數(shù)據(jù)，然后去研究這些數(shù)據(jù)里的規(guī)律,，最后用一組數(shù)學(xué)公式來“解釋”這些數(shù)據(jù),，如果解釋得非常好，他們就認(rèn)為得到了描述這種現(xiàn)象的物理定律,，然后順帶著發(fā)現(xiàn)了隱藏在理論里的某些性質(zhì),，比如某種對稱性。在這里我們能清晰的看到實(shí)驗(yàn)-理論-對稱性這樣一條線,，這也符合我們通常的理解,。

但是，愛因斯坦把這個過程給顛倒了,，他發(fā)現(xiàn)上面的過程在處理比較簡單的問題的時候還行，但是當(dāng)問題變得比較復(fù)雜,，當(dāng)實(shí)驗(yàn)不再能提供足夠多的數(shù)據(jù)的時候,，按照上面的方式處理問題簡直是一種災(zāi)難。

比如,，牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的時候,，開普勒從第谷觀測的海量天文數(shù)據(jù)里歸納出了行星運(yùn)動的三大定律，然后牛頓從這里面慢慢猜出了引力和距離的平方反比關(guān)系,，這個還馬馬虎虎可以猜出來,。我們再來看看牛頓引力理論的升級版-廣義相對論的情況：

上圖是廣義相對論的引力場方程，你告訴我這種復(fù)雜的方程要怎樣從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)里去湊出公式來,？況且,，廣義相對論在我們?nèi)粘Ｉ罾锔ｎD引力的結(jié)果幾乎一樣，第谷觀測了那么多天文數(shù)據(jù)可以讓開普勒和牛頓去猜公式,，但是在20世紀(jì)初有啥數(shù)據(jù)讓你去猜廣義相對論,？水星近日點(diǎn)進(jìn)動問題是極少數(shù)不符合牛頓引力理論的，但是人們面對這種問題,，普遍第一反應(yīng)是在水星里面還有一顆尚未發(fā)現(xiàn)的小行星,，而不是用了幾百年的牛頓引力有問題。退一萬步說,，就算你當(dāng)時認(rèn)為那是因?yàn)榕ｎD引力不夠精確造成的,，但是就這樣一個數(shù)據(jù),，你怎么可能從中歸納出廣義相對論的場方程？

經(jīng)過一連串的深度碰壁之后,，愛因斯坦意識到當(dāng)理論變得復(fù)雜的時候,，試圖從實(shí)驗(yàn)去歸納出理論的方式是行不通的，洛倫茲不就是被邁克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)牽著鼻子走,，最終才錯失發(fā)現(xiàn)狹義相對論的么,？實(shí)驗(yàn)不可靠，那么愛因斯坦就要找更加可靠的東西,，這個更加可靠的東西就是對稱性,！

于是愛因斯坦在物理學(xué)的研究方式上來了一場哥白尼式的革命：他先通過觀察分析找到一個十分可靠的對稱性，然后要求新的理論具有這種對稱性,，從而直接從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出它的方程,，再用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證他的理論是否正確。在這里,，原來的實(shí)驗(yàn)-理論-對稱性變成了對稱性-理論-實(shí)驗(yàn),，對稱性從原來理論的副產(chǎn)品變成了決定理論的核心，實(shí)驗(yàn)則從原來的歸納理論的基礎(chǔ)變成了驗(yàn)證理論的工具,。理解這一轉(zhuǎn)變非常的重要,，后面的物理學(xué)家都是這么干的，我們要先把思路調(diào)對,，不然到時候就容易出現(xiàn)各種不適應(yīng),。

愛因斯坦利用這樣思路，先確定了廣義坐標(biāo)不變性,，然后從這個對稱性出發(fā)得到了一套新的引力理論,，這就是廣義相對論。這也是為什么其他科學(xué)家看到廣義相對論之后一臉懵逼,，而且說如果不是愛因斯坦,，恐怕50年之內(nèi)都不會有人發(fā)現(xiàn)這套理論的原因。愛因斯坦是第一個這么反過來干的,，廣義相對論大獲成功之后人們才發(fā)現(xiàn)原來理論研究還可以這么干,，這種思想后來被楊振寧先生發(fā)揚(yáng)光大，并形成了“對稱決定相互作用”這樣的共識,。

愛因斯坦完成廣義相對論之后,，繼續(xù)朝著更偉大的目標(biāo)“統(tǒng)一場論（統(tǒng)一引力和電磁力）”進(jìn)軍，在強(qiáng)力和弱力還沒有被發(fā)現(xiàn)的年代,，能夠統(tǒng)一引力和電磁力的理論似乎就是終極理論了,。我們現(xiàn)在都知道愛因斯坦終其后半生都未能完成統(tǒng)一場論，但是統(tǒng)一場論的巨大光環(huán)和愛因斯坦自帶的超級偶像的磁場還是吸引了一些物理學(xué)家,，也帶來了一些有意思的新想法,。

03規(guī)范不變性

我們再來理一理愛因斯坦的思路：愛因斯坦把對稱性放在更加基礎(chǔ)的位置,，然后從對稱性導(dǎo)出新的理論。他從洛倫茲不變性導(dǎo)出了狹義相對論,，從廣義坐標(biāo)不變性導(dǎo)出了廣義相對論,，現(xiàn)在我們試圖統(tǒng)一引力和電磁力，那么,，有一個問題就會很自然地被提上日程：究竟什么樣的一種對稱性會導(dǎo)出電磁理論呢,？

這個問題很自然吧，但是它的答案卻不是那么好找的,，這么容易就讓你找到導(dǎo)致電磁理論的不變性,，上帝豈不是太沒面子了？麥克斯韋方程組是從前人的實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)定律總結(jié)出來的,，并沒有指定什么具體的對稱性,，那要怎么辦呢？

不著急,，諾特定理告訴我們對稱性跟守恒定律是一一對應(yīng)的,，我現(xiàn)在不是要找導(dǎo)出電磁理論的對稱性么？那么我就去看看電磁理論里有什么守恒定律唄,，最好還是電磁理論里特有的,。

說到電磁理論里特有的守恒定律，那肯定就是電荷守恒啊,。電荷肯定是只有電磁學(xué)才有的東西,，而且電荷守恒定律又是這么明顯，不管是不是它,，它肯定是嫌疑最大的那個,，必須抓起來嚴(yán)刑拷問,，看看跟它私通的對稱性到底是什么,。

在外爾的嚴(yán)刑逼供下，電荷守恒招了：跟電荷守恒相對應(yīng)的對稱性是波函數(shù)的相位不變性,，（在量子力學(xué)里粒子的狀態(tài)是用波函數(shù)來描述的,，既然波那肯定就有相位），但是由于歷史原因,，這個相位不變性我們一直稱為規(guī)范不變性,，也叫規(guī)范對稱性。

這個相位不變性,，或者說規(guī)范不變性,，我們怎么理解呢？為什么麥克斯韋的電磁理論里會有規(guī)范不變性呢,？如果從公式里看就非常的簡單,，就是我給它這里做了一個相位變換,，它另一個地方就產(chǎn)生了一個相反的相位，總體上剛好給抵消了,；如果從直覺上去感覺,，你可以想想，在量子力學(xué)里,，波函數(shù)的模的平方代表在這里發(fā)現(xiàn)該粒子的概率,，你一個波函數(shù)的相位不論怎么變，它的模的平方是不會變的啊,。如果你還想繼續(xù)深挖,，我推薦你去看一看格里菲斯的《粒子物理導(dǎo)論》（在公眾號回復(fù)“粒子物理導(dǎo)論”可以獲取這本書的電子版），他在第十章里專門用了一章來討論規(guī)范理論,，而且很通俗,。

