第二十六章  反比例函數(shù)

26.1  反比例函數(shù)
26.1.1  反比例函數(shù)

1．理解反比例函數(shù)的概念,；(難點(diǎn))

2．能判斷一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù),，并會用待定系數(shù)法求解析式；(重點(diǎn))

3．能根據(jù)實(shí)際問題中的條件建立反比例函數(shù)模型．(重點(diǎn))

一,、情境導(dǎo)入

1．京廣高鐵全程為2298km,，某次列車的平均速度v(單位：km/h)與此次列車的全程運(yùn)行時(shí)間t(單位：h)有什么樣的等量關(guān)系？

2．冷凍一個物體,，使它的溫度從20℃下降到零下100℃,，每分鐘平均變化的溫度T(單位：℃)與冷凍時(shí)間t(單位：min)有什么樣的等量關(guān)系？

問題：這些關(guān)系式有什么共同點(diǎn),？

二,、合作探究

探究點(diǎn)一：反比例函數(shù)的定義

【類型一】 反比例函數(shù)的識別

 下列函數(shù)中：①y＝；②3xy＝1,；③y＝,；④y＝.反比例函數(shù)有(　　)

A．1個  B．2個  C．3個  D．4個

解析：①y＝是反比例函數(shù)，正確,；②3xy＝1可化為y＝,，是反比例函數(shù)，正確,；③y＝是反比例函數(shù),，正確；④y＝是正比例函數(shù),，錯誤．故選C.

方法總結(jié)：判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù),，首先要看兩個變量是否具有反比例關(guān)系，然后根據(jù)反比例函數(shù)的定義去判斷,，其形式為y＝(k為常數(shù),，k≠0)，y＝kx^－1(k為常數(shù),，k≠0)或xy＝k(k為常數(shù),，k≠0)．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題

【類型二】 根據(jù)反比例函數(shù)的定義確定字母的值

 已知函數(shù)y＝(2m²＋m－1)x2m²＋3m－3是反比例函數(shù)，求m的值．

解析：由反比例函數(shù)的定義可得 2m²＋3m－3＝－1,，2m²＋m－1≠0,，然后求解即可．

解：∵y＝(2m²＋m－1)x2m²＋3m－3是反比例函數(shù)，∴解得m＝－2.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)也可以寫成y＝kx^－1(k≠0)的形式,，注意x的次數(shù)為－1,，系數(shù)不等于0.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題

探究點(diǎn)二：用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式

【類型一】 確定反比例函數(shù)解析式

 已知變量y與x成反比例，且當(dāng)x＝2時(shí),，y＝－6.求：

(1)y與x之間的函數(shù)解析式,；

(2)當(dāng)y＝2時(shí),，x的值．

解析：(1)由題意中變量y與x成反比例，設(shè)出函數(shù)的解析式,，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解．(2)代入求得的函數(shù)解析式,，解得x的值即可．

解：(1)∵變量y與x成反比例，∴設(shè)y＝(k≠0),，∵當(dāng)x＝2時(shí),，y＝－6，∴k＝2×(－6)＝－12,，∴y與x之間的函數(shù)解析式是y＝－,；

(2)當(dāng)y＝2時(shí)，y＝－＝2,，解得x＝－6.

方法總結(jié)：用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式時(shí)要注意：①設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式,，形如y＝(k為常數(shù)，k≠0),；②將已知條件(自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)代入解析式,，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；③解方程,，求出待定系數(shù),；④寫出解析式．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題

【類型二】 解決與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問題

 已知y＝y₁＋y₂，y₁與(x－1)成正比例,，y₂與(x＋1)成反比例,，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－3,；當(dāng)x＝1時(shí),，y＝－1.求：

(1)y關(guān)于x的關(guān)系式；

(2)當(dāng)x＝－時(shí),，y的值．

解析：根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的定義得到y₁，y₂的關(guān)系式,，進(jìn)而得到y的關(guān)系式,，把所給兩組數(shù)據(jù)代入即可求出相應(yīng)的比例系數(shù)，也就求得了所要求的關(guān)系式．

解：(1)∵y₁與(x－1)成正比例,，y₂與(x＋1)成反比例,，∴設(shè)y₁＝k₁(x－1)(k₁≠0)，y₂＝(k₂≠0),，∵y＝y₁＋y₂,，∴y＝k₁(x－1)＋.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－3,；當(dāng)x＝1時(shí),，y＝－1，∴∴k₁＝1，k₂＝－2,，∴y＝x－1－,；

(2)把x＝－代入(1)中函數(shù)關(guān)系式得y＝－.

方法總結(jié)：能根據(jù)題意設(shè)出y₁，y₂的函數(shù)關(guān)系式并用待定系數(shù)法求得等量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題

探究點(diǎn)三：建立反比例函數(shù)模型及其相關(guān)問題

 寫出下列問題中兩個變量之間的函數(shù)表達(dá)式,，并判斷其是否為反比例函數(shù)．

(1)底邊為3cm的三角形的面積ycm²隨底邊上的高xcm的變化而變化,；

(2)一艘輪船從相距skm的甲地駛往乙地，輪船的速度vkm/h與航行時(shí)間th的關(guān)系,；

(3)在檢修100m長的管道時(shí),，每天能完成10m，剩下的未檢修的管道長ym隨檢修天數(shù)x的變化而變化．

解析：根據(jù)題意先對每一問題列出函數(shù)關(guān)系式,，再根據(jù)反比例函數(shù)的定義判斷其是否為反比例函數(shù)．

解：(1)兩個變量之間的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x,，不是反比例函數(shù)；

(2)兩個變量之間的函數(shù)表達(dá)式為：v＝,，是反比例函數(shù),；

(3)兩個變量之間的函數(shù)表達(dá)式為：y＝100－10x，不是反比例函數(shù)．

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中的等量關(guān)系,，列出函數(shù)解析式,，然后根據(jù)解析式的特點(diǎn)判斷是什么函數(shù)．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題

三、板書設(shè)計(jì)

1．反比例函數(shù)的定義：

形如y＝(k為常數(shù),，k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．其中x是自變量,，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)．

2．反比例函數(shù)的形式：

(1)y＝(k為常數(shù)，k≠0),；

(2)xy＝k(k為常數(shù),，k≠0)；

(3)y＝kx^－1(k為常數(shù),，k≠0)．

3．確定反比例函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法．

4．建立反比例函數(shù)模型．

    讓學(xué)生從生活實(shí)際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,，從而引入學(xué)習(xí)內(nèi)容，這不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,，還激起了學(xué)生自主參與的積極性和主動性,，為自主探究新知創(chuàng)造了現(xiàn)實(shí)背景．因?yàn)榉幢壤瘮?shù)這一部分內(nèi)容與正比例函數(shù)相似，在教學(xué)過程中,，以學(xué)生學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)為基礎(chǔ),，在學(xué)生之間創(chuàng)設(shè)相互交流、相互合作,、相互幫助的關(guān)系,，讓學(xué)生通過充分討論交流后得出它們的相同點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上來揭示反比例函數(shù)的意義.