16. 宇宙常數的故事

愛因斯坦在1905年建立了狹義相對論,，1915年建立廣義相對論的引力場方程,，在1917年的一篇文章中引入了宇宙常數一項。場方程看起來并不是很復雜,，解起來卻異常困難,。我們暫時忽略宇宙常數的一項，考察一下引力場方程包含的物理意義,。如今我們很難體會和揣摸愛因斯坦當時的真實思想,，但可以從我們現在所具有的物理知識出發(fā)，首先重新認識一下場方程到底意味著些什么,。為方便起見,，將方程在此重寫一遍：

為了更深刻地理解廣義相對論,，不妨先回憶一下狹義相對論。相對于經典牛頓力學而言,，狹義相對論否認了速度（即運動）的絕對意義,。那就是說,，當我們在狹義相對論中談及速度v時,，一定要說明是相對于哪個參考系而言的速度，否則就是毫無意義的,。到了廣義相對論中則更進了一步,，因為廣義相對論取消了慣性系的概念，速度不僅沒有了絕對的意義,，連速度對慣性系的相對意義也沒有了,。比如說，在廣義相對論預言的彎曲時空中,，我們只能在同一個時空點來比較兩個速度（或任何矢量）,，而無法比較不同時間、不同地點的兩個速度的大小和方向,，除非我們將它們按照前面介紹過的黎曼流形上平行移動的方法移動到同一個時空點,。這也就是為什么我們花了很長的時間來解釋黎曼幾何和張量微積分等等數學概念。因為在（偽）黎曼流形上,，每個不同的時空點定義了不同的坐標系,，使用它們，才能正確描述廣義相對論中彎曲時空的精髓,?；蛟S可以用一句簡單的話來表述得更清楚一些：狹義相對論將獨立的時間和空間統一成了“4維時空”，廣義相對論則將平直的時空變成了帶著活動標架的“流形”,。

當然,，在流形上的一個很小局部范圍內，我們仍然可以忽略時空的彎曲效應,，近似地使用狹義相對論的概念,，但那只是在兩個粒子相距非常小的時候才能成立。

最后與愛因斯坦在一起工作過的著名物理學家約翰·惠勒有一句解釋廣義相對論的名言：“物質告訴時空如何彎曲,，時空告訴物體如何運動,。”

“物質告訴時空如何彎曲”,，這點從方程（2-16-1）是顯而易見的,。因為方程的右邊是給定世界的“物質”分布，它決定了方程的解,，即度規(guī)張量,，也就是表征時空如何彎曲的幾何度量,。

后一段話則說的是：彎曲的時空中粒子將如何運動。

考慮在度規(guī)為g_ij的時空中有一個作“自由落體”運動的“試驗粒子”,。先澄清一下這一句話中提到的兩個概念：所謂試驗粒子,，就是說它是一個理想的點粒子，這個粒子的能量和動量很小,，以至于它的存在絲毫不影響原來時空的度規(guī)張量,。所謂自由落體，就是說粒子的運動除了受到引力引起的時空彎曲之外,，沒有任何其它的作用力,。這樣的試驗粒子應該沿著測地線運動。這時,，粒子的速度矢量相應地沿著測地線平行移動,。對應于平坦空間，測地線是彎曲空間中最接近直線概念的幾何量,。

用2維球面來理解彎曲時空,。兩個人從赤道上的不同點出發(fā)，都一直向北走,。如果他們原來習慣了平坦空間的幾何,，他們會以為他們的運動方向是互相平行的，因而相互距離應該保持不變,。然而,，在球面上實驗后卻會發(fā)現他們之間的距離越來越近。對這個事實,，他們可以用兩種方式來解釋：一是認為有一種力將他們推得互相靠近,，另一種則是想象成是由于空間彎曲的幾何原因。這兩種解釋是等效的,，正如廣義相對論中將引力等效于時空彎曲一樣,。

愛因斯坦建立了引力場方程后，物理學家和天文學家蜂擁而上,，使用各種數學方法研究方程的解,，將其與牛頓經典理論比較，用以解釋各種天文觀測現象,。在那個時代,，宇宙學還只能算是一個初生的嬰兒，物理和天文學界基本上公認宇宙的靜態(tài)模型,。所謂“靜態(tài)模型”,，并非認為宇宙中萬物靜止不動，而只是就宇宙空間的大范圍而言,，認為宇宙是處處均勻各向同性的,，每一點處朝各個方向看去都會有無窮多顆恒星,，恒星之間的平均距離不會隨著時間的流逝而擴大或縮小。但是,，根據廣義相對論的運算結果,，宇宙并不符合上述的靜態(tài)模型，而是動態(tài)的,，有可能會擴張或收縮,。愛因斯坦為了使宇宙保持靜態(tài)，在引力場方程式中加上了公式（2-16-1）中的第三項^【1,，2】,。