總的來說就是：規(guī)范不變性導(dǎo)致電荷守恒。

但是事情還沒完,，外爾接著發(fā)現(xiàn)了一件真正讓人吃驚的事：我們上面說規(guī)范不變性導(dǎo)致電荷守恒,，這里說的規(guī)范不變性指的是整體規(guī)范不變性，但是外爾發(fā)現(xiàn)如果我們要求這個規(guī)范不變性是局域的,，那么我們就不得不包括電磁場,。

泡利針對這個做了進(jìn)一步的研究，1941年,，泡利發(fā)表了一篇論文,，他在論文里嚴(yán)格的證明了：U（1）群整體規(guī)范對稱性對應(yīng)電荷守恒，它的局域規(guī)范對稱性產(chǎn)生電磁理論,，甚至可以直接從它推導(dǎo)出麥克斯韋方程組,。U（1）群是群論里的一種群的名字，叫酉群（unitary group）,，或者幺正群,，數(shù)字1表示這是1階酉群，我們現(xiàn)在只需要知道對稱性在數(shù)學(xué)上就是用群論來描述,，而且通常不同的理論對應(yīng)不同的群（這里電磁理論就對應(yīng)U（1）群）就行了,。

也就是說，我們現(xiàn)在終于找到了決定電磁理論的對稱性,，它就是U（1）群的局域規(guī)范對稱性,。U（1）群和規(guī)范對稱我前面都解釋了，那么問題的關(guān)鍵就落在對稱性的整體和局域的區(qū)別上了,。

04整體對稱和局域?qū)ΨQ

整體對稱,，顧名思義，如果一個物體所有的部分都按照一個步調(diào)變換，那么這種變換就是整體的,。打個比方,，舞臺上所有的演員都同步地向前、向后走,，或者全都做同樣的動作,，觀眾看著演員都整整齊齊的，覺得所有人都像是一個人的復(fù)制品一樣,，這樣的變換就是整體的,。如果經(jīng)過這樣一種整體的變換之后，它還能保持某種不變性,，我們就說它具有整體對稱性,。

有了整體對稱的概念，局域?qū)ΨQ就好理解了,，類比一下,，如果一個物體不同的部分按照不同的步調(diào)變換，那么這種變換就是局域的,。還是以舞臺為例,，導(dǎo)演為了使表演更具有個性，他想讓演員表現(xiàn)出波浪的樣子,，或者是千手觀音那樣,，再或者是形成各種不斷變化的圖案，這種時候每個人的動作變換就不一樣了吧,，也不會說所有人都像一個人的復(fù)制品一樣了,，這時候這種變換就是局域的。因?yàn)樗辉偈撬械娜税凑找粋€規(guī)則變換,，而是局部的每個人都有他局域特有的變換規(guī)則,。同樣的，如果經(jīng)過這樣一種局域的變換之后,，它還能保持某種不變性,，我們就說它具有局域?qū)ΨQ性。

從上面的情況我們看出來,，整體變換要簡單一些,，所有的地方都按照同樣的規(guī)則變換,，而局域變換就復(fù)雜多了,，不同的地方按照不同的規(guī)則變換。所以,，很明顯,，如果你要求一套理論具有某種局域?qū)ΨQ，這比要求它具有整體對稱復(fù)雜得多，局域變換對物理定律形式的要求就更加嚴(yán)格一些,。但是,，你一旦讓它滿足局域?qū)ΨQ了，它能給你的回報(bào)也會多得多,。

還是電磁理論的例子：整體規(guī)范對稱性下我們只能得到電荷守恒,，但是一旦要求它具有局域規(guī)范對稱性，整個電磁理論,，甚至麥克斯韋方程組都直接得到了,。電荷守恒和麥克斯韋方程組，這就是整體對稱和局域?qū)ΨQ給的不同回報(bào),，孰輕孰重差別很明顯吧,？電荷守恒是可以直接從麥克斯韋方程組里推導(dǎo)出來的。

以上是偏科普的解釋,，從數(shù)學(xué)的角度來說,，整體變換就是你所有的變換跟時空坐標(biāo)無關(guān)，局域變換就是你的變換是一個跟時空坐標(biāo)相關(guān)的函數(shù),。跟時空坐標(biāo)相關(guān)的函數(shù),，其實(shí)就是說不同的時空點(diǎn)，這個函數(shù)值是不一樣的,，也就是說變換不一樣,。

不管從哪種解釋（從數(shù)學(xué)更容易），我們其實(shí)都可以看出：整體變換其實(shí)只是局域變換的一種特例,。局域變換里變的是一個跟時空坐標(biāo)相關(guān)的函數(shù),，但是這個函數(shù)的值也可以是一個定值啊，這時候局域變換就退化成整體變換了,。

那么,，一個大膽的想法就產(chǎn)生了：在電磁理論里，整體規(guī)范對稱性對應(yīng)著電荷守恒,，但是我一旦要求這個整體規(guī)范對稱性在局域下也成立,，我立馬就得到了整個電磁理論。那么我可不可以把這種思想推廣到其他領(lǐng)域呢,？比如強(qiáng)力,、弱力，有沒有可能同樣要求某種整體對稱性在局域成立,，然后可以直接產(chǎn)生強(qiáng)力,、弱力的相關(guān)理論呢？

這是一個十分誘人的想法,，楊振寧從他讀研究生的時候就在開始琢磨這個事,，但是一直到十幾年后的1954年，也就是他32歲的時候才有結(jié)果，這個結(jié)果就是大名鼎鼎的非阿貝爾規(guī)范場論,，也叫楊-米爾斯理論,。

05楊振寧的“品位”

在我們正式講楊-米爾斯理論之前，我們先來聊一聊楊振寧先生的品位,。

有一個曾經(jīng)跟愛因斯坦共事過的物理學(xué)家這樣回憶：我記得最清楚的是,，當(dāng)我提出一個自認(rèn)為有道理的設(shè)想時，愛因斯坦并不與我爭辯,，而只是說：“啊,，多丑！”,。只要他覺得一個方程是丑的,，他就對之完全失去了興趣，并且不能理解為什么還會有人愿意在上面花這么多時間,。他深信,，美是探索理論物理中重要結(jié)果的一個指導(dǎo)原則。

愛因斯坦自己也說：“我想知道上帝是如何創(chuàng)造這個世界的,。對這個或那個現(xiàn)象,、這個或那個元素的譜我并不感興趣。我想知道的是他的思想,，其他的都只是細(xì)節(jié)問題,。”

愛因斯坦對一個理論的美學(xué)要求達(dá)到了一種不可思議的地步。從麥克斯韋電磁學(xué)里發(fā)現(xiàn)的洛倫茲不變性成了狹義相對論的核心,，但是愛因斯坦覺得狹義相對論偏愛慣性系,，這點(diǎn)讓他很不滿。他覺得洛倫茲不變性的范圍太窄了,，上帝不應(yīng)該讓這么美的思想之局限在慣性系里,，所以他要以一個在所有參考系里都成立的不變性為前提，重新構(gòu)造一個新的理論,，這就是廣義坐標(biāo)不變性和廣義相對論的來源,。

