2018年,，89歲高齡的菲爾茲獎(jiǎng)得主，邁克爾·阿蒂亞爵士舉行了他最后一次公開的數(shù)學(xué)報(bào)告：

這個(gè)報(bào)告是關(guān)于“黎曼猜想”的證明,，報(bào)告結(jié)束后僅僅三個(gè)月,，老爺子就溘然長逝。

這次報(bào)告到底是不是證明了“黎曼猜想”,，我沒有資格評(píng)論,，這需要數(shù)學(xué)界內(nèi)部進(jìn)行審查,。哪怕就算結(jié)果錯(cuò)的，也有可能指出新的突破方向,，這在數(shù)學(xué)史上也層出不窮。留待學(xué)界、時(shí)間來檢驗(yàn)吧,。

但是,，黎曼猜想：

 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是  。

到底說了什么,，能讓這位耄耋老人在生命的最后一刻依然向它發(fā)起沖鋒；讓一代代的數(shù)學(xué)家為之魂系夢(mèng)繞（大數(shù)學(xué)家希爾伯特就說過,，如果他能復(fù)活，第一件事情就是要問問,，黎曼猜想證明了嗎？）,。

逝者安息,，生者傳承,，下面就以我們的方式盡量數(shù)普一下黎曼猜想，把老爺子這份執(zhí)著傳遞一二,，把無數(shù)數(shù)學(xué)家的這份執(zhí)著傳遞一二。

大于 1 的自然數(shù)中,，除了 1 和該數(shù)自身外,，無法被其他自然數(shù)整除的數(shù)稱為 素數(shù)（Prime Number）,，比如  2,、3,、5、7,、11、 ,。

我們知道素?cái)?shù)是無窮的^[1],，也可以通過埃拉托斯特尼篩法^[2]篩出有限個(gè)的素?cái)?shù)：

但對(duì)于素?cái)?shù)的整體了解依然非常少,，素?cái)?shù)似乎是完全隨機(jī)地?fù)诫s在自然數(shù)當(dāng)中的一樣,，下面是 1000 以內(nèi)的素?cái)?shù)表,，看上去也沒有什么規(guī)律（你說它越來越稀疏吧,，877,、881,、883,、887 又突然連著出現(xiàn) 4 個(gè)素?cái)?shù),，和 10 以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)一樣多）：

別說素?cái)?shù)的精確分布了，就是隨機(jī)抽取一個(gè)足夠大的自然數(shù)出來,，要檢驗(yàn)它是否是素?cái)?shù)都需要經(jīng)過一番艱苦的計(jì)算,。

以研究素?cái)?shù)為核心的數(shù)論,，在數(shù)學(xué)家眼中就是：

你可能會(huì)有一個(gè)疑問,，研究素?cái)?shù)干嘛,？可以改善生活嗎？提高壽命嗎,？糧食增產(chǎn)嗎？移民火星嗎,？

當(dāng)然可以給出一些現(xiàn)實(shí)的理由,，比如流行的區(qū)塊鏈中的加密算法就依賴于素?cái)?shù)分布的一些理論。但是隨著了解的深入,，我發(fā)現(xiàn)對(duì)于數(shù)學(xué)家而言這些根本不重要,，不足以構(gòu)成驅(qū)使他們前進(jìn)的動(dòng)力。正如有人詢問著名登山家喬治·馬洛里“為什么要登山”,，馬洛里回答道：“因?yàn)樯皆谀抢铩保?/span>

數(shù)學(xué)家研究素?cái)?shù)的理由很簡(jiǎn)單,，因?yàn)樗谀抢铩?shù)論可能才是最純粹的數(shù)學(xué),，才是數(shù)學(xué)的初心,。

先根據(jù)之前給出的素?cái)?shù)表繪制一個(gè)函數(shù)圖像：

縱坐標(biāo)  表示的是  以內(nèi)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。比如從圖像上可以看出：

這個(gè)意思就是 10 以內(nèi)有 4 個(gè)素?cái)?shù)（我們知道分別是：2,、3,、5、7 ）,。這個(gè)  被稱為 素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)（Prime-counting function）,。