當初,，愛因斯坦及大多數物理學家都認為,，萬有引力是一種吸引力，如果沒有某種排斥的“反引力”與其相平衡的話,，整個宇宙最終將會因互相吸引而導致塌縮,。因此，宇宙的命運堪憂,。當愛因斯坦在他的方程（2-16-1）中引入第二項,，使其滿足守恒條件的時候就發(fā)現，他的方程中可以加上與度規(guī)張量成正比的一項而仍然能滿足所要求的所有條件,。那么,，是否可以利用這一項來使得他的方程預言的宇宙圖景成為靜態(tài)、均勻,、各向同性的呢,？愛因斯坦假設這個比例常數Λ很小﹐在銀河系尺度范圍都可忽略不計。只在宇宙尺度下﹐Λ才有意義,。

不過,，愛因斯坦的想法很快就被天文學的觀測事實推翻了。

首先,，物理學家證明了,，即使愛因斯坦的宇宙常數提供了一個能暫時處于靜態(tài)的宇宙模型，這個靜態(tài)模型也是不穩(wěn)定的,。只要某一個參數有稍許變化,，就會使變化增大而往一個方向繼續(xù)下去，最后使得宇宙很快地膨脹或塌縮,。后來,，在1922年，前蘇聯宇宙學家亞歷山大·弗里德曼（Alexander Friedmann,，1888-1925）,，根據廣義相對論從理論上推導出描述均勻且各向同性空間的弗里德曼方程^【3,，4】，在這組方程中,，不需要什么宇宙常數,，得到的解卻不會因為互相吸引而塌縮，而是給出了一個不斷膨脹的宇宙模型,。沒過幾年,，哈勃的天文觀測數據證實了這個膨脹的宇宙模型^【5】。

在弗里德曼“宇宙空間是均一且各向同性”的假設下,，宇宙的空間度規(guī)ds部分,，可以寫成一個空間曲率為常數的特殊三維空間度規(guī)ds₃，與一個時間標度因子a(t)的乘積：

                                                          （2-16-2）

原來的愛因斯坦引力場張量方程的未知函數是度規(guī)張量g_ij,，需要通過（2-16-1）的16個方程求解出來,。方程右邊的能量-動量-壓力張量表達式也很復雜，一般求解根本不可能,，甚至連有意義的討論都很困難,。只能夠在不同的情況下將方程簡化后，再來估計和定性地討論解的性質,。

弗里德曼假設的表達式（2-16-2）就是在大尺度的宇宙空間范圍內簡化了的度規(guī)張量,。這兒的未知函數只剩下2個：空間度規(guī)ds₃和時間標度因子a(t)。并且,，滿足均勻各向同性條件的空間度規(guī)ds₃,，只有3種情形，可以分別用一個參數k來描述,。k只能取3個值：1,、0、-1,，分別代表球面,、平面、及雙曲面幾何,。

基于弗里德曼條件假設的對稱性,，能量動量張量T_ij也只需要考慮對角線上的4個元素：r和3維壓力矢量p。如此一來,，引力場方程（2-16-1）在不考慮宇宙常數（Λ=0）的情形下,，簡化為如下2個弗里德曼方程：

弗里德曼方程是關于宇宙空間的時間因子a(t)的變化速率及變化加速度的微分方程，a(t)是一個無量綱的函數,，用以描述宇宙在大尺度范圍內的膨脹或收縮,。

一開始時，愛因斯坦不怎么瞧得上弗里德曼的工作，認為只不過由此可以滿足一下數學上的好奇心而已,。但后來,，弗里德曼根據這個方程，第一個從數學上預言了宇宙的膨脹,。再后來,，一位比利時的天主教神父，也是宇宙學家的喬治·勒梅特（Georges Lema?tre,，1894-1966）,，獨立得到與弗里德曼同樣的膨脹宇宙的結論。1929年,，哈勃宣布的觀測結果證實了這兩位科學家對“宇宙膨脹”的理論預言,，并由此而否定了引力場方程中宇宙常數一項的必要性。哈勃的觀測事實,，令愛因斯坦懊惱遺憾不已,。