說白了，愛因斯坦就是覺得：這么好的對稱性,，這么美的想法,，如果上帝你不選用它作為構(gòu)造世界的理論，那上帝簡直就是瞎子,。愛因斯坦深信上帝一定是用簡單和美來構(gòu)造這個世界的,，所以我從如此簡單和美的對稱出發(fā)構(gòu)造的理論一定是有意義的。

楊振寧先生的品位,，跟愛因斯坦幾乎是一模一樣的,，這也是一位對理論的美學(xué)要求達(dá)到了不可思議地步的人。楊振寧先生最為崇敬的物理學(xué)家就是愛因斯坦,，他對愛因斯坦顛倒物理學(xué)的研究方式,，把對稱性放在極為重要的位置，以及對科學(xué)理論簡單和美的追求都有非常深刻的領(lǐng)悟,。除此之外,，楊振寧還有一個一般物理學(xué)家不具備的優(yōu)勢：他有一個非常厲害的數(shù)學(xué)家老爹，這就使得楊振寧的數(shù)學(xué)水平比同時代的物理學(xué)家高出很多,。數(shù)學(xué)在現(xiàn)代物理中有多重要不用我多說,，這就叫憑實(shí)力拼爹~

楊振寧先生是父親楊武之是著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，是數(shù)學(xué)教育家就意味著他會以一種非常恰當(dāng)?shù)姆绞阶寳钫駥幗佑|并喜歡數(shù)學(xué),。楊振寧還是中學(xué)生的時候,，他就從父親那里接觸到了群論的基礎(chǔ)原理。諾特定理的發(fā)現(xiàn)讓物理學(xué)家們重視對稱性,，但是他們對群論這種對稱性的數(shù)學(xué)語言卻沒有足夠的重視,。當(dāng)時很多物理學(xué)家都反對把群論這種過于抽象的數(shù)學(xué)語言引入到物理學(xué)里來，懟神泡利直接把群論嘲諷為“群禍”,，薛定諤表示附議,，愛因斯坦也只是把群論當(dāng)做一個細(xì)枝末節(jié)的工作。

幸運(yùn)的是,，楊武之恰好是擅長群論的數(shù)學(xué)家,，他在清華大學(xué)開過群論的課程，當(dāng)時華羅庚,、陳省身這些未來的數(shù)學(xué)大師都來聽過課,。有這樣的父親，楊振寧對群論肯定不陌生,，而楊振寧在西南聯(lián)大學(xué)士論文的題目選的就是《群論和多原子分子的振動》,，他的老師吳大猷就借此引導(dǎo)他從群論開始關(guān)注物理學(xué)的對稱性問題。

所以,，年紀(jì)輕輕的楊振寧就已經(jīng)非常重視物理學(xué)的對稱性問題,，并且在那個其他物理學(xué)家還在普遍懷疑群論的年代，他已經(jīng)很好的掌握了群論這種研究對稱性的重要工具,，這無疑是非常幸運(yùn)的,。有這樣的楊振寧，他會對泡利在1941年發(fā)表的那篇論文感興趣是很自然的,。

06對稱性的推廣     

我們把眼光再拉回20世紀(jì)四五十年代,，這時候人們已經(jīng)知道自然界除了電磁力和引力之外還有強(qiáng)力和弱力，強(qiáng)力把質(zhì)子和中子黏在一起（不然質(zhì)子都帶正電,，同性相斥早就把原子核拆了）,，弱力在原子核衰變的時候發(fā)揮作用（比如中子衰變變成質(zhì)子,、電子和反中微子的β衰變）。但是那時候?qū)?qiáng)力和弱力的認(rèn)識都還非常的膚淺,，湯川秀樹的介子理論,、費(fèi)米的四費(fèi)米子理論都能只能解釋強(qiáng)力、弱力的一些現(xiàn)象,，還有大把的問題他們沒法解決,，誰都知道這些理論只是關(guān)于強(qiáng)力、弱力的一個過渡理論,，最后肯定要被更加精確的理論取代,，但是該怎樣去尋找更加精確的理論，大家心里也都沒譜,，沒有一個十分清晰的思路,。

但是楊振寧先生那時候的思路確是很清晰的：他對理論的美學(xué)要求是跟愛因斯坦一樣苛刻的，因此,，任何只是試圖粗糙,、唯象的模擬強(qiáng)力、弱力的理論他都懶得搭理（就跟愛因斯坦嫌棄它們長得丑一樣）,。然后,，加上數(shù)學(xué)大牛的父親和恩師吳大猷的悉心栽培，楊振寧那先生對數(shù)學(xué)的群論,、物理學(xué)的對稱性都有非常深刻的理解,，所以他就特別理解外爾那種想法的重要性。所以,，他要不惜一切代價的擴(kuò)展它,。

外爾發(fā)現(xiàn)U（1）群整體規(guī)范對稱性對應(yīng)電荷守恒，但是,，一旦我把這個整體對稱性推廣到局域,，我就可以直接得到整個電磁理論。這種想法對物理學(xué)上有“潔癖”的楊振寧來說,，吸引力實(shí)在是太大了,，因?yàn)樗鼘?shí)在是太美太簡潔，給出的回報(bào)也太豐厚,。如果我在強(qiáng)力,、弱力里通過把某種規(guī)范對稱性從整體推廣到局域，是不是也可以得到關(guān)于強(qiáng)力,、弱力的理論呢,？

我們從事后諸葛亮的角度看，好像這一切都顯得很自然,，好像只要是物理學(xué)家都應(yīng)該想到這個,。但其實(shí)不然,，且不說當(dāng)愛因斯坦在搞統(tǒng)一場論的時候，他就已經(jīng)被所謂的主流物理學(xué)界給邊緣化了,，外爾跟著愛因斯坦搞統(tǒng)一場論時提出的這種想法跟著被邊緣化是很正常的事情,。物理學(xué)家們每天都要產(chǎn)生各種各樣的想法，這些想法哪些可靠,，哪些值得考慮,，哪些值得自己深入研究,，哪些東西值得自己不顧一切的去守護(hù),，這原本就是一個極困難的問題，也是非?？简?yàn)物理學(xué)家水平的事情,。

在當(dāng)時更多物理學(xué)家的眼里，外爾這樣的手法可能確實(shí)很漂亮,，但有點(diǎn)“繡花枕頭”的嫌疑：麥克斯韋方程組我們早就知道了,，狄拉克、費(fèi)曼等人也已經(jīng)成功的把電磁場量子化了（就是所謂的量子電動力學(xué)）,，你在電磁領(lǐng)域這樣顛來倒去好像確實(shí)很漂亮,，但是沒有增加任何知識啊？好吧,，就算你的這個東西可能更普適,，可能在強(qiáng)力、弱力里也有用武之地,，但是在當(dāng)時主流的描述強(qiáng)力和弱力的理論（也就是湯川秀樹的介子理論和費(fèi)米的四費(fèi)米子理論）里,，也看不到合適的用武的地方。而且,，一般物理學(xué)家對“對稱決定相互作用”的認(rèn)識還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到愛因斯坦和楊振寧的水平,，所以他們不怎么關(guān)注這個也是自然的。

所以,，當(dāng)時除了楊振寧,、泡利、外爾等寥寥幾人關(guān)注這個以外,，其他人對此根本就不關(guān)心,。而在這些關(guān)注的人里，楊振寧又無疑是其中對此關(guān)注度最高的一個,，畢竟本科論文就是做的這個,，后來給他帶來諾貝爾獎的宇稱不守恒也是關(guān)于對稱性的，他一直對對稱性在物理學(xué)里的作用保持極高的關(guān)注度,。

