所謂“等體積法”,，常見形式之一就是通過變換三棱錐( 或四面體) 的頂點,、底面來求三棱錐( 或四面體) 的體積的方法．

 通過“等體積法”不但可以求出三棱錐體積,，而且還可以求出點( 或直線) 到平面的距離,，甚至還可以求出直線與平面所成的角以及二面角的平面角．

01  求錐體體積

圖1

本小題中，若直接求三棱錐P-MAC 的體積,，則必然陷入求ΔACM 的面積,、尋找并推理計算點P 到平面ACM 的垂線段的長度的“苦算”之中． 

這里，用“等體積法”的思想經(jīng)過三次等積變換,，將求三棱錐P-MAC 的體積巧妙地轉化為求直三棱錐M-ACN 的體積,，從而避免了繁瑣的運算和推理過程，大大地降低了難度．

02 求點到平面的距離

圖2

圖3

通過比較本小題中的兩種解法,，不難發(fā)現(xiàn),，“等體積法”比“直接求解法”少了尋找及證明平面的垂線這一繁瑣環(huán)節(jié)． 

用“等體積法”求點面距離采取了“設而不證”的思想，整個解題過程相對簡潔,，很容易為學生所接受． 

“等體積法”在求解點到平面的距離問題時確實比傳統(tǒng)直接求解要簡單而有效,，關鍵是要如何經(jīng)過等積變換轉化為容易求解的三錐體的體積．

03 求直線與平面所成的角

圖4

斜線與平面所成的角是由斜線與斜線在平面的射影所組成的圖形． 而斜線在平面內的射影與平面的垂線密不可分，所以在求線面夾角的時候，常利用斜線段,、垂線段和斜線段在平面內的射影所組成的直角三角形來求解． 

因此,，在解題時可考慮先用“等體積法”求出點面距離( 即垂線段的長度) ，然后利用直角三角形中的正弦關系,，便可求出所求線面角的正弦值,，從而避免了找射影和確定線面角的麻煩．

04 求二面角的平面角

圖5

尋找二面角的平面角常用“三垂線法”． 可以用“等體積法”求出點面距離． 再結合平面外一點到二面角的棱的距離，就可以利用直角三角形的邊角關系求出二面角的平面角的正弦值,。

當然,，在本小題中，熟悉空間位置關系的學生,，容易發(fā)現(xiàn)點B 在平面ADE 的射影就是Ｒt△ABE 的斜邊AE 上的中點,，讀者可以嘗試。