愛德溫·哈勃（Edwin Hubble，1889-1953）是美國著名的天文學家,，是公認的星系天文學創(chuàng)始人和觀測宇宙學的開拓者,。他的觀測資料證實了銀河系外其他星系的存在，并發(fā)現了大多數星系都存在紅移的現象,。重要的是，哈勃發(fā)現來自遙遠星系光線的紅移與它們的距離成正比,，這就是著名的哈勃定律：

v = H₀D                                                                              （2-16-5）

式中的v是星系的運動速度,，D是星系離我們的距離。從多普勒效應（圖2-16-1a）知道,，如果光源以速度v運動的話,，觀察者接受到的光波波長與光源實際發(fā)出的光波波長有一個等于v/c的偏移。哈勃觀測到來自這些星系的光譜產生紅移,，說明這些星系正在遠離我們而去,，見圖2-16-1b。比如說,，光源遠離的速度是3000公里/秒,，即光速的百分之一，觀測到的波長也將向低頻方向（紅色）移動百分之一,。

圖2-16-1：多普勒效應和哈勃定律

哈勃定律說明,，離我們越遠的星系，遠離而去的速度就越快,。仔細一想,，這描述出的正是一幅宇宙不斷擴展膨脹的圖景。其中的比例因子H當時被認為是一個常數，后來被認為隨時間而變化,，叫做哈勃參數,。但實際上它是隨時間的天文數字而變化，一般情況下不用在意,，只對研究宇宙的歷史等宇宙學問題有關,。總之,，當時的天文學家將H₀稱之為哈勃常數,。根據2013年3月21日普朗克衛(wèi)星觀測獲得的數據，哈伯常數大約為67.80±0.77 千米每秒每Mpc,。

哈伯參數與弗里德曼方程中的時間因子a(t)有關,，即

所以，根據弗里德曼的預測和哈勃的實驗證實,，宇宙并不是穩(wěn)態(tài)的,，是在膨脹的。而弗里德曼的結論本來就是從沒有包含宇宙常數的愛因斯坦方程式推導而來的,。愛因斯坦在方程中加進的宇宙常數Λ一項成了一個多余的累贅,。

愛因斯坦對此耿耿于懷，撤回了他的“宇宙常數”,。據說他在與物理學家伽莫夫的一次談話中對此表示遺憾,，認為這是自己“一生所犯下的最大錯誤?！?sup>【^6】

宇宙的確在不斷地膨脹,，但這膨脹的速度是否變化呢？是加速膨脹還是減速膨脹,？這個問題關系到宇宙的歷史和未來,。用弗里德曼方程中的時間因子a(t)來表示的話，宇宙膨脹說明a(t)對時間的一階導數不為零,。加速膨脹還是減速膨脹的問題則與a(t)對時間的二階導數有關,。對此，不同的學者有不同的看法和解釋,，這又導致了不同的宇宙演化模型,。

1998年，兩個天文學家研究小組對遙遠星系中爆炸的超新星進行觀測,，發(fā)現它們的亮度比預期的要暗,，即它們遠離地球的速度比預期的快。也就是說,，從幾十億年前的某個時刻開始,，宇宙的膨脹速度加快了，我們生活在一個加速膨脹的宇宙中。

新的觀測結果使得人們又將那個被愛因斯坦引入又摒棄了的宇宙常數“Λ先生”請了回來,。

不過,，這次“Λ先生”的起死回生，與愛因斯坦當初的對錯無關,，也完全不是愛因斯坦先知先覺預言到的結果,。因為實際上，物理學家們認為宇宙的加速膨脹是與宇宙中“暗能量”存在的事實有關的,。暗能量在引力場中起的作用,，正好與愛因斯坦原來引進的Λ一項類似，因而才又把Λ一項加進了方程,。暗能量的來源,，則是量子場論所預測的真空漲落。而量子論,，正是愛因斯坦一生中始終懷疑也從未接受的理論,。

參考資料：

【1】Einstein,Albert (1917). Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativit?tstheorie(Cosmological Considerations in the General Theory of Relativity) KoniglichPreu?ische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte (Berlin): 142–152.

【2】Einstein,Albert (1997). The collected papers of Albert Einstein (Alfred Engel,translator) Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

【3】Friedman,A (1922). 'über die Krümmung des Raumes'. Z. Phys. (in German) 10(1): 377–386.

【4】Friedman,A (1999). 'On the Curvature of Space'. General Relativity andGravitation 31 (12): 1991–2000.

【5】Hubble,Edwin, 'A Relation between Distance and Radial Velocity amongExtra-Galactic Nebulae' (1929) Proceedings of the National Academy ofSciences of the United States of America, Volume 15, Issue 3, pp. 168-173

【6】G.Gamow, My World Line — An Informal Autobiography, Viking Press, New York (1970)