既然想推廣外爾的思想,，試圖通過找到某種新的局域規(guī)范對稱性來找到強(qiáng)力,、弱力的理論，那么關(guān)鍵就是要找到這種對稱性,。但是怎么找這種對稱性呢,？當(dāng)然還是按照諾特定理，去看看強(qiáng)力,、弱力里有什么守恒定律唄,，最好還是像電荷守恒那樣，在那種相互作用力特有的,。

07同位旋

楊振寧通過一番審查,，發(fā)現(xiàn)弱相互作用里暫時沒有什么特殊的守恒定律，但是強(qiáng)相互作用力里卻有一個現(xiàn)成的：同位旋守恒,。而且這個同位旋守恒還只在強(qiáng)相互作用下守恒,，在其它作用下不一定守恒，這不剛好么,。

同位旋是啥呢,？大家只要看一下質(zhì)子（1.6726231 × 10^-27千克）和中子（1.6749286 ×10^-27千克）的質(zhì)量，就會發(fā)現(xiàn)它們的質(zhì)量實(shí)在是太接近了（差別在千分之一）,。而且,，人們還發(fā)現(xiàn)2個質(zhì)子、1個質(zhì)子1個中子,、2個中子之間的強(qiáng)相互作用幾乎是相同的,，也就是說，如果我們不考慮電磁作用,，在強(qiáng)相互作用的眼里,，質(zhì)子和中子完全是相同的。

于是,，海森堡就來了提出了一個大膽的想法：他認(rèn)為質(zhì)子和中子壓根就是同一種粒子-核子的兩種不同的狀態(tài),，它們共同組成了一個同位旋二重態(tài)。在抽象的同位旋空間里,，質(zhì)子可以“旋轉(zhuǎn)”成為中子,，中子也可以“旋轉(zhuǎn)”成為質(zhì)子，因?yàn)橘|(zhì)子和中子在強(qiáng)相互作用下是一樣的,，所以,，我們就可以說：強(qiáng)相互作用具有同位旋空間下的旋轉(zhuǎn)不變性。

大家可能注意到我上面的“旋轉(zhuǎn)”打了一個引號,，因?yàn)槲覀冞@里說的旋轉(zhuǎn)并不是在我們常說的真實(shí)空間里,，而是在核子內(nèi)部抽象出來的同位旋空間，因此這種對稱性又叫內(nèi)部對稱性,，而之前我們談的各種跟時空有關(guān)的對稱性就叫外部對稱性,。內(nèi)部對稱性咋一看好像不那么真實(shí),，但其實(shí)它跟外部對稱是一樣真實(shí)自然的，它們一樣對應(yīng)著守恒定律,，強(qiáng)相互作用下同位旋空間里的這種旋轉(zhuǎn)不變性就對應(yīng)同位旋守恒,。

關(guān)于同位旋的事情這里就不再多說了，大家只要知道在強(qiáng)相互作用里同位旋是守恒的,，并且同位旋空間下質(zhì)子和中子可以相互旋轉(zhuǎn)得到就行了,。

因?yàn)槊枋鰧ΨQ性的數(shù)學(xué)語言是群論，與同位旋這種對稱相對應(yīng)的群叫SU（2）（特殊幺正群）,，里面的數(shù)字2提醒我們這是兩個物體（如質(zhì)子和中子）相互變換來確定的,。我們也先甭管這個SU（2）群到底是什么意思（這是群論的基礎(chǔ)知識，感興趣的自己看群論）,，只需要知道這個群可以描述兩個物體相互變換的這種對稱性,，跟電磁理論里用U（1）群來描述電磁理論里的對稱性一樣的就行了,。

外爾和泡利發(fā)現(xiàn),，只要我們要求系統(tǒng)具有U（1）群的局域規(guī)范不變性，我們就能從中推導(dǎo)出全部的電磁理論,。那么,，楊振寧如果認(rèn)為強(qiáng)力的本質(zhì)由質(zhì)子和中子相互作用產(chǎn)生，那么推廣前面的思想,，我們就應(yīng)該要求系統(tǒng)具有SU（2）群的局域規(guī)范不變性,。

好吧，要推廣那就推廣吧,，不就是把局域規(guī)范不變性從U（1）群推廣到SU（2）群么,，有些人認(rèn)為科學(xué)家們風(fēng)風(fēng)雨雨什么沒見過，把一個東西從U（1）群推廣到SU（2）群應(yīng)該沒什么難度吧,？那你就錯了,，這玩意還真不是這么簡單的，廣義相對論也不過是把狹義相對論里的洛倫茲不變性推廣到了廣義坐標(biāo)不變性,，你覺得這個簡單么,？

U（1）群的問題之所以比較簡單，是因?yàn)楦鶸（1）群對應(yīng)的電磁理論它本身就具有局域規(guī)范對稱性,。也就是說,，當(dāng)我們的麥克斯韋同學(xué)寫下麥克斯韋方程組的時候，他就已經(jīng)把U（1）群的局域規(guī)范對稱性寫到這方程里去了,，雖然他自己沒有意識到,。熟悉電磁理論的人都知道其實(shí)我們有兩套表述電磁場的體系，一套就是我們初中就開始學(xué)習(xí)的場強(qiáng)體系,，還有一套勢體系,，也就是電磁勢這些東西,，從這個角度很容易就能看出它的規(guī)范不變性。

但是SU（2）這里一切都是空白,，沒有電磁勢這樣的東西,。楊振寧先生想做的就是要找到類似電磁勢這種具有局域規(guī)范不變性的東西,，然后利用他們來描述強(qiáng)力，所謂的推廣是這個樣子的一種推廣。在這種推廣里,，最困難的地方就在這四個字：非阿貝爾。

08非阿貝爾群

在前面我跟大家提過,，楊-米爾斯理論又叫非阿貝爾規(guī)范場論,，這個阿貝爾指的是阿貝爾群（以挪威的天才數(shù)學(xué)家阿貝爾命名），它又叫交換群,，通俗的講就是這個群里的運(yùn)算是滿足交換律的,。

最簡單的例子就是整數(shù)的加法，小學(xué)生都知道加法滿足交換律：3+5=5+3,，不論你加數(shù)的順序怎么交換,，最后的結(jié)果都不變。于是,，我們就說整數(shù)和整數(shù)的加法構(gòu)成了一個整數(shù)加法群,，這個群的運(yùn)算（加法）是滿足交換律的，所以這個整數(shù)加法群就是阿貝爾群,。

那么,，非阿貝爾群自然就是指群的運(yùn)算不滿足交換律的群。那么,，不滿足交換律的運(yùn)算有沒有呢,？當(dāng)然有了，最常見的就是矩陣的乘法,。稍微有點(diǎn)線性代數(shù)基礎(chǔ)的人都知道：兩個矩陣相乘,，交換兩個矩陣的位置之后得到的結(jié)果是不一樣的。而矩陣這種東西在數(shù)學(xué),、物理學(xué)里是非?；A(chǔ)的東西，比如你對一個物體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作,，最后都可以轉(zhuǎn)化為物體跟一個旋轉(zhuǎn)矩陣的運(yùn)算,，這樣非阿貝爾其實(shí)就沒啥奇怪的了。

