最小二乘法

早在1766年,，德國有一位名叫約翰·提丟斯（Johann Daniel Titius）的中學教師提出,，諸行星與太陽的平均距離非常接近于用下式表示的簡單關系：A=4+（2^n×3）,此處n的值依次取-∞、0，1,，2，3,，等等,。這樣就產生了一個數列：4，7,，10,，16，28,，52,，100…它與水星、金星,、地球,、火 星、木星以及土星到太陽的相對距離相吻合,。

（0+4）/10=0.4,；

（3+4）/10=0.7；

（6+4）/10=1.0

（12+4）/10=1.6,；

（24+4）/10=2.8,；

（48+4）/10=5.2

（96+4）/10=10

（192+4）/10=19.6

...

1781年，英籍德國人赫歇爾在接近19.6的位置上（即數列中的第八項）發(fā)現了天王星,，從此,，人們就對這一定則深信不疑了。根據這一定則,，在數列的第五項即2.8的位置上也應該對應一顆行星,，但是它尚未被找到,。

提丟斯和波得從當時已知的行星軌道半徑資料，總結出了如下的規(guī)律,，即行星離太陽的平均距離的10倍（天文單位）是4＋2n×3,，其中n為非負整數。它被稱作“提丟斯——波得定律”,。

水星 a·10＝0.387×10＝3.87≈ 4,；

金星 a·10＝0.723×10＝7.23≈7＝4＋2^0×3；

地球 a·10＝1.0×10＝10＝4＋2^1×3,；

火星 a·10＝1.523×10＝15.23 ≈ 16＝4＋2^2×3,；

木星 a·10＝5.203×10＝52.03 ≈ 52＝4＋2^4×3；

土星 a·10＝9.52×10＝95.2 ≈ l00＝4＋2^5×3,；

天王星 a·10＝92 ≈196＝4＋2^6×3,；

海王星 a·10＝30.2×10＝302≈388＝4＋2^7×3。

海王星和太陽的平均距離的10倍為302,，若以388近似表示，則這說明天王星,、海王星的位置也都符合提丟斯——波得定律的,。

問題來了：天文學家很早就發(fā)覺火星和木星的軌道間距太大，難道被狗吃了嗎（缺少4+2的3次方×3這個軌道）,，為這龐大的間隙感到煩惱不已,，開普勒推測此間距內應當有一顆未知的行星。天文學家認為在火星和木星之間應該還有行星沒有被發(fā)現,，根據提丟斯——波得定律推測,，在木星與火星之間可能存在一顆行星。

他們?yōu)榇艘呀浢β盗?0多年,，一直在尋找這之間的星星……答案充滿負能量,，沒找到。

1801年1月1日,，意大利天文學家皮亞齊從望遠鏡里發(fā)現了一顆非常小的星星,，正好在提丟斯——波得定則中2.8的位置上。他確認發(fā)現了這顆行星,，這就是谷神星（Ceres）,，它是太陽系中最小的,、也是唯一位于小行星帶的矮行星,。

可是，當皮亞齊計劃進一步觀察這顆小行星的關鍵時刻,，他卻倒霉地病倒了,。

等到他康復后再想尋找這顆小行星時，卻不知所蹤……這種結果顯然不能被認可,，因為沒能計算出其準確軌道,，所以還是充滿負能量……

時年24歲的德國數學家高斯，參與到這顆行星的發(fā)現過程中,，他深知數學對于天文學的重要作用,，這句話有沒有一種BAT級別企業(yè)跨界合作重金砸向某領域開始降維打擊的感覺，好像有一點……

在前人的觀測和計算基礎上,，高斯創(chuàng)立了一種嶄新的行星軌道計算理論,。他根據皮亞齊的觀測資料，利用這種方法,，只用了一個小時就算出了谷神星的軌道形狀,，并指出它將于何時出現在哪一片天空里。

1801年12月31日夜,，當時的德國天文愛好者奧伯斯（他最初真的僅是一個愛好者），在高斯算出其軌道之后重新發(fā)現了這顆行星,。他又于1802年發(fā)現了小行星智神星,、于1804年發(fā)現了小行星灶神星。

高斯因為此事名聲大震,，但他卻拒絕透露計算小行星軌道的辦法（猜測可能是他尚未有效證明這種方法,，這種學術人都是相當謹慎的）。

拿起手機,，拜一拜高斯爺，然后再往下看

8年后,，直到高斯系統地完善了相關的數學理論,，才將他的方法公布于眾，這就是“最小二乘法”（Least squares method）,。高斯使用的最小二乘法的方法發(fā)表于1809年他的著作《天體運動論》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中,。最小二乘法原理是高斯對于數學的杰出貢獻。