題記：本文以使用線(xiàn)性二次模型擬合放射生物學(xué)中劑量-存活曲線(xiàn)為例詳細(xì)介紹基于GraphPad Prism軟件實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性擬合并繪圖,。

1. 背景知識(shí)

上一篇文章我們以計(jì)算藥物半數(shù)抑制濃度(IC50)為例詳細(xì)介紹基于GraphPad Prism軟件實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性擬合并繪圖（基于GraphPad Prism軟件實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性擬合（上篇））。因?yàn)檐浖詭M合公式,，直接使用已給出的公式擬合即可,，如果軟件中不提供公式，我們需要自建公式,，本章我們將分享自定義公式的曲線(xiàn)擬合,。以放射生物學(xué)劑量存活曲線(xiàn)擬合為例。

筆者的研究方向主要是惡性腫瘤的放射治療與放射生物學(xué)研究,，在我的專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域經(jīng)常會(huì)遇到劑量存活曲線(xiàn)擬合的問(wèn)題,。我們采用一定劑量的放射線(xiàn)照射細(xì)胞，一般會(huì)選擇0,、1,、2、4,、6,、8 Gy劑量照射細(xì)胞，細(xì)胞培養(yǎng)兩周左右后計(jì)數(shù)培養(yǎng)平板上的克隆形成數(shù),，根據(jù)接種細(xì)胞的貼壁率計(jì)算不同劑量下的存活率,，根據(jù)射線(xiàn)照射劑量與對(duì)應(yīng)的存活率在二維坐標(biāo)系中描點(diǎn)并根據(jù)二次線(xiàn)性模型（L-Q）擬合劑量存活曲線(xiàn),，方程如下：Y=exp(-α*X-β*X^2),，并計(jì)算放射生物學(xué)參數(shù)α、β,、SF2,。

2. 案例分析

該實(shí)驗(yàn)在相同的條件下進(jìn)行了三次獨(dú)立的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，假定每次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)設(shè)有3個(gè)復(fù)孔，那每個(gè)射線(xiàn)劑量點(diǎn)應(yīng)該有9個(gè)存活率數(shù)據(jù),，本案例中我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理,，僅選擇了三次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中的不同射線(xiàn)劑量下單個(gè)培養(yǎng)皿的存活率。克隆形成實(shí)驗(yàn)的具體操作步驟請(qǐng)參閱放射生物學(xué)教科書(shū),，本案例重點(diǎn)講解數(shù)據(jù)處理與統(tǒng)計(jì)分析過(guò)程,。數(shù)據(jù)整理后如下表1所示。

表1.不同劑量點(diǎn)的存活分?jǐn)?shù)

接下來(lái)我們將表1中的數(shù)據(jù)按照如下圖1~圖3所示操作步驟錄入Graphpad Prism 7.0 軟件（SanDiego, CA, USA）并繪制散點(diǎn)圖,，初步判斷曲線(xiàn)形狀,。接下來(lái)的分析策略是通過(guò)繪制的散點(diǎn)圖進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，但軟件中無(wú)現(xiàn)成的公式可用,，所以我們需要自己先定義公式,。第一步，我們首先在軟件中定義公式,，如圖4~圖8所示,。第二步，我們使用自定義的公式“L-Q模型”對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,，具體操作步驟可參考前文,，此處展示主要操作步驟及結(jié)果如圖9~圖10所示。第三步,，我們通過(guò)對(duì)圖形參數(shù),、坐標(biāo)軸參數(shù)重新設(shè)置后可得劑量存活曲線(xiàn)，如圖11~圖14所示,。圖10中展示了方程中計(jì)算參數(shù)α,、β（即圖中的a、b）,，有時(shí)我們還需要根據(jù)我們擬合的劑量存活曲線(xiàn)計(jì)算2Gy照射下的存活分?jǐn)?shù),，在軟件中也可以很方便的計(jì)算出，操作步驟如圖15~圖16所示,。

圖1. 新建數(shù)據(jù)框,。依次選擇“XY”“Enter/importdata”選擇第二行填入數(shù)字“3”，表示每組有3個(gè)獨(dú)立樣本或3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),。

圖2. 錄入數(shù)據(jù),。

圖3. 選擇繪制散點(diǎn)圖。如圖示選擇繪制圖形類(lèi)型設(shè)置誤差線(xiàn)表示標(biāo)準(zhǔn)差（SD）點(diǎn)擊“OK”,。

圖4. 新建曲線(xiàn)擬合方程,。如圖示依次選擇“Analyze”→“XYanalyses”→“Nonlinear regression(curve fit)”→點(diǎn)擊“OK”。

圖5. 新建曲線(xiàn)擬合方程,。如圖示依次選擇“Fit”→“User-defined Equations”→“New”→“Creat new equation”,。