這里我借用一下徐一鴻在《可畏的對稱》（強(qiáng)烈安利這本書,，需要的在公眾號里回復(fù)“可畏的對稱”即可）里的一個例子讓大家感受一下這種不可交換的次序,，也就是非阿貝爾的感覺。

上圖是一個新兵，他現(xiàn)在要執(zhí)行兩個操作,，一個是順時針旋轉(zhuǎn)90°（從上往下看）,，一個是向右倒（其實(shí)就是從外往里看順時針旋轉(zhuǎn)90°）。上面的a圖是先旋轉(zhuǎn)再右倒,，而下面的b圖則是先右倒再旋轉(zhuǎn),，我們可以清楚的看到，最后這兩個人的狀態(tài)是完全不一樣的（一個左側(cè)對著你,，一個頭對著你）,。

狀態(tài)不一樣說明什么呢？說明這兩個旋轉(zhuǎn)操作如果改變先后次序的話,，得到的結(jié)果是不一樣的,，而這兩個旋轉(zhuǎn)操作都可以通過跟兩個矩陣相乘得到，這說矩陣的乘法是不能隨意交換順序的,。

好了,，有了這些概念，我們再回到楊振寧先生的問題上來,。

09楊-米爾斯理論

外爾把U（1）群的整體規(guī)范對稱性推廣到了局域,，因?yàn)閁（1）群（1×1矩陣）是阿貝爾群，所以這個過程很簡單,；楊振寧試圖把SU（2）群的整體規(guī)范對稱也推廣到局域,，但SU（2）群（2×2矩陣）是非阿貝爾群,，這個就麻煩了,。

我們知道楊振寧先生的數(shù)學(xué)水平在物理學(xué)家群體里是非常高的，他的父親楊武之就是群論大師,，他自己也很早就進(jìn)入了對稱性領(lǐng)域,。饒是如此，他從泡利1941年的論文開始,，前前后后過了十幾年,，一直到1954年，他才和米爾斯（當(dāng)時和楊振寧先生在同一間辦公室,，是克勞爾教授的博士研究生）一起寫出了劃時代的論文《同位旋守恒和同位旋規(guī)范不變性》和《同位旋守恒和一個推廣的規(guī)范不變性》,。

上圖便是1954年楊振寧和米爾斯在《物理評論》上發(fā)表的第一篇論文截圖。按照慣例,，這種經(jīng)典論文長尾科技會提前給大家找好,，想親眼目睹一下楊振寧先生這篇劃時代論文的，在公眾號回復(fù)“楊米爾斯理論論文”就行,。

這兩篇論文正式宣告了楊-米爾斯理論的誕生,，楊振寧先生終于把局域規(guī)范對稱的思想從阿貝爾群推廣到了更一般的非阿貝爾群（阿貝爾群的電磁理論成了它的一個特例），從而使得這種精妙的規(guī)范對稱可以在電磁理論之外的天地大展拳腳，也使得他一直堅(jiān)持的“對稱決定相互作用”有了落腳之地,。為了區(qū)別起見,，我們把外爾的那一套理論成為阿貝爾規(guī)范場論，把楊振寧和米爾斯提出來的稱為非阿貝爾規(guī)范場論,，或者直接叫楊-米爾斯理論,。

楊-米爾斯理論給我們提供了一個精確的數(shù)學(xué)框架，在這個框架里,，只要選擇了某種對稱性（對應(yīng)數(shù)學(xué)上的一個群）,，或者說你只要確定了某個群，后面的相互作用幾乎就被完全確定了,，它的規(guī)范玻色子的數(shù)目也完全被確定了,。這就是為什么后來大家能直接從強(qiáng)力和弱電理論里預(yù)言那么多還未被發(fā)現(xiàn)的粒子的原因。

什么是規(guī)范玻色子,？科學(xué)家們按照自旋把基本粒子分成了費(fèi)米子（自旋為半整數(shù)）和玻色子（自旋為整數(shù)）,，其中費(fèi)米子是組成我們基本物質(zhì)的粒子，比如電子,、夸克,，而玻色子是傳遞作用力的粒子，比如光子,、膠子,。有些人可能是第一次聽說傳遞作用力的粒子這種說法，會感覺非常奇怪,，怎么作用力還用粒子傳遞,？

沒錯，在量子場論里,，每一種作用力都有專門傳遞作用力的粒子,。比如傳遞電磁力的是光子，傳遞強(qiáng)力的是膠子,，傳遞弱力的是W和Z玻色子,，傳遞引力的是引力子（不過引力子還沒有找到）。兩個同性電子之間為什么會相互排斥呢,？因?yàn)檫@兩個電子之間在不停的發(fā)射交換光子,，然后看起來就像在相互排斥，這就跟兩個人在溜冰場上互相拋籃球然后都向后退一樣的道理,。那么相互吸引就是朝相反的方向發(fā)射光子了,，其他的力也都是一樣，這些傳遞相互作用的玻色子在規(guī)范場里都統(tǒng)統(tǒng)被稱為規(guī)范玻色子,。

也就是說,，在楊-米爾斯理論里,，那些傳遞相互作用的粒子都叫規(guī)范玻色子，每一個群都有跟他對應(yīng)的規(guī)范玻色子,，只要你把這個群確定了,，這些規(guī)范玻色子的性質(zhì)就完全確定了。比如在U（1）群里,，規(guī)范玻色子就只有一個,，那就是光子；在SU（3）群里,，理論計(jì)算它的規(guī)范玻色子不多不少就是8個,，然后實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家就根據(jù)這個去找，然后真的就找到了8種膠子,。以前是實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了新粒子,，理論物理學(xué)家要琢磨著怎么去解釋，現(xiàn)在是理論物理學(xué)家預(yù)測粒子,，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家再去找,，愛因斯坦顛倒研究物理的方法現(xiàn)在終于從蹊徑成了主流。

10從楊-米爾斯理論到標(biāo)準(zhǔn)模型

楊-米爾斯理論從數(shù)學(xué)上確定了“對稱決定相互作用”,，那么我們接下來的問題就是“什么樣的對稱決定什么樣的相互作用”了,。比如，我現(xiàn)在要描述強(qiáng)力,，那么強(qiáng)力到底是由什么對稱決定的呢,？

有些人可能覺得奇怪，你上面不是說了一大片同位旋守恒么,，楊振寧先生不就是看到同位旋守恒和電荷守恒的相似性才最終提出了楊-米爾斯理論么,，為什么現(xiàn)在還要來問強(qiáng)力是什么對稱決定的，難道不是同位旋么,？

沒錯,，還真不是同位旋！

海森堡從質(zhì)子和中子的質(zhì)量相近提出了同位旋的概念,，同位旋守恒確實(shí)也只在強(qiáng)力中成立，但是大家不要忘了質(zhì)子和中子的質(zhì)量只是接近,，并不是相等,。楊-米爾斯理論里的對稱是一種精確對稱，不是你質(zhì)子和中子的這種近似相等,，當(dāng)時的科學(xué)家們把質(zhì)子和中子的微小質(zhì)量差別寄希望于電磁污染,，但事實(shí)并非如此。所以,，當(dāng)楊振寧試圖用質(zhì)子中子同位旋對稱對應(yīng)的SU（2）群作為強(qiáng)力的對稱群的時候,，得到的結(jié)果肯定跟實(shí)際情況不會相符的。

