統(tǒng)一觀點(diǎn)下的

塞瓦定理 與 梅涅勞斯定理

上期說(shuō)過(guò)塞瓦定理,，本期在說(shuō)塞瓦定理與梅涅勞斯定理關(guān)系之前,，需要先把梅涅勞斯定理介紹一下。

但在講解梅涅勞斯定理之前,，還需要說(shuō)明一下,，一個(gè)三角形被一條不過(guò)任何一個(gè)頂點(diǎn)也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線或者與三角形的兩條邊相交（一定還會(huì)與一條邊的延長(zhǎng)線相交）,，或者與三條邊都不相交（與三條邊的延長(zhǎng)線都相交）,，如下圖左右兩圖所示。也可以說(shuō),，直線與三角形的邊有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)（0或2）,，當(dāng)然也就與三角形的延長(zhǎng)線有奇數(shù)個(gè)交點(diǎn)（3或1）。下面的梅涅勞斯定理與此有關(guān),。

梅涅勞斯定理：

有一個(gè)三角形ABC,，在它的三邊BC、CA,、AB上（或它（它們）的延長(zhǎng)線上）相應(yīng)地各取一點(diǎn)X,、Y、Z（如下圖所示）,，如果X,、Y、Z三點(diǎn)共線,，那么,，

證明

用到的知識(shí)：

（1）一個(gè)三角形的面積等于兩邊長(zhǎng)度的乘積再乘以兩邊夾角的正弦，比如,，在上圖中,，三角形ABC面積為

（2）一個(gè)角的正弦與這個(gè)角的補(bǔ)角的正弦相等，即

好的,，下面證明開(kāi)始,。

（注意,，上面三個(gè)式子中計(jì)算其面積的三角形一定要是有一條邊位于共點(diǎn)線XYZ上，即三角形AZY,，BXZ,，CXY。而三角形ABC本身的面積不應(yīng)該出現(xiàn),。）

把上面三個(gè)式子相乘,，左邊得1，右邊分子分母中有三種不同的因子在分子分母中都各出現(xiàn)一次,，約分約掉后,，最后得到

X、Y,、Z三點(diǎn)都在三邊延長(zhǎng)線上的情況也可以類(lèi)似證明,。梅涅勞斯定理得證。

梅涅勞斯定理的逆定理也成立：

有一個(gè)三角形ABC,，在它的三邊BC,、CA、AB上相應(yīng)地各取一點(diǎn)X,、Y,、Z（一定要有一點(diǎn)或三點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上），如果

那么X,、Y,、Z三點(diǎn)共線。

逆定理的證明：可以先取AB上的點(diǎn)Z和CA上的點(diǎn)Y,，連接ZY并延長(zhǎng),，與BC（或CB）的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)X'。根據(jù)梅涅勞斯定理,，有

而

說(shuō)明點(diǎn)X'與點(diǎn)X重合,。所以逆定理正確。

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你發(fā)現(xiàn)沒(méi)有,，上期講塞瓦定理時(shí)也出現(xiàn)了上面這個(gè)三個(gè)比值相乘等于1的式子,。這不是偶然的。兩個(gè)定理存在著內(nèi)在的聯(lián)系和區(qū)別,。

塞瓦定理與梅涅勞斯定理

有一個(gè)三角形ABC,，在它的三邊BC、CA,、AB上（或延長(zhǎng)線上）相應(yīng)各取一點(diǎn)X,、Y、Z（如下圖所示）,，規(guī)定線段是有方向的（比如AB若為正,，則BA就為負(fù)）,。于是，

（1）如果AX,、BY,、CZ三線共點(diǎn)（圖中點(diǎn)P）,，那么

（塞瓦定理）

（2）如果X,、Y、Z三點(diǎn)共線（ 圖中直線'ZY(X)' ）,。那么

（梅涅勞斯定理）

可以歸結(jié)為：塞瓦定理說(shuō)的是三線共點(diǎn)的性質(zhì)和判定,，而梅涅勞斯定理涉及的是三點(diǎn)共線的性質(zhì)和判定。上面兩個(gè)等式中,，三個(gè)比值的乘積,，一個(gè)等于1，一個(gè)等于-1,，正負(fù)號(hào)的區(qū)別卻是三線共點(diǎn)和三點(diǎn)共線的區(qū)別,。

上圖中顯示出，點(diǎn)Y和Z分別位于CA和AB上（CY/YA和AZ/ZB均為正值）且ZY不平行于BC,，那么,，（1）點(diǎn)X位于BC上，這說(shuō)明BX與XC是同方向的,，所以比值BX/XC是正值,，三個(gè)比值的乘積也是正值，于是,，“三個(gè)比值的乘積等于1”一定對(duì)應(yīng)于“AX,、BY、CZ三線共點(diǎn)”,，即塞瓦定理,。（2）點(diǎn)X跑到了BC（或CB）的延長(zhǎng)線上（上圖用加了括號(hào)的X表示），這說(shuō)明BX與XC的方向一定相反,，所以比值BX/XC是負(fù)值,，那么，如果這個(gè)比值的絕對(duì)值正好等于X位于BC內(nèi)部三線共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)比值,，這時(shí)正好能夠使得（X）,、Y、Z三點(diǎn)共線,，這正是梅涅勞斯定理,。注意，三個(gè)比值乘積為負(fù)還有一種情況,，就是X,、Y,、Z三個(gè)點(diǎn)都位于三角形三條邊的延長(zhǎng)線上，這時(shí)的三個(gè)比值都為負(fù)值,，三個(gè)負(fù)值相乘仍然為負(fù),，沒(méi)有問(wèn)題。

附：梅涅勞斯定理另外兩種證明方法

如下圖所示,，點(diǎn)X位于BC的延長(zhǎng)線上,，點(diǎn)Y、Z分別位于CA和AB上,，X,、Y、Z三點(diǎn)共線,，下面來(lái)證明

證明一（如下圖所示）

分別過(guò)點(diǎn)A,、B、C向共點(diǎn)之線XYZ作垂線,，垂足分別為D,、E、F,，垂線高分別為ha,、hb、hc,。所以,，

三式相乘，得

證明二（如下圖所示）

過(guò)共點(diǎn)線XYZ上一點(diǎn)（我們這里就取點(diǎn)X）作共點(diǎn)線XYZ的垂線L,。分別過(guò)點(diǎn)A,、B、C作垂線L的垂線,，與垂線L分別交于點(diǎn)D,、E、F,。所以,，

若不考慮線段的方向，則三式相乘,，得

若考慮線段的方向,，則三式相乘后，得