相似是兩個(gè)圖形之間的一種關(guān)系,，是初二學(xué)過(guò)的全等的一個(gè)進(jìn)階，今后求線段求角度的一種重要手段,，因此這一章的重要性大家也就明白了,。下面我們先從比例線段開(kāi)始講起~（本文篇幅較長(zhǎng)，建議分成兩至三次去看）

1

一,、比例線段的基本概念

1,、比例線段的定義（低頻考點(diǎn)）

（1）兩條線段的比：選用同一長(zhǎng)度單位量得的兩條線段的長(zhǎng)度的比，叫做這兩條線段的比,。

（2）成比例線段：如果線段和的比等于線段和的比,，那么線段，，,，叫做成比例線段,，記作或，其中,，叫做比的前項(xiàng),，，叫做比的后項(xiàng),，,，叫做比例內(nèi)項(xiàng)，,，叫做比例外項(xiàng),，叫做，,，的第四比例項(xiàng),。（看著好繁瑣對(duì)不對(duì)，那我問(wèn)你,，小學(xué)學(xué)的外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積還記得不,？記得？OK,，那就夠了）

（3）比例中項(xiàng)：若,，則稱是，的比例中項(xiàng),。

一般上面的這部分期末考察的不多,，考察的題目也相對(duì)比較基礎(chǔ)，比如2015-2016南開(kāi)期末考過(guò)比例尺：

例：在比例尺的地圖上,，量得甲,、乙兩地距離是，則甲,、乙兩地的實(shí)際距離為_(kāi)_________,。

分析：設(shè)兩地實(shí)際距離為，根據(jù)題意得,，所以,，注意題目最后的單位是“”，所以記得單位換算~

2

二,、比例的性質(zhì)

1,、比例的基本性質(zhì)

可能很多同學(xué)表示上邊這堆亂七八糟的都是啥,？我咋從來(lái)沒(méi)見(jiàn)過(guò),？莫慌，問(wèn)題不大,。比例的基本性質(zhì)和反比定理以及更比定理這幾個(gè)掌握了就可以了,，因?yàn)楹筮呄嗨迫切瘟斜壤P(guān)系需要用，別的就了解一下也就完了~

2,、黃金分割（低頻考點(diǎn)）

上面官方的語(yǔ)言看著有些繁瑣,，我一般會(huì)這么翻譯“三點(diǎn)共線,，短的比上長(zhǎng)的等于長(zhǎng)的比上整個(gè)的，那這個(gè)比就是黃金比”,，能明白引號(hào)里邊的意思,，做題也就不成問(wèn)題了。比如,，咱們來(lái)一個(gè)思考題~

按照上面黃金分割的定義來(lái)分析,，那我們是不是可以類似的定義一個(gè)“黃金比例身材”？也就是：以肚臍為分割點(diǎn),，上半身的長(zhǎng)度比上下半身的長(zhǎng)度等于下半身的長(zhǎng)度比上整個(gè)身高,。如果滿足這個(gè)關(guān)系，那就是一個(gè)黃金比例的身材,。斷臂維納斯知道不?這個(gè)雕塑就是一個(gè)典型的黃金比例,。

黃金分割考察不多，近幾年期末中去年的河西考了一次,，題目是這樣的：

例：

分析：根據(jù)概念來(lái)看,，很容易的能選出A是正確選項(xiàng)對(duì)吧~

3

三,、平行線分線段成比例（基礎(chǔ)）

平行線分線段成比例其實(shí)也是相似的一種基本模型，通過(guò)此時(shí)的線段對(duì)應(yīng)成比例延伸到后面三角形相似之后得到的相似比,。剛才說(shuō)這部分是基礎(chǔ),，考察的難度也不大,。下面咱們看看近幾年的期末是如何考察的：

例：

分析：這個(gè)題是三條平行線退化成兩條的情況,，也就是“A字型”。根據(jù)“上比下等于上比下”的原理,，我們可以輕松得到,，也就是，解得,，選擇,。

比例線段的知識(shí)點(diǎn)咱先說(shuō)這么多，畢竟那些只是這一章的引入,，后面咱來(lái)“正經(jīng)”的聊聊相似三角形,。

4

四、圖形的相似（基礎(chǔ)）

1,、我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形,。也就是說(shuō)，一個(gè)圖形可以看成是另一個(gè)圖形的等比放大或縮小,。