但是，我們要注意到當(dāng)時才1954年,，人們對強(qiáng)力的認(rèn)識還太少了,，后來我們知道真正決定強(qiáng)力的精確對稱是夸克的色對稱，與之對應(yīng)的群是SU（3）群,，所以我們把最終描述強(qiáng)力的理論稱之為量子色動力學(xué)（QCD）,。但是，夸克這個概念要到1964年才由蓋爾曼,、茨威格提出來,，所以楊振寧在1954年就算想破腦袋也不可能想到強(qiáng)力是由夸克的色對稱決定的。

夸克有六種（上夸克,、下夸克,、奇夸克、粲夸克,、底夸克,、頂夸克），每一種夸克也稱為一味,，質(zhì)子和中子之間的微小質(zhì)量差異是就是因?yàn)?strong>上夸克和下夸克的質(zhì)量不同,。另外，每一味夸克都有三種色（紅,、綠,、藍(lán)），比如上夸克就有紅上夸克,、綠上夸克和藍(lán)上夸克,，這不同色的同種夸克之間質(zhì)量是完全相等的，這是一種完全精確的對稱,，這種色對稱最后決定了強(qiáng)相互作用,。

一旦建立了這種夸克模型，并且意識到夸克色對稱這種精確對稱對應(yīng)SU（3）群,，那么接下來利用楊-米爾斯理論去構(gòu)造描述強(qiáng)力的理論就是非常簡單的事情,，基本上就是帶公式套現(xiàn)成的事。所以,，成功描述強(qiáng)力的量子色動力學(xué)的核心就是夸克模型+楊-米爾斯理論,。

在弱力這邊情況也是類似的，你要想找到描述弱力的理論,，那就先去找到?jīng)Q定弱力的精確對稱和相應(yīng)的群,，然后直接按照楊-米爾斯理論來就行了。但是,，弱力這邊的情況稍微復(fù)雜一點(diǎn),，科學(xué)家們沒找到什么弱力里特有的精確對稱,，但是他們發(fā)現(xiàn)，如果我把弱力和電磁力統(tǒng)一起來考慮,，考慮統(tǒng)一的電弱力,，我倒是能發(fā)現(xiàn)這種精確對稱。于是,，他們索性不去單獨(dú)建立描述弱力的理論了,，轉(zhuǎn)而直接去建立統(tǒng)一弱力和電磁力的弱電統(tǒng)一理論。而最后在弱電相互作用中真正起作用的是（弱）同位旋——超荷這個東西,，他們對應(yīng)的群是SU（2）×U（1）（×表示兩個群的直積）,。

描述強(qiáng)力的量子色動力學(xué)和描述電磁力和弱力的弱電統(tǒng)一理論一起構(gòu)成了所謂的粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型，于是我們可以在楊-米爾斯理論這同一個框架下描述電磁力,、強(qiáng)力和弱力,，這是物理學(xué)的偉大勝利。同時,，我們也要清楚的知道,，楊-米爾斯理論不等于標(biāo)準(zhǔn)模型（沒有夸克模型你拿著理論也不知道怎么用），它是一個數(shù)學(xué)框架,，是一把神兵利器,，它本身并不產(chǎn)生具體的理論知識，但是一旦你把它用在合適的地方,，它就能給你帶來超出想象的回報(bào)（想想我們50年代末還對強(qiáng)力弱力束手無策,，但是70年代末就完全馴服了它們）。

11不得不說的質(zhì)量問題

標(biāo)準(zhǔn)模型的建立是另一個非常宏大的故事,，這里就不多說了,，這里談一個不得不說的問題：質(zhì)量問題。

在上面我們知道了費(fèi)米子是組成物質(zhì)的粒子,，玻色子是傳遞相互作用力的粒子,。比如兩個電子之間通過交換光子來傳遞電磁力，兩個夸克通過交換膠子來傳遞強(qiáng)力,，那么光子和膠子就分別是傳遞電磁力和強(qiáng)力的規(guī)范玻色子,。但是，大家有沒有考慮過玻色子的質(zhì)量問題,？如果傳遞相互作用力的玻色子質(zhì)量過大或者過小會咋樣,？

還是以溜冰場傳球?yàn)槔僭O(shè)兩個人站在溜冰場上相互傳籃球,，那么一開始他們會因?yàn)榛@球的沖力而后退（這就是斥力的表現(xiàn)），從而把距離拉開,，但是他們會一直這樣慢慢后退下去么,？當(dāng)然不會,！當(dāng)兩人之間的距離足夠遠(yuǎn)的時候，你投籃球根本就投不到我這里來了,，那我就不會后退了,。再想一下，如果你投的不是籃球而是鉛球那會怎樣,？那可能我們還在很近的時候,，你的鉛球就投不到我這里來了。

在溜冰場的模型里,，球就是傳遞作用力的玻色子,，你無法接到球就意味著這個力無法傳到你這里來，就是說它的力程是有限的,。從籃球和鉛球的對比中我們也能清楚的知道：玻色子的質(zhì)量越大,，力程越短，質(zhì)量越小,，力程越長,，如果玻色子的質(zhì)量為零，那么這個力程就是無限遠(yuǎn)的,。

所以,，為什么電磁力是長程力，能傳播很遠(yuǎn)呢,？因?yàn)閭鬟f電磁力的光子沒有質(zhì)量,。但是我們也清楚的知道，強(qiáng)力和弱力都僅僅局限在原子核里,，也就是說強(qiáng)力,、弱力都是短程力，所以,，按照我們上面的分析,，那么傳遞強(qiáng)力和弱力的玻色子似乎應(yīng)該是有質(zhì)量的，有質(zhì)量才能對應(yīng)短程力嘛,。

但是,，楊振寧在研究規(guī)范場的時候，他發(fā)現(xiàn)要使得系統(tǒng)具有局域規(guī)范不變性,，那么傳遞作用力的規(guī)范玻色子的質(zhì)量就必須為零,。也就是說，規(guī)范玻色子如果有質(zhì)量,，它就會破壞局域規(guī)范對稱性,。

為什么局域規(guī)范對稱性要求玻色子的質(zhì)量必須為零呢？你可以這樣想,，什么叫局域規(guī)范對稱,？那就是不同的地方在做著不同的變換,，既然不同的地方變換是不一樣的，那么肯定就必須有個中間的信使來傳遞這種狀態(tài),，這樣大家才能協(xié)調(diào)工作,，不然你跳你的我跳我的豈不是亂了套？好,，既然這個信使要在不同地方（也可能是兩個非常遠(yuǎn)的地方）傳遞狀態(tài),，按照上面的分析，它是不是應(yīng)該零質(zhì)量,？只有質(zhì)量為零才能跑的遠(yuǎn)嘛~

所以,，這樣分析之后，我們就會發(fā)現(xiàn)局域規(guī)范對稱性和規(guī)范玻色子零質(zhì)量之間的對應(yīng)關(guān)系是非常自然的,。但是,，這樣就造成了現(xiàn)在的困境：局域規(guī)范對稱性要求規(guī)范玻色子是零質(zhì)量的，但是強(qiáng)力,、弱力的短程力事實(shí)似乎要求對應(yīng)的規(guī)范玻色子必須是有質(zhì)量的,，怎么辦？