圖6. 新建曲線(xiàn)擬合方程。如圖示依次選擇“Equation”→自定義新建方程的名字→填入方程→點(diǎn)擊“Rulesfor Initial Values”。這一步是定義方程,，注意數(shù)學(xué)方程書(shū)寫(xiě)方式要符合計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言,。

圖7. 新建曲線(xiàn)擬合方程。如圖示依次選擇“Rulesfor Initial Values”→填入?yún)?shù)的初始值（此處筆者填入0.0001,，讀者可自行嘗試）→點(diǎn)擊“Default Constraints”,。此處為初始值設(shè)置，初始值設(shè)置恰當(dāng)與否需要我們對(duì)方程本身有大致的了解,，大致知道各個(gè)參數(shù)的取值范圍,。當(dāng)然讀者在一無(wú)所知的情況下也可以從一個(gè)極小的值開(kāi)始嘗試，比如0.0001,0.001,0.01等等,。

 圖8. 新建曲線(xiàn)擬合方程,。如圖示依次選擇“Default Constraints”→填入方程中常數(shù)的值→點(diǎn)擊“OK”。本例中,，由于方程中只有α,、β兩個(gè)參數(shù)，無(wú)常量,，所以無(wú)需設(shè)置,。

圖9. 非線(xiàn)性擬合。如圖示依次選擇“Analyze”→“XYanalyses”→“Nonlinear regression (curvefit)”→點(diǎn)擊“OK”→“Fit”→“Choosean equation”→“User-defined equations”→“L-Q模型”→點(diǎn)擊“OK”,。其他選項(xiàng)默認(rèn),。此處L-Q模型是我們前面自定義的。

圖10. 非線(xiàn)性曲線(xiàn)擬合結(jié)果,。

圖11. 設(shè)置Y軸參數(shù),。此處Y軸要選擇對(duì)數(shù)刻度。

圖12. 設(shè)置X軸參數(shù),。調(diào)整X軸區(qū)間為0~8,，間隔為1。在X軸等于2的地方畫(huà)垂線(xiàn),。

圖13. 設(shè)置圖形區(qū)域參數(shù),。把圖形區(qū)域的劑量存活曲線(xiàn)及誤差線(xiàn)設(shè)置為紅色。

圖14. 最后繪制的劑量存活曲線(xiàn),。

圖15. 曲線(xiàn)擬合及計(jì)算SF2,。如圖示依次選擇“Analyze”→“XYanalyses”→“Nonlinear regression (curvefit)”→點(diǎn)擊“OK”→“Fit”→“Choosean equation”→“User-defined equations”→“L-Q模型”→勾選Interpolate并計(jì)算SF2的95%可信區(qū)間→點(diǎn)擊“OK”。其他選項(xiàng)默認(rèn),。此處L-Q模型是我們事先自定義的,。

圖16. 最后計(jì)算的SF2值及95%可信區(qū)間。

3. 總結(jié)與討論

本文詳細(xì)講解了放射生物學(xué)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中非線(xiàn)性擬合的實(shí)現(xiàn)方法,，本案例為自定義擬合方程,。難點(diǎn)在于我們對(duì)曲線(xiàn)擬合概念及具體方程參數(shù)的理解，而具體操作步驟并不難,。當(dāng)我們實(shí)驗(yàn)獲得了一些原始數(shù)據(jù),，可以在二維坐標(biāo)系中描出點(diǎn)來(lái)，按照既定的方程就可以把曲線(xiàn)擬合出來(lái),，到底該選擇什么樣的方程或者自定義什么樣的方程,？這些工作需要我們結(jié)合自己的實(shí)驗(yàn)?zāi)康囊约拔墨I(xiàn)回顧來(lái)確定。事實(shí)上非線(xiàn)性擬合是一個(gè)很復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題,，我們僅僅介紹了其中與我們醫(yī)學(xué)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理相關(guān)的一些內(nèi)容,。我們提出一個(gè)問(wèn)題供讀者思考：假定，我們有大量的原始數(shù)據(jù),，可以在坐標(biāo)系中描出很多點(diǎn),，但我們并不知道這些點(diǎn)背后的數(shù)學(xué)規(guī)律是什么，或者其遵守什么樣的數(shù)學(xué)模型,，那該如何擬合曲線(xiàn)呢,？這樣的問(wèn)題應(yīng)該歸于當(dāng)下比較流行的數(shù)據(jù)挖掘、統(tǒng)計(jì)建模等范疇,，要比我們本章節(jié)講述的要復(fù)雜得多,。

4. 參考文獻(xiàn)

[1]. 周支瑞,胡志德.聰明統(tǒng)計(jì)學(xué). 長(zhǎng)沙:中南大學(xué)出版社, 2016.

[2]. 周支瑞,胡志德.瘋狂統(tǒng)計(jì)學(xué). 長(zhǎng)沙:中南大學(xué)出版社, 2018.