得到素?cái)?shù)的精確分布目前還屬于天方夜譚，數(shù)學(xué)家就退而求其次,，想知道   到底是多少,？這就是幾千年來素?cái)?shù)研究的核心問題。

高斯和勒讓德猜測(cè)：

后來又有改進(jìn)的猜測(cè)：

把這三個(gè)函數(shù)圖像放在一起,，看上去好像確實(shí)可以看作近似,，并且后者近似還要好一些：

這兩個(gè)猜測(cè)，尤其是后者,，都可以稱為 素?cái)?shù)定理（The Prime Theory）,，只是此時(shí)還沒有證明。

格奧爾格·弗雷德里?！げǘ鞴隆だ杪?826－1866）德國數(shù)學(xué)家,，黎曼幾何學(xué)創(chuàng)始人，復(fù)變函數(shù)論創(chuàng)始人之一：

1859年黎曼被任命為柏林科學(xué)院的通訊院士,，作為見面禮,，黎曼提交了他唯一關(guān)于數(shù)論的論文，也是唯一完全不包含幾何概念的論文，《論小于一個(gè)給定值的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)》：

這篇論文總共只有9頁^[3],，卻可以名列最難讀的論文之列（黎曼顯然高估了閱讀者的水平,，其中不少結(jié)論都沒有給出證明，因?yàn)樗X得不證自明,、一目了然,。但是事實(shí)是，比如其中證明的一小步,，都花費(fèi)了后人46年的時(shí)間才證明出來）,，同時(shí)又是素?cái)?shù)研究領(lǐng)域最重要的一篇論文。

聽這個(gè)論文的名字也知道這篇論文是關(guān)于  的,，確實(shí),，在這篇文章中，黎曼居然給出了素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的準(zhǔn)確表達(dá)式：

先不管這個(gè)函數(shù)的細(xì)節(jié),，看到?jīng)],，黎曼壓根就沒有理會(huì)什么素?cái)?shù)定理，直接給出了  的精確表達(dá)式,，這就是王霸之氣，不玩擦邊球,，來就直搗黃龍,，解決主帥。

  的表達(dá)式并不簡(jiǎn)單,。想想也可以理解,，要是初等數(shù)學(xué)就可以解決的問題，很可能早就被歐拉,、高斯這兩位數(shù)學(xué)守門員（形容不要想在這兩位大神手里撿漏）給征服了,。

重復(fù)一下，  長這樣：

這個(gè)函數(shù)分為兩部分：

• 黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)：就是式子中的  ,，它實(shí)際上是黎曼給出的對(duì)  的近似,，也稱作 黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù) ，下面是它的代數(shù)表達(dá)式,，這個(gè)代數(shù)表達(dá)式的細(xì)節(jié)之后會(huì)討論：

  

• 修正項(xiàng)：也就是：

  
  

  其中   稱為莫比烏斯函數(shù),，具體的代數(shù)表達(dá)式如下：

整個(gè)式子的意思就是，通過修正項(xiàng)調(diào)整之后,，黎曼給出的素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)   就完全等于  了,。

5.1  函數(shù)與非平凡零點(diǎn)

要把  介紹清楚，先得引入一個(gè)  ：

為什么自變量用  ,，不用  呢,？因?yàn)檫@是定義在復(fù)數(shù)域上的函數(shù)，即  ，而復(fù)數(shù)域習(xí)慣用  來表示自變量（之前我就介紹過了,，實(shí)數(shù)的問題如果解決不了,，可以嘗試升維到復(fù)數(shù)中去^[4]）。

如果嘗試解下面與  函數(shù)相關(guān)的方程：

這個(gè)方程的解有無數(shù)多個(gè),，可以分為兩類：

• 平凡解：  ,，也就是所有負(fù)偶數(shù)。這個(gè)解看上去就比較簡(jiǎn)單,，也很容易求,，所以叫做平凡解，也叫作  函數(shù)的平凡零點(diǎn)

