肖博數(shù)學小題專練 (五) 函數(shù)與方程,、函數(shù)的應用

一、選擇題

1.函數(shù) f(x)=ex+x-2 的零點所在的區(qū)間是(e≈2.718 28)( )

A.?

?

?

?

?

?

0,，

1

2

B.?

?

?

?

?

1 ?

2,，1

C.(1,2) D.(2,3)

答案 A

解析 ∵f(x)=e

x+x-2，∴f(0)=1-2=-1<0,，f

?

?

?

?

?

1?

2 = e-

3

2

>0,，

∴f(0)·f

?

?

?

?

?

1?

2

<0，∴函數(shù) f(x)=e

x+x-2 的零點所在的區(qū)間是?

?

?

?

?

?

0,，

1

2 ,。

2.已知函數(shù) y=f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應

值表：

x 1 2 3 4 5 6

y 124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6

則函數(shù) y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有( )

A.2 個 B.3 個

C.4 個 D.5 個

答案 B

解析 依題意,，f(2)>0,，f(3)<0，f(4)>0,，f(5)<0,，根據(jù)零點的存在

性定理可知， f(x)在區(qū)間(2,3),，(3,4),，(4,5)上均至少含有一個零點,，

故函數(shù) y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有 3 個。

3.函數(shù) f(x)=

??

?

?

?x

2+2x-3,，x≤0,，

-2+lnx，x>0

的零點個數(shù)為( )

A.0 B.1

C.2 D.3

答案 C

2

解析 當 x≤0 時,，令 x

2+2x-3=0,，解得 x=-3;當 x>0 時，

令-2+lnx=0,，解得 x=e

2,。所以已知函數(shù)有 2 個零點，故選 C,。

4.已知函數(shù) f(x)=?

?

?

?

?

1?

2

x-cosx,，則 f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)為

( )

A.1 B.2

C.3 D.4

答案 C

解析 作出 g(x)=?

?

?

?

?

1?

2

x與 h(x)=cosx 的圖象，可以看到其在[0,2π]

上的交點個數(shù)為 3,，所以函數(shù) f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)為 3,，故選 C。

5.若函數(shù) f(x)=x

2+2a|x|+4a

2-3 的零點有且只有一個,，則實數(shù)

a 等于( )

A.

3

2 或- 3

2

B.-

3

2

C.

3

2

D.以上都不對

答案 C

解析 令|x|=t,，原函數(shù)的零點有且只有一個，即方程 t

2+2at+

4a

2-3=0 只有一個 0 根或一個 0 根,、一個負根,，∴4a

2-3=0，解得

a=

3

2 或- 3

2 ,，經(jīng)檢驗,，a=

3

2 滿足題意。

6.已知函數(shù) y=f(x)的周期為 2,，當 x∈[-1,1]時,，f(x)=x

2，那么

3

函數(shù) y=f(x)的圖象與函數(shù) y=|lgx|的圖象的交點個數(shù)為( )

A.10 B.9

C.8 D.1

答案 A

解析 在同一平面直角坐標系中分別作出 y=f(x)和 y=|lgx|的圖

象,，如圖。又 lg10=1,，由圖象知選 A,。

7.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗 1 升汽油行駛的里程。

如圖描述了甲,、乙,、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況。下列

敘述中正確的是( )

A.消耗 1 升汽油,，乙車最多可行駛 5 千米

B.以相同速度行駛相同路程,，三輛車中,，甲車消耗汽油最多

C.甲車以 80 千米/時的速度行駛 1 小時，消耗 10 升汽油

D.某城市機動車最高限速 80 千米/時,。相同條件下,，在該市用

丙車比用乙車更省油

答案 D

解析 對于 A 選項，從圖中可以看出當乙車的行駛速度大于 40

km/h 時的燃油效率大于 5 km/L,，故乙車消耗 1 升汽油的行駛路程可

4

大于 5 千米,，所以 A 錯誤。對于 B 選項,，由圖可知甲車消耗汽油最

少,。對于C選項，甲車以80 km/h的速度行駛時的燃油效率為10 km/L,，

故行駛 1 小時的路程為 80 千米,，消耗 8 L 汽油，所以 C 錯誤,。對于

D 選項,，當最高限速為 80 km/h 且速度相同時丙車的燃油效率大于乙

車的燃油效率，故用丙車比用乙車更省油,，所以 D 正確,。

8.設函數(shù) f(x)=e

x+2x-4，g(x)=lnx+2x

2-5,，若實數(shù) a,，b 分

別是 f(x)，g(x)的零點,，則( )