比如下面這兩張圖片,，這就是相似的關(guān)系。

（注意：在這里強(qiáng)調(diào)一下全等和相似的關(guān)系,。全等的特點(diǎn)是什么？形狀相同,，大小相等,。相似呢？形狀相同,。因此相似是包含全等的,。全等是相似比為1:1的相似。題目中經(jīng)常出現(xiàn)的話就是：全等一定相似,，但相似不一定全等,。這句話是對(duì)的~）

2、相似多邊形

（注意：對(duì)于多邊形相似而言，必須強(qiáng)調(diào)“角分別相等,，邊成比例”一個(gè)不能少,！不能都和三角形一樣只看角對(duì)應(yīng)相等就證明相似,。比較常見(jiàn)的就是正方形和矩形，同樣都是4個(gè)直角,，但并不一定相似,，如果題目說(shuō)的是兩個(gè)正多邊形，那沒(méi)問(wèn)題）

看到這兒有沒(méi)有困了的同學(xué),？來(lái),，開(kāi)飯了，醒醒,，下面講正經(jīng)事兒了

5

五,、相似三角形的判定（重點(diǎn)，難點(diǎn)）

1,、相似三角形定義：

注意：

看懂了上邊，咱來(lái)個(gè)題：

例：

分析：①全等一定相似，正確,；②兩個(gè)等腰三角形如果說(shuō)頂角相等,，那么根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°以及等邊對(duì)等角，它們的底角也一定相等,，正確,；③兩個(gè)等腰是否相似需要看它們的邊是否對(duì)應(yīng)成比例或者角是否對(duì)應(yīng)相等，比如等腰直角三角形和等邊三角形就不相似,，錯(cuò)誤,；④菱形自身四條邊都相等可以滿足邊對(duì)應(yīng)成比例，但是角度不確定,，錯(cuò)誤，故選B,。

思考一個(gè)問(wèn)題：如果將上題中②改為“有一個(gè)角是30°的兩個(gè)等腰三角形相似”,，那么這句話對(duì)還是不對(duì)？為什么,？思考一下,，稍后公布答案~

如果題目只是說(shuō)有兩個(gè)等腰三角形都有30°,，而沒(méi)有明確這個(gè)30°是頂角還是底角,，當(dāng)然是不能說(shuō)明相似的。因?yàn)榭梢允恰?0°,，30°,，120°”的鈍角等腰三角形，也可以是“30°,，75°,，75°”的銳角等腰三角形。

2,、相似三角形的判定（重點(diǎn)難點(diǎn)）

例1：

分析：這是一個(gè)很明顯的A字模型對(duì)吧？直接用平行線分線段成比例就可以吧,？自己算算,，核對(duì)一下下面的答案吧

例2：

分析：原圖的三邊比為，也就是,。A選項(xiàng)三邊比,；B選項(xiàng)三邊比；C選項(xiàng)三邊比,；D選項(xiàng)三邊比,。綜上，只有B滿足條件,。

（其實(shí)這個(gè)題有個(gè)簡(jiǎn)便方法,，相似三角形是不是得有對(duì)應(yīng)角相等？有沒(méi)有注意到原圖有一個(gè)135°,？是不是四個(gè)選項(xiàng)中只有B才有135°,？懂了吧？秒解）

（啰嗦兩句：其實(shí)講道理，這條判定使用的頻率相對(duì)比較小,，所以解題時(shí)不需要優(yōu)先考慮這一條,，但正因?yàn)檫@個(gè)用的少,，所以真正用到的時(shí)候才可能會(huì)忘……其實(shí)我的意思就是，雖然它用的少,，但也得時(shí)不時(shí)地看兩眼）

例3：

分析：這個(gè)題就屬于比較直接,，兩個(gè)直角三角形直角相等,，兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，直接用判定就OK啦~

（重中之重,！重中之重！,！重中之重?。?！重要的重點(diǎn)得用6個(gè)“重”,。這個(gè)兩角對(duì)應(yīng)相等是咱們以后見(jiàn)到的絕大多數(shù)情況，做題優(yōu)先考慮使用這條,。相似條件不夠腫么辦,？先找兩組相等的角壓壓驚就好了~建議少年們做題的時(shí)候可以像上邊的模型圖那樣，把相等的角用相同的符號(hào)：點(diǎn)或圈之類的標(biāo)注出來(lái)的,，做題效率會(huì)高很多的,，一般人兒我不告訴）