這個問題不僅困擾著楊振寧,，它也同樣困擾著泡利（其實(shí)當(dāng)時對規(guī)范場感興趣的也就他們寥寥幾個）,。泡利開始對規(guī)范場的事情也很感興趣（楊振寧就是讀了泡利1941年的那篇論文才開始對規(guī)范場感興趣的），但是當(dāng)泡利發(fā)現(xiàn)了這個似乎無解的質(zhì)量問題之后,，他就慢慢對規(guī)范場失去了興趣,，也就沒能得出最后的方程。

楊振寧的情況稍微不一樣,，他的數(shù)學(xué)功底非常好,，對群論的深入理解能夠讓他更深刻的理解對稱性的問題（想想那會兒物理學(xué)家都不待見群論，泡利還帶頭把群論稱為群禍）,。另外,，在美學(xué)思想上，楊振寧是愛因斯坦的鐵桿粉絲,，他們都是“對稱決定相互作用”堅(jiān)定支持者,，這使得楊振寧對規(guī)范場產(chǎn)生了謎之喜愛。而且,，楊振寧那會兒才30歲左右,，是科學(xué)家精力和創(chuàng)造力的巔峰時期，自然無所畏懼,。

所以,，楊振寧一直在瘋狂地尋找楊-米爾斯方程，找到方程之后，即便知道有尚未解決的質(zhì)量問題,，他依然決定發(fā)表他的論文,。在他眼里,，這個方程,，這套理論是他心里“對稱決定相互作用”的完美代表，他跟愛因斯坦一樣深信上帝喜歡簡潔和美,，深信上帝的簡單和美是由精確對稱決定的,。如果是這樣，那么還有什么比基于規(guī)范不變性這種深刻對稱的楊-米爾斯理論更能描繪上帝的思想呢,？

楊振寧對對稱性的深刻理解使得他對楊-米爾斯理論有非常強(qiáng)的信心,，至于強(qiáng)力、弱力上表現(xiàn)出來的質(zhì)量問題,，那不過是這個理論在應(yīng)用層面出現(xiàn)了一些問題,。強(qiáng)力、弱力比電磁力復(fù)雜很多,，因此用楊-米爾斯理論來解釋強(qiáng)力,、弱力自然就不會像處理電磁力那樣簡單。為什么電磁力這么簡單,？你想想,，電子有電效應(yīng)，電子的運(yùn)動產(chǎn)生磁效應(yīng),，電子之間的相互作用是通過光子這個規(guī)范玻色子傳遞的,，所以電磁力的本質(zhì)就是電子和光子的相互作用。這里只有一個粒子電子,，和一個規(guī)范玻色子光子,，而且光子還是沒有質(zhì)量的，你再看看強(qiáng)力里面,，三種色夸克,，八種不同的膠子，這鐵定比電磁力復(fù)雜多了??！

所以，楊振寧想的是：楊-米爾斯理論沒問題,，現(xiàn)在它應(yīng)用在強(qiáng)力弱力上出現(xiàn)了一些問題（質(zhì)量問題就是初期最大的一個）,，這也是自然的。這些是問題,，而非錯誤,，以后隨著人們研究的深入，這些問題應(yīng)該可以慢慢得到解決的,。

歷史的發(fā)展確實(shí)是這樣,，質(zhì)量問題后來都通過一些其他的手段得到了解決,，那么質(zhì)量問題最終是怎么解決的呢？

在描述強(qiáng)力的量子色動力學(xué)里,，我們注意到傳遞夸克間作用力的膠子本來就是零質(zhì)量的,，零質(zhì)量跟規(guī)范對稱性是相容的。那但是,，如果這樣的話,，零質(zhì)量的玻色子應(yīng)該對應(yīng)長程力啊，為什么強(qiáng)力是短程力（只在原子核里有效）呢,？這就涉及到了強(qiáng)力里特有的一種性質(zhì)：漸近自由,。漸近自由說夸克之間的距離很遠(yuǎn)的時候，它們之間的作用力非常大,，一副誰也不能把它們分開的架勢,，但是一旦真的讓它們在一起了，距離很近了,，它們之間的相互作用力就變得非常弱了,，好像對面這個夸克跟它沒任何關(guān)系似的，活脫脫的一對夸克小情侶,。這樣在量子色動力學(xué)里,，零質(zhì)量的規(guī)范玻色子就和強(qiáng)力的短程力沒有沖突了。

漸近自由解釋了為什么膠子是零質(zhì)量但是強(qiáng)力確是短程力,，那么傳遞弱力的W和Z玻色子可是有質(zhì)量的,。有質(zhì)量的話短程力是好解釋了，但是我們上面說有質(zhì)量的規(guī)范玻色子會破壞規(guī)范對稱性,，這規(guī)范對稱性可是楊-米爾斯理論的根基啊,，它被破壞了那還怎么玩？

最后解決這個問題的是希格斯機(jī)制,。希格斯機(jī)制是來打圓場的：你楊-米爾斯理論要求規(guī)范玻色子是零質(zhì)量的,，但是最后我們測量到W和Z玻色子是有質(zhì)量的，怎么辦呢,？簡單,，我認(rèn)為W和Z這些傳遞弱力的規(guī)范玻色子一出生的時候是零質(zhì)量的，但是它來到這個世界之后慢慢由于某種原因獲得了質(zhì)量,，也就是說它們的質(zhì)量不是天生的而是后天賦予的,，這樣就既不與楊-米爾斯理論相沖突，也不跟實(shí)際測量相沖突了,。

所以,，希格斯機(jī)制其實(shí)就是賦予粒子質(zhì)量的機(jī)制。它認(rèn)為我們的宇宙中到處都充滿了希格斯場，粒子如果不跟希格斯場發(fā)生作用,，它的質(zhì)量就是零（比如光子,、膠子），如果粒子跟希格斯場發(fā)生作用,，那么它就有質(zhì)量,，發(fā)生的作用越強(qiáng)，得到的質(zhì)量就越大（需要說明的是,，并不是所有的質(zhì)量都來自于粒子和希格斯場的相互作用,，還有一部分來自粒子間的相互作用）。2012年7月,，科學(xué)家終于在大型強(qiáng)子對撞機(jī)（LHC）中找到了希格斯粒子，為這段故事畫上了一個圓滿的句號,，也理所當(dāng)然地預(yù)約了2013年的諾貝爾物理學(xué)獎,。

這樣楊-米爾斯理論就可以完整的描述強(qiáng)力、弱力和電磁力了,，在霍夫特完成了非阿貝爾規(guī)范場的重整化（重整化簡單的說就是讓理論能算出有意義的數(shù)值,，而不是無窮大這種沒意義的結(jié)果，這是點(diǎn)粒子模型經(jīng)常會出現(xiàn)的問題,。舉個最簡單的例子,，我們都知道電荷越近，它們之間的電磁力越大,，那么當(dāng)電荷的距離趨近于零的時候,，難道電磁力要變成無窮大么？這個當(dāng)做思考題~）之后,，粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型就正式投產(chǎn)商用,。

12結(jié)語

至此，我們關(guān)于楊-米爾斯理論的故事就告一段落了,，相信能堅(jiān)持看到這里的人對楊-米爾斯理論應(yīng)該都有了個大致的了解,，對它的作用和意義也會有自己的判斷。