A.g(a)<0

C.0

答案 A

解析 依題意,，f(0)=-3<0，f(1)=e-2>0,，且函數(shù) f(x)是增函數(shù),，

因此函數(shù) f(x)的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)，即 0

+3>0,，函數(shù) g(x)的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),，即 1f(1)>0。

又函數(shù) g(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù),，因此有 g(a)

選 A,。

9.某種新藥服用 x 小時后血液中的殘留量為 y 毫克，如圖所示

為函數(shù) y=f(x)的圖象,，當血液中藥物殘留量不小于 240 毫克時,，治療

有效。設某人上午 8：00 第一次服藥,，為保證療效,，則第二次服藥最

遲的時間應為( )

A.上午 10：00 B.中午 12：00

5

C.下午 4：00 D.下午 6：00

答案 C

解析 當 x∈[0,4]時,，設 y=k1x，把(4,320)代入,，得 k1=80,，∴y

=80x。當 x∈[4,20]時,，設 y=k2x+b,。把(4,320)，(20,0)代入得

?

?

?4k2+b=320,，

20k2+b=0,，

解得?

?

?k2=-20，

b=400,，

∴y=400-20x,。∴y=f(x)=

?

?

?80x,，0≤x≤4,，

400-20x，4

由 y≥240 ,， 得 ?

?

?0≤x≤4,，

80x≥240，

或

?

?

?4

400-20x≥240,。

解得 3≤x≤4 或 4

服藥最遲應在當日下午 4：00,，故選 C。

10.(2017·武漢高三調(diào)研)已知函數(shù) f(x)=2ax-a+3,，若?x0∈(-

1,1),，使得 f(x0)=0，則實數(shù) a 的取值范圍是( )

A.(-∞,，-3)∪(1,，+∞)

B.(-∞，-3)

C.(-3,1)

D.(1,，+∞)

答案 A

解析 依題意可得 f(-1)·f(1)<0,，即(-2a-a+3)·(2a-a+3)<0，

解得 a<-3 或 a>1,，故選 A,。

11 . (2017·沈 陽 市 教 學 質(zhì) 量 監(jiān) 測 ) 已 知 函 數(shù) f(x) =

?

?

?

2

x+2

2 ，x≤1,，

|log2(x-1)|，x>1,，

則函數(shù) F(x)=f(f(x))-2f(x)-

3

2的零點個數(shù)是

( )

6

A.4 B.5

C.6 D.7

答案 A

解析 令 f(x)=t,，則函數(shù) F(x)可化為 y=f(t)-2t-

3

2,，則函數(shù) F(x)

的零點問題可轉(zhuǎn)化為方程 f(t)-2t-

3

2=0 有根的問題。令 y=f(t)-2t

-

3

2=0,，即 f(t)=2t+

3

2,，如圖①，由數(shù)形結(jié)合得 t1=0,1

再由數(shù)形結(jié)合得,，當 f(x)=0 時,，x=2，有 1 個解,，當 f(x)=t2時,，有

3 個解，所以 y=f(f(x))-2f(x)-

3

2共有 4 個零點,。故選 A,。

12.(2017·江西南昌一模)定義在 R 上的偶函數(shù) f(x)滿足 f(2-x)

=f(x)，且當 x∈[1,2]時,，f(x)=lnx-x+1,，若函數(shù) g(x)=f(x)+mx 有 7

個零點，則實數(shù) m 的取值范圍為( )

A.?

?

?

?

?

ln2-1 ?

6 ,，

ln2-1

8

∪?

?

?

?

?

1-ln2 ?

8 ,，

1-ln2

6

B.?

?

?

?

?

ln2-1 ?

6 ，

ln2-1

8

C.?

?

?

?

?

1-ln2 ?

8 ,，

1-ln2

6

D.?

?

?

?

?

ln2-1 ?

