【例 15】  (圣彼得堡數(shù)學奧林匹克試題)托瑪想了一個正整數(shù),，并且求出了它分別除以3,、6和9的余數(shù)．現(xiàn)知這三余數(shù)的和是15．試求該數(shù)除以18的余數(shù)．

【解析】           除以3、6和9的余數(shù)分別不超過2,，5,，8，所以這三個余數(shù)的和永遠不超過2+5+8=15,，

既然它們的和等于15,，所以這三個余數(shù)分別就是2，5,，8．所以該數(shù)加1后能被3,，6,，9整除,，而[3,6,9]=18,，設該數(shù)為a,，則a=18m-1,，即a=18(m-1)+17（m為非零自然數(shù)）,，所以它除以18的余數(shù)只能為17．

【鞏固】            (2005年香港圣公會小學數(shù)學奧林匹克試題)一個家庭,，有父,、母、兄,、妹四人,，他們?nèi)我馊说臍q數(shù)之和都是3的整數(shù)倍，每人的歲數(shù)都是一個質(zhì)數(shù),，四人歲數(shù)之和是100,，父親歲數(shù)最大，問：母親是多少歲?

【解析】從任意三人歲數(shù)之和是3的倍數(shù),，100除以3余1,，就知四個歲數(shù)都是3k+1型的數(shù)，又是質(zhì)數(shù)．只有7,，13,，19，31,，37,，43，就容易看出：父43歲,，母37歲，兄13歲,，妹7歲．

【例 16】  (華杯賽試題)如圖,，在一個圓圈上有幾十個孔(不到100個)，小明像玩跳棋那樣,，從A孔出發(fā)沿著逆時針方向,，每隔幾孔跳一步,，希望一圈以后能跳回到A孔．他先試著每隔2孔跳一步，結果只能跳到B孔．他又試著每隔4孔跳一步,，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔,，你知道這個圓圈上共有多少個孔嗎?

【解析】           設想圓圈上的孔已按下面方式編了號：A孔編號為1,，然后沿逆時針方向順次編號  

為2，3,，4,，…,，B孔的編號就是圓圈上的孔數(shù)．

我們先看每隔2孔跳一步時，小明跳在哪些孔上?很容易看出應在1,，4,，7，10,，…上,，也就是說，小明跳到的孔上的編號是3的倍數(shù)加1．按題意,，小明最后跳到B孔,，因此總孔數(shù)是3的倍數(shù)加1．

同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔,，就意味著總孔數(shù)是5的倍數(shù)加1,；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味著總孔數(shù)是7的倍數(shù)．

如果將孔數(shù)減1,，那么得數(shù)既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，因而是15的倍數(shù)．這個15的倍數(shù)加上1 就等于孔數(shù),，設孔數(shù)為a,，則a=15m+1（m為非零自然數(shù)）而且a能被7整除．注意15被7除余1，所以15×6被7除余6,，15的6倍加1正好被7整除．我們還可以看出,，15的其他(小于的7)倍數(shù)加1都不能被7整除，而15×7=105已經(jīng)大于100．7以上的倍數(shù)都不必考慮,，因此,，總孔數(shù)只能是15×6+1=91．

【鞏固】           (1997年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)將12345678910111213依次寫到第1997個數(shù)字，組成一個1997位數(shù),，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是 ________．

【解析】           本題第一步是要求出第1997個數(shù)字是什么,，再對數(shù)字求和．1-9

共有9個數(shù)字，10-99共有90個兩位數(shù),，共有數(shù)字：90×2=180(個),100-999共900個三位數(shù),，共有數(shù)字：900×3=2700 (個),所以數(shù)連續(xù)寫，不會寫到999,從100開始是3位數(shù),，每三個數(shù)字表示一個數(shù),，(1997-9-180)÷3=602……2，即有602個三位數(shù),，第603個三位數(shù)只寫了它的百位和十位．從100開始的第602個三位數(shù)是701,，第603個三位數(shù)是9，其中2未寫出來．因為連續(xù)9個自然數(shù)之和能被9整除,，所以排列起來的9個自然數(shù)也能被9整除,，702個數(shù)能分成的組數(shù)是：702÷9=78(組),，依次排列后，它仍然能被9整除,，但702中2未寫出來,，所以余數(shù)為9-2=7．

【例 17】  有2個三位數(shù)相乘的積是一個五位數(shù)，積的后四位是1031,，第一個數(shù)各個位的數(shù)字之和是10,，第二個數(shù)的各個位數(shù)字之和是8，求兩個三位數(shù)的和,。

【解析】           本題條件僅給出了兩個乘數(shù)的數(shù)字之和,，同時發(fā)現(xiàn)乘積的一部分已經(jīng)給出，即乘積的一部分數(shù)字之和已經(jīng)給出,，我們可以采用棄九法原理的倒推來構造出原三位數(shù),。因為這是一個一定正確的算式，所以一定可以滿足棄九法的條件,，兩個三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8,，所以等式一邊除以9的余數(shù)為8，那么1031除以9的余數(shù)也必須為8,，□只能是3.將31031分解質(zhì)因數(shù)

發(fā)現(xiàn)僅有一種情況可以滿足是兩個三位數(shù)的乘積,，即

所以兩個三位數(shù)是143和217，那么兩個三位數(shù)的和是360

練習題：

練習1.(2002年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)兩數(shù)相除,，商4余8,，被除數(shù)、除數(shù),、商數(shù),、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是_______．

練習2.已知2008被一些自然數(shù)去除,，所得的余數(shù)都是10,，那么這樣的自然數(shù)共有多少個？

練習3.(全國小學數(shù)學奧林匹克試題)六張卡片上分別標上1193,、1258,、1842、1866,、1912,、2494六個數(shù)，甲取3張,，乙取2張,，丙取1張，結果發(fā)現(xiàn)甲,、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個人是另—個人的2倍,，則丙手中卡片上的數(shù)是________．(第五屆小數(shù)報數(shù)學競賽初賽)

練習4.求12個6443相乘的積除以19的余數(shù)          

練習5.已知60,，154，200被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是a,，a2,a3-1,，求該自然數(shù)的值．

練習6.(香港圣公會小學數(shù)學奧林匹克試題)有三所學校，高中A校比B校多10人,，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所學校初中人數(shù)是高中人數(shù)的2倍,；有一所學校初中人數(shù)是高中人數(shù)的1.5倍；還有一所學校高中,、初中人數(shù)相等．三所學?？側藬?shù)是5480人，那么A?？側藬?shù)是________人．

    練習7   1013除以一個兩位數(shù),，余數(shù)是．求出符合條件的所有的兩位數(shù)．

    練習8  有一個自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)相同,，且商相差33．求這個數(shù)是多少,？

   練習9  (2001年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)若2836，4582,，5164,，6522四個自然數(shù)都被同一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù),，除數(shù)和余數(shù)的和為_______．

練習10  一個自然數(shù)被7，8,，9除的余數(shù)分別是1,，2，3,，并且三個商數(shù)的和是570,，求這個自然數(shù)．