例4：

分析：讀完題先把角度標(biāo)一標(biāo),，∠B=∠C=∠ADE=60°，然后△ABD里邊,，點(diǎn)+圈=120°對(duì)吧,，平角∠BDC上，點(diǎn)+圈=120°對(duì)吧,，點(diǎn)=點(diǎn)出來(lái)了吧,？相似有了，比例關(guān)系能不能自己寫(xiě)了,？其實(shí),，這題就是考察一個(gè)“一線三等角”的模型,。什么,？一線三等角是啥你居然不知道,？還不趕緊看看后文！

其實(shí)今后用到判定兩直角三角形相似的題會(huì)有很多,，因此上面總結(jié)的這部分要好好看,，記住了，明天數(shù)學(xué)課要考,，哈哈

例5：

分析：如果說(shuō)翻折之后的還能繼續(xù)落在AC上，那么說(shuō)明折痕DE和被折疊的AC之間的關(guān)系是……垂直對(duì)吧,？然后A字模型就有了,，根據(jù)是CE的中點(diǎn)，那這三條小線段,，和的關(guān)系是不是就有了,，后邊我不說(shuō)了行么？

6

六、相似三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）

例1：

分析：

例2：

分析：第一問(wèn)根據(jù)平行線分線段成比例的基本模型就能知道相似吧？第二問(wèn)的重點(diǎn)在于關(guān)注第一問(wèn)中兩個(gè)相似三角形的高以及第二問(wèn)所求的正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,，有了這個(gè)方向,，設(shè)未知數(shù)的方程思想就浮現(xiàn)出來(lái)了吧？（我不會(huì)告訴你后邊有對(duì)這個(gè)模型的講解的，傲嬌臉）

（1）

（2）

例3：

分析：由平移可以得到平行對(duì)吧？是不是有了諸如這樣的4組相似,？由平移距離可以推導(dǎo)相似比對(duì)么,？那面積比等于？當(dāng)我們求出來(lái)和四邊形的面積比之后,，剩下的是不是就很簡(jiǎn)單了,？

7

七,、位似（基礎(chǔ)，一般這部分考試考察一至兩個(gè)題,，難度不大）

（溫馨提示：如果覺(jué)得這部分的知識(shí)點(diǎn)沒(méi)啥必要看或者說(shuō)太長(zhǎng),，可直接看知識(shí)點(diǎn)后面的紅字部分~）

1、位似的定義

2、位似圖形性質(zhì)

3、位似作圖

4,、用坐標(biāo)描述位似變換

我來(lái)總結(jié)兩句：說(shuō)得簡(jiǎn)單一點(diǎn),，位似只是相似的一種特殊情況，當(dāng)相似圖形所有頂點(diǎn)的連線都交在同一點(diǎn)（位似中心）時(shí)也就出現(xiàn)了位似,，位似比是等于相似比的,，唯獨(dú)需要注意的就是圖形位似經(jīng)常會(huì)需要分類討論,，位似中心的兩邊兒，一邊兒一個(gè),。你看這么總結(jié)完是不是更加糊涂

例：

分析：對(duì)于這個(gè)題,，我有一個(gè)比較麻煩的方法……把尺拿出來(lái),，自己畫(huà)圖，畫(huà)完圖讀坐標(biāo),，完事兒~當(dāng)然,，如果機(jī)智如你發(fā)現(xiàn)了這個(gè)題位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，想到了直接把每個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘以2得到一個(gè)結(jié)果,，再乘以一個(gè)-2得到另一個(gè)結(jié)果那就再好不過(guò)了,。

八、相似的基本模型（這個(gè)是點(diǎn)兒干貨,，一丁點(diǎn)水都沒(méi)兌,，好好see一see吧~）

1、與平行線有關(guān)的相似

①“A”字模型

②反“A”模型

③“8”字模型

圖3中,，,，

④內(nèi)接矩形與相似三角形

例1：

分析：8字模型很明顯對(duì)吧,，只要能把線段長(zhǎng)度標(biāo)出來(lái)相似比就出來(lái)了,。而題目所求的的線段的一部分，勾股求沒(méi)毛病吧,？用相似比求和是不是沒(méi)啥難度了,？