這篇文章是我有史以來耗費(fèi)心血最多的科普文,，為此我的公眾號都有好長一段時間沒更新了,，在公眾號后臺和社群里也都理所當(dāng)然地收獲了一大波粉絲的催更~不過，相信大家看完這篇文章之后應(yīng)該就能理解了：楊-米爾斯理論涉及的東西實(shí)在是太多了,，對稱性,、規(guī)范場、非阿貝爾群,、標(biāo)準(zhǔn)模型,，這些東西對于許多非物理專業(yè)的同學(xué)來說實(shí)在是太陌生了，甚至從來都沒聽說過。即便對于物理系的學(xué)生,，楊-米爾斯理論也是要到研究生階段才接觸的東西,。因此，要把這么復(fù)雜,，牽扯面這么廣的東西用中學(xué)生能懂的語言科普出來,，其中難度可想而知。許多公式和術(shù)語跑到嘴邊又被我逼回去了,，特別要在不涉及分析力學(xué)和作用量的前提下講楊-米爾斯理論,，差點(diǎn)沒給我逼出內(nèi)傷~

之所以執(zhí)意用這么通俗的語言講楊-米爾斯理論，主要就是想讓更多人更加客觀的理解楊振寧先生的工作,，很多事情如果徹底搞清楚了,，就會省去很多無意義的爭論。現(xiàn)在網(wǎng)上關(guān)于楊振寧先生的新聞很多,，但是很不幸,，大部分新聞上的卻是娛樂版，即便除去那些娛樂八卦,，關(guān)于楊先生科學(xué)方面的話題大部分最后都演變成了諸如“楊振寧真的很偉大么,？”“楊振寧跟霍金誰厲害？”“楊振寧跟愛因斯坦一樣偉大嗎,？”“楊振寧沒有你想象的那么偉大,！”等極容易引起撕逼罵戰(zhàn)卻又很空洞沒營養(yǎng)的問題。并且,，論戰(zhàn)中的雙方要么就把楊振寧先生往天上捧,，要么就把他使勁往地上踩，這還算是科學(xué)討論么,？這是討論科學(xué)問題該有的態(tài)度么,？

物理學(xué)家并不是擂臺上的拳擊手，他們一起通力合作構(gòu)建我們現(xiàn)在恢弘的物理大廈,。沒有開普特和伽利略的奠基,，不可能有牛頓的力學(xué)體系；沒有法拉第工作,，不可能有麥克斯韋的電磁大廈,；狹義相對論在20世紀(jì)初已經(jīng)是水到渠成呼之欲出了，愛因斯坦也只不過是捷足先登了而已,。而且,，除了廣義相對論確實(shí)是愛因斯坦的獨(dú)門獨(dú)創(chuàng)，好像還真沒有哪個東西說是非誰不可的,。沒有牛頓,，我估計(jì)胡克和哈雷也快找到萬有引力定律了,，洛倫茲和彭加萊已經(jīng)一只腳跨入狹義相對論的大門了，有沒有愛因斯坦狹義相對論差不多都該出現(xiàn)了,。

我這么說并不是要否定牛頓和愛因斯坦他們的功績,，能搶在同時代最杰出的頭腦之前發(fā)現(xiàn)那些理論，這本身就是科學(xué)家的能力體現(xiàn),。我只是想建議大家不要總把注意力放在“誰或者誰更偉大,，誰比誰更厲害”這種很虛的東西上面，而更多的把注意力放在這些科學(xué)家工作本身上去,，這些才是全人類共同的寶貴財(cái)富,。大家的時間都很寶貴，我們就盡量把時間都花在刀刃上去,，科學(xué)家最寶貴是他們的科學(xué)思想,，而中國比任何一個國家都不缺少娛樂八卦。

楊振寧先生是我們國寶級的科學(xué)家,，楊-米爾斯理論是他工作里目前已知的最為璀璨的明珠（鑒于楊振寧先生工作的基礎(chǔ)性和前瞻性,，他有很多理論剛提出來的時候不被重視，過了幾十年之后卻發(fā)現(xiàn)它極為重要,，所以我不確定以后是否會出現(xiàn)比楊-米爾斯理論更重要的東西）。

諾特發(fā)現(xiàn)了對稱性和守恒律之間的關(guān)系,，打開了現(xiàn)代物理對稱性的大門,。

愛因斯坦敏銳而深刻的意識到了這點(diǎn)，然后以雷霆之勢將它應(yīng)用在相對論上,，取得的巨大成功把當(dāng)時其他的科學(xué)家驚得目瞪口呆,。但是這個套路愛因斯坦熟悉，其他人不熟啊,，況且在量子革命的時代,，愛因斯坦是那幫量子革命家的“反面教材”，波爾才是他們的教皇,，所以人家也不屑于跟你玩,。

楊振寧可以說是愛因斯坦的嫡系弟子，如果說愛因斯坦對對稱性是偏愛的話,，那么楊振寧對對稱性就是情有獨(dú)鐘了,。他充分吸收了愛因斯坦的對稱思想，并且把它發(fā)揚(yáng)光大,，再吸收了外爾的規(guī)范對稱的思想,，最后創(chuàng)造了集大成的楊-米爾斯理論。楊-米爾斯理論出來以后,，對稱性就不再是一個人的玩具了,，楊振寧通過這個理論把對稱性這種高大上的精英產(chǎn)品一下子變成了誰都可以玩的平民玩具,，他把如何釋放對稱性里蘊(yùn)藏能量的方式給標(biāo)準(zhǔn)化、工具化,、流水化了,。從此，“對稱決定相互作用”就不再是一句標(biāo)語,，而成了物理學(xué)家們的共識和最基本的指導(dǎo)思想,，這極大的釋放了物理學(xué)家的生產(chǎn)力，為后來快速構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)模型奠定了基礎(chǔ),。

這一塊是大家在談?wù)摋钫駥幭壬墓ぷ?，談?wù)摋?米爾斯理論的時候最容易忽略的一塊，如果你不能認(rèn)識到對稱性在現(xiàn)代物理里的重要性,，不能認(rèn)識到楊振寧先生和楊-米爾斯理論在對稱性問題上的作用,，那么你對楊先生工作的理解是非常片面的，甚至錯失了他最精華的部分,。希格斯機(jī)制,、漸近自由、夸克禁閉,、自發(fā)對稱破缺,、規(guī)范場的重整化，這些從楊-米爾斯理論到標(biāo)準(zhǔn)模型之間眾多精彩紛呈的故事似乎更適合說書,，但是,，大家要記住對稱性才是現(xiàn)代物理的核心。

楊振寧先生是非常偉大的物理學(xué)家,，除了在學(xué)術(shù)上取得的巨大成就以外,，他的治學(xué)態(tài)度一樣十分值得大家去深入學(xué)習(xí)。深入了解之后你能非常明顯的感覺到楊先生身上同時閃爍著中國教育和西方教育的優(yōu)點(diǎn),，他非常有效的把東西方教育里的糟粕都給規(guī)避了,，所以楊先生總是能很超前的看到一些關(guān)鍵問題。學(xué)術(shù)上的問題我們無法復(fù)制,，但是科學(xué)教育中一些問題我們是可以復(fù)制的,，這些問題我后面在公眾號和知識星球里會慢慢跟大家談。

楊振寧先生在八九十歲的時候還親自給清華大學(xué)的本科生上課（羨慕嫉妒恨~）,，想必也是想把自己做學(xué)問一些心得盡可能的交給更多人,，這點(diǎn)跟我們這些做科普的想法是一樣的?？紤]到楊先生的年齡,，長尾君不得不寫個大大的“服”，不知道以后自己七老八十了,，還有沒有給年輕人做科普的動力~

最后,，祝楊先生身體健康~