• 非平凡解：  ,，也就是復(fù)數(shù)解,。這類解就很復(fù)雜，現(xiàn)在都沒有求出所有的解,，而且估計(jì)求出這所有解的難度不亞于求出素?cái)?shù)的精確分布,，目前只是通過暴力運(yùn)算求出了一些。所以叫做非平凡解,，也叫做  函數(shù)的 非平凡零點(diǎn)

至此,，黎曼猜想中最重要的兩個(gè)名詞都出現(xiàn)了：  函數(shù)、非平凡零點(diǎn),。

5.2 黎曼素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)

好,，回頭再來看  ：

這個(gè)函數(shù)有 4 部分：

•  ：這個(gè)是之前提到過的，關(guān)于  的一個(gè)近似

•  ：  就是指的  函數(shù)的非平凡零點(diǎn),，就是說把所有非平凡零點(diǎn)的  加起來

•  ：這是一個(gè)常數(shù)

•   ：  越大,，這項(xiàng)越趨近于0，在  時(shí)取得最大值  ,，也不是很重要

之前也說了,，  本身就是對(duì)  的近似，從下面動(dòng)圖也可以看出,，越多的非平凡零點(diǎn)  參與運(yùn)算（通過暴力計(jì)算得到）,，  越貼合  ，近似效果比素?cái)?shù)定理要好得多：

5.3 黎曼猜想

通過上面的分析,，如果可以知道   函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)  ,，那么就可以得到精確的  。但是非平凡零點(diǎn)  求解的難度似乎不亞于得到素?cái)?shù)精確分布的難度,，怎么辦,？

如果知道  的范圍也可以（下面  表示  的實(shí)部）：

• 如果  ：那么素?cái)?shù)定理成立，這已經(jīng)被證明了,，歷史上素?cái)?shù)定理最初也是據(jù)此證明出來的

• 如果   ：這其實(shí)就是黎曼猜想的另外一種描述,。如果黎曼猜想成立的,，那就可以證出（也就是知道素?cái)?shù)定理中的  到底與真正的   有多大的誤差）：

  

證明了黎曼猜想，我們就在素?cái)?shù)分布上進(jìn)了一大步,。但這只是開始,，離真正的素?cái)?shù)分布還差得很遠(yuǎn)。

希望大家讀完這篇文章可以對(duì)黎曼猜想有一個(gè)粗糙的了解,，當(dāng)然還有很多的疑問：

•   函數(shù)的非平凡零點(diǎn)  怎么就和素?cái)?shù)的分布有關(guān)系,？

•   函數(shù)是怎么擴(kuò)張到復(fù)數(shù)域的？

• 為什么黎曼會(huì)猜想   ,？

•   怎么就長那個(gè)樣子,？

•    定義成這樣有什么動(dòng)機(jī)？

• 關(guān)于非平凡零點(diǎn)  目前我們知道哪些,？

• 
  

你可以把這篇文章看作一個(gè)大綱,，或者《素?cái)?shù)之戀》的讀書筆記，所有的細(xì)節(jié)基本上都可以在這本書中找到,。這本書也是我覺得寫得最好的關(guān)于黎曼猜想的書,，可以通過下述鏈接購買：

黎曼這篇天才論文開辟了一個(gè)時(shí)代，其中很多結(jié)論雖然未經(jīng)證明,，但對(duì)于數(shù)學(xué)家這不啻于一座寶藏,。

黎曼其人，出生貧寒,，又遇上歐洲動(dòng)蕩,、秩序重建，貴族自身難保,，使得他很難像以往天才數(shù)學(xué)家一樣可以獲得貴族的資助。貧病交加之下黎曼40歲就因肺結(jié)核去世,。仿佛天妒英才,，上帝好像不想讓人類過早地就拆穿了它所有的秘密。

如果黎曼活得長一些,，說不定黎曼猜想就可以在他自己手中解決,。不過不管怎樣，素?cái)?shù)的秘密,，正如希爾伯特所說,，“我們必須知道，我們必將知道”：