例2：

分析：這個(gè)題比上面的復(fù)雜一些，不過(guò)好在方法比較多~

（你是不是想說(shuō)方法多也耽誤不了你不會(huì),。首先根據(jù)題目問(wèn)的東西,，是不是能大致猜到這個(gè)題考察相似？然后來(lái),，拿眼看,，圖里有相似么？沒(méi)有吧,？沒(méi)有相似但考相似,，是不是……需要用到我們最喜歡的作輔助線，開(kāi)不開(kāi)心,？如果我想把題目問(wèn)的放到一個(gè)基本的相似模型的話,，是不是能想到B，C,，D可以在一個(gè)A字模型中,？那是不是少一條平行線？平行線從哪個(gè)點(diǎn)作,？線段里邊的C對(duì)吧,？那……作完輔助線后邊能不能自己標(biāo)標(biāo)比例算算數(shù)了？）

2、與角平分相關(guān)的相似（低頻考點(diǎn),，我就偷個(gè)懶不給例題啦）

3,、與射影定理有關(guān)的相似

例3：

分析：這個(gè)就直接用結(jié)論就可以了吧？看著別扭的話把手機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)來(lái),，讓線段AC水平放置,，那么這個(gè)圖的BF就是知識(shí)點(diǎn)里面的線段AD了吧？

4、一線三等角模型與相似

例4：

分析：還記得我上面講等邊三角形標(biāo)點(diǎn)圈的那個(gè)題么,？自己標(biāo)一遍,，來(lái)來(lái)來(lái)，趕緊的,！

5,、手拉手旋轉(zhuǎn)模型與相似

九,、最后來(lái)倆“簡(jiǎn)單的”

1、相似與圓（看完這四個(gè)字是不是感覺(jué)整個(gè)人都不好了,？別急,，后面還有更刺激的，期待不,？）

例1：

分析：第一問(wèn),，有切點(diǎn)證切線,，直接連半徑。第二問(wèn)其實(shí)就是一個(gè)射影定理的圖吧,？把互余關(guān)系的角度標(biāo)一標(biāo),，是不是就有，剩下的只要能用勾股求出AD,，那AE是不是也就有了,？

例2：

分析：第一問(wèn)，注意題目的已知條件,，是所對(duì)的圓周角,，而是的一半，也就是說(shuō)對(duì)吧,？后面自己寫(xiě)~第二問(wèn)的①是不是又是射影定理的圖,？推導(dǎo)個(gè)相似就出來(lái)了吧,？第二問(wèn)的②，求,，沒(méi)問(wèn)題吧,？的話是不是意味著是的角平分線啊,？角平分線有什么性質(zhì),？角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等。而剛好就是其中的一個(gè)距離,，所以是不是該做另一個(gè)距離了,？輔助線有了。輔助線是不是構(gòu)造出了一個(gè)A字模型,？通過(guò)模型求出輔助線的長(zhǎng)度是不是也就求出了的長(zhǎng)度,？

2,、相似與二次函數(shù)（這才叫“強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合”）

例：

分析：第一問(wèn)待定系數(shù)法求出解析式之后根據(jù)勾股逆定理推導(dǎo)出三角形的形狀,，這個(gè)比較基礎(chǔ),。第二問(wèn)，相似三角形存在問(wèn)題,。首先,，題目說(shuō)的“以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似”和“”兩種說(shuō)法是不一樣的，區(qū)別在于前者沒(méi)有頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,，因此需要分類討論,。好在，也就是兩點(diǎn)一定是對(duì)應(yīng)點(diǎn),，剩下的分兩類也就可以了,。把點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來(lái)，線段的長(zhǎng)度也就有了,，剩下的用相似的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等以及對(duì)應(yīng)邊成比例也就可以自己解決了吧,？

相似三角形屬于難點(diǎn)，而且對(duì)這部分的要求也會(huì)比較高,。因?yàn)樵诮窈罂荚嚨膬蓚€(gè)壓軸題（24幾何綜合25二次函數(shù)綜合）中需要經(jīng)常自己構(gòu)建相似三角形去解決問(wèn)題,，因此對(duì)于模型我們不光要做到能認(rèn)識(shí)，還得做到見(jiàn)到模型的一部分的時(shí)候自己補(bǔ)出來(lái)另一部分的模型再去解題,。