基本不等式訓(xùn)練題

zd山笑 2019-06-12

展開全文

1．若xy＞0,，則對 xy＋yx說法正確的是(　　)
A．有最大值－2　　　　　　 B．有最小值2
C．無最大值和最小值   D．無法確定
答案：B
2．設(shè)x,，y滿足x＋y＝40且x，y都是正整數(shù),，則xy的最大值是(　　)
A．400   B．100
C．40   D．20
答案：A
3．已知x≥2,，則當(dāng)x＝____時，x＋4x有最小值____．
答案：2　4
4．已知f(x)＝12x＋4x.
(1)當(dāng)x＞0時,，求f(x)的最小值,；
(2)當(dāng)x＜0 時，求f(x)的最大值．
解：(1)∵x＞0,，∴12x,，4x＞0.
∴12x＋4x≥212x·4x＝83.
當(dāng)且僅當(dāng)12x＝4x，即x＝3時取最小值83,，
∴當(dāng)x＞0時,，f(x)的最小值為83.
(2)∵x＜0，∴－x＞0.
則－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x·?－4x?＝83,，
當(dāng)且僅當(dāng)12－x＝－4x時,，即x＝－3時取等號．
∴當(dāng)x＜0時，f(x)的最大值為－83.

一,、選擇題
1．下列各式,，能用基本不等式直接求得最值的是(　　)
A．x＋12x   B．x2－1＋1x2－1
C．2x＋2－x   D．x(1－x)
答案：C
2．函數(shù)y＝3x2＋6x2＋1的最小值是(　　)
A．32－3   B．－3
C．62   D．62－3
解析：選D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.
3．已知m、n∈R,，mn＝100,，則m2＋n2的最小值是(　　)
A．200   B．100
C．50   D．20
解析：選A.m2＋n2≥2mn＝200,，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時等號成立．
4．給出下面四個推導(dǎo)過程：
①∵a，b∈(0,，＋∞),，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；
②∵x,，y∈(0,，＋∞)，∴l(xiāng)gx＋lgy≥2lgx·lgy,；
③∵a∈R,，a≠0，∴4a＋a ≥24a·a＝4,；
④∵x,，y∈R，,，xy＜0,，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2?－xy??－yx?＝－2.
其中正確的推導(dǎo)過程為(　　)
A．①②   B．②③
C．③④   D．①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮．
①∵a，b∈(0,，＋∞),，∴ba，ab∈(0,，＋∞),，符合基本不等式的條件，故①的推導(dǎo)過程正確,；
②雖然x,，y∈(0，＋∞),，但當(dāng)x∈(0,1)時,，lgx是負數(shù)，y∈(0,1)時,，lgy是負數(shù),，∴②的推導(dǎo)過程是錯誤的；
③∵a∈R,，不符合基本不等式的條件,，
∴4a＋a≥24a·a＝4是錯誤的；
④由xy＜0得xy,，yx均為負數(shù),，但在推導(dǎo)過程中將全體xy＋yx提出負號后，(－xy)均變?yōu)檎龜?shù),，符合基本不等式的條件,，故④正確．
5．已知a＞0,，b＞0，則1a＋1b＋2ab的最小值是(　　)
A．2   B．22
C．4   D．5
解析：選C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝bab＝1時,，等號成立,，即a＝b＝1時,，不等式取得最小值4.
6．已知x,、y均為正數(shù)，xy＝8x＋2y,，則xy有(　　)
A．最大值64   B．最大值164
C．最小值64   D．最小值164
解析：選C.∵x,、y均為正數(shù)，
∴xy＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy,，
當(dāng)且僅當(dāng)8x＝2y時等號成立．
∴xy≥64.
二,、填空題
7．函數(shù)y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值為________．
答案：1
8．若x＞0，y＞0,，且x＋4y＝1,，則xy有最________值，其值為________．
解析：1＝x＋4y≥2x·4y＝4xy,，∴xy≤116.
答案：大　116
9．(2010年高考山東卷)已知x,，y∈R＋，且滿足x3＋y4＝1,，則xy的最大值為________．
解析：∵x＞0,，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.
當(dāng)且僅當(dāng)x3＝y(tǒng)4時取等號．
答案：3
三,、解答題
10．(1)設(shè)x＞－1,，求函數(shù)y＝x＋4x＋1＋6的最小值；
(2)求函數(shù)y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1,，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5
≥2 ?x＋1?·4x＋1＋5＝9,，
當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝4x＋1，即x＝1時,，取等號．
∴x＝1時,，函數(shù)的最小值是9.
(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1
＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.
∴(x－1)＋9x－1＋2≥2?x－1?·9x－1＋2＝8.
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝9x－1,，即x＝4時等號成立,，
∴y有最小值8.
11．已知a，b,，c∈(0,，＋∞)，且a＋b＋c＝1,，求證：(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8.
證明：∵a,，b,，c∈(0，＋∞),，a＋b＋c＝1,，
∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，
同理1b－1≥2acb,，1c－1≥2abc,，
以上三個不等式兩邊分別相乘得
(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號．
12．某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定,，池的外圈周壁建造單價為每米400元,，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計)．
問：污水處理池的長設(shè)計為多少米時可使總價最低．
解：設(shè)污水處理池的長為x米,，則寬為200x米．
總造價f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200
＝800×(x＋225x)＋12000
≥1600x·225x＋12000
＝36000(元)
當(dāng)且僅當(dāng)x＝225x(x＞0),，
即x＝15時等號成立．