我們已經(jīng)知道,，導(dǎo)數(shù)其實是一個在一元實函數(shù)集上的映射

d/dx:X→Y

而且,，這并不是個單射，即沒有嚴格意義下的逆映射,。

但是,，對于同一個像f(x)∈Y，其所有原像構(gòu)成的集合I?X具有如下形式

I = {F(x)+C|d/dx F(x) = f(x)}

其中F(x)是I中的某一元素（一元實函數(shù)）,，C是常數(shù),。

如果我們就用形式F(x)+C代表集合I中的元素，這就形式上建立了一個導(dǎo)數(shù)映射的“逆映射”,，它將f(x)所對應(yīng)的所有原像都表示出來了,。這個“逆映射”就是所謂的不定積分。表示為

∫f(x)dx = F(x) + C

其中d/dx F(x) = f(x),，即F(x)是f(x)在導(dǎo)數(shù)映射下的一個原像（也稱原函數(shù)）,。

可見，不定積分實際上就是針對被積函數(shù)f(x)找一個在相應(yīng)導(dǎo)數(shù)映射下的原像,，然后加上一個待定的常數(shù),。所以,，不定積分的關(guān)鍵是與之相關(guān)的導(dǎo)數(shù)映射，因為其本身就是建立在導(dǎo)數(shù)映射的基礎(chǔ)之上的,。

與導(dǎo)數(shù)類似，不定積分也具備線性性,，這一點很容易由導(dǎo)數(shù)的線性性得到,。具體形式如下

∫(a f(x) + b g(x))dx = a ∫f(x)dx + b ∫g(x)dx

但與導(dǎo)數(shù)不同，不定積分不具備類似的乘,、除,、反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)等的運算法則，這就給不定積分的求解帶來了相當(dāng)大的困難,。對于一般的初等函數(shù),，不定積分不一定存在解析解。

不定積分的難點在于其求解上,，不存在普適的一般法則,，基本就是個拼湊的玩法。拼湊必須得有個方向,，在此就是基本積分表,。市場上有比較專業(yè)的相關(guān)數(shù)學(xué)工具書，內(nèi)有相當(dāng)完備的積分表,，基本涵蓋了具備解析解的被積函數(shù)并給出其不定積分解析解,。如果所擁有的積分表不是那么的完備（如僅是基本積分表），則可以其為目標(biāo)進行變換,，將被積函數(shù)變換成積分表內(nèi)可直接引用的形式,。

下面介紹幾個求解不定積分的基本變換法：

一）第一類換元法

設(shè)函數(shù)f(u)具有解析原函數(shù)F(u)（即d/du F(u) = f(u)），且函數(shù)u=φ(x)可導(dǎo),，則由變換

∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫f(u)du = F(φ(x)) + C

可知被積函數(shù)f(φ(x))φ'(x)也有解析解,，其解為F(φ(x)) + C。

二）第二類換元法

設(shè)函數(shù)x=ψ(t)嚴格單調(diào)（即存在反函數(shù)t=ψ?1(x)）可導(dǎo)且ψ'(t)≠0,。若函數(shù)f(ψ(t))ψ'(t)具有解析原函數(shù)G(t)（即d/dt G(t) = f(ψ(t))ψ'(t)）,，則由變換

∫f(x)dx = ∫f(ψ(t))ψ'(t)dt = G(ψ?1(x)) + C

可知被積函數(shù)f(x)也有解析解，其解為G(ψ?1(x)) + C,。

三）分部積分法

如果被積函數(shù)f(x)g'(x)具有解析原函數(shù),，則由變換

∫f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - ∫f(x)g'(x)dx

可知被積函數(shù)f'(x)g(x)也有解析解。

四）有理函數(shù)的積分

有理函數(shù)可以通過部分分式分解成如下形式之和

1）P(x)

P(x)為多項式

2）P(x)/(x-a)^k

P(x)為小于k次的多項式

3）P(x)/(x2+px+q)^k

P(x)為小于2k次的多項式

這三個類型的被積函數(shù)都具有解析解（具體在此略）,。

常用的基本積分表：

∫x^μdx = x^(μ+1)/(μ+1) + C （μ≠-1）

∫(1/x)dx = ln(|x|) + C

∫e^x dx = e^x + C

∫(1/(x2+1))dx = arctg(x) + C

∫(1/(x2-1))dx = ln(|(x-1)/(x+1)|)/2 + C

∫(1/√(1-x2))dx = arcsin(x) + C

∫(1/√(x2+1))dx = ln(x+√(x2+1)) + C

∫(1/√(x2-1))dx = ln(x+√(x2-1)) + C

∫cos(x)dx = sin(x) + C

∫sin(x)dx = -cos(x) + C

∫tg(x)dx = -ln(|cos(x)|) + C

∫ctg(x)dx = ln(|sin(x)|) + C

∫sec(x)dx = ln(|sec(x)+tg(x)|) + C

∫csc(x)dx = ln(|csc(x)-ctg(x)|) + C

∫sec2(x)dx = tg(x) + C

∫csc2(x)dx = -ctg(x) + C

∫sec(x)tg(x)dx = sec(x) + C

∫csc(x)ctg(x)dx = -csc(x) + C

∫sh(x)dx = ch(x) + C

∫ch(x)dx = sh(x) + C