6 ,，

1-ln2

8

7

答案 A

解析 函數(shù) g(x)=f(x)+mx 有 7 個零點，即函數(shù) y=f(x)的圖象與

y=-mx 的圖象有 7 個交點,。當 x∈[1,2]時,，f(x)=lnx-x+1，f′(x)

=

1

x-1=

1-x

x

≤0,，此時 f(x)單調(diào)遞減,，且 f(1)=0，f(2)=ln2-1,。由

f(2-x)=f(x)知函數(shù)圖象關于 x=1 對稱,，而 f(x)是定義在 R 上的偶函

數(shù)，所以 f(x)=f(-(2-x))=f(x-2),，故 f(x+2)=f(x),，即 f(x)是周期

為 2 的函數(shù)。易知 m≠0,，當-m<0 時,，作出函數(shù) y=f(x)與 y=-mx

的圖象，如圖所示,。

則要使函數(shù) y=f(x)的圖象與 y=-mx 的圖象有 7 個交點,，需有

?

?

?-8m

-6m>f(6)

,，即?

?

?-8m

-6m>ln2-1

，解得

1-ln2

8

1-ln2

6 ,。同理,，

當-m>0 時，可得

ln2-1

6

ln2-1

8 ,。綜上所述,，實數(shù) m 的取值范圍

為

?

?

?

?

?

?

?

?

ln2-1

6 ，

ln2-1

8

∪

?

?

?

?

?

?

?

? 1-ln2

8 ,，

1-ln2

6

,。

二、填空題

13.若函數(shù) f(x)=

??

?

?

?2

x-a,，x≤0,，

lnx，x>0

有兩個不同的零點,，則實數(shù) a

的取值范圍是________,。

答案 (0,1]

解析 當 x>0 時，由 f(x)=lnx=0,，得 x=1,。因為函數(shù) f(x)有兩

8

個不同的零點，則當 x≤0 時,，函數(shù) f(x)=2

x-a 有一個零點,，令 f(x)

=0 得 a=2

x，因為 0<2x≤2

0=1,，所以 0

圍是 0

14.已知函數(shù) f(x)=a

x+x-b 的零點 x0∈(n,，n+1)(n∈Z)，其中

常數(shù) a,，b 滿足 2

a=3,3b=2,，則 n=________。

答案 -1

解析 a=log23>1,0

x=-x+b,。在

同一平面直角坐標系中畫出函數(shù) y=a

x和 y=-x+b 的圖象,，如圖所

示，由圖可知,，兩函數(shù)的圖象在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有交點,，所以函數(shù) f(x)

在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有零點，所以 n=-1,。

15.我們把形如 y=

b

|x|-a

(a>0,，b>0)的函數(shù)因其圖象類似于漢字

中的“囧”字，故生動地稱為“囧函數(shù)”，若當 a=1,，b=1 時的“囧

函數(shù)”與函數(shù) y=lg|x|的交點個數(shù)為 n,，則 n=________,。

答案 4

解 析 由 題 意 知 ,， 當 a = 1 ， b = 1 時 ,， y =

1

|x|-1

=

9

?

?

?

?

?

1

x-1

(x≥0且x≠1),，

-

1

x+1

(x<0且x≠-1)。

在同一坐標系中畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)

y=lg|x|的圖象如圖所示,，易知它們有 4 個交點,。

16.(2017·北京高考)三名工人加工同一種零件，他們在一天中的

工作情況如圖所示,，其中點 Ai的橫,、縱坐標分別為第 i 名工人上午的

工作時間和加工的零件數(shù)，點 Bi的橫,、縱坐標分別為第 i 名工人下午

的工作時間和加工的零件數(shù),，i=1,2,3。

①記 Qi為第 i 名工人在這一天中加工的零件總數(shù),，則 Q1,，Q2，

Q3 中最大的是________;

②記 Pi 為第 i 名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù),，則

P1,，P2，P3中最大的是________,。

答案 ①Q(mào)1 ②P2

解析 ①設線段 AiBi 的中點為 Ci(xi,，yi)，則 Qi=2yi(i=1,2,3),。

10

因此只需比較 C1,，C2，C3三個點縱坐標的大小即可,。不難發(fā)現(xiàn) y1最

大,，所以 Q1最大。②由題意,，知 Pi=

yi

xi

(i=1,2,3),。故只需比較三條直

線 OC1，OC2,，OC3的斜率即可,，發(fā)現(xiàn) P2最大。

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