題 目

在ΔABC中,，∠ACB=90°,，AC=3，

BC=4,，點(diǎn)D是射線CB上的點(diǎn),，作∠ADE

=∠B，射線DE交射線AC于點(diǎn)E（點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)）

（1）若DE平分∠ADC,，求AE的長(zhǎng),；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，設(shè)CD=x,，SΔADE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域

（3）射線AB與射線ED交于點(diǎn)F,，

當(dāng)ΔADE是等腰三角形時(shí)，求SΔFBD：SΔADB的值,。

01

求線段AE的長(zhǎng)度

角平分線→找等腰三角形

簡(jiǎn)化圖形,，從整個(gè)圖形中抽出等腰三角形ADB。

利用比例線段,，求得BD,，即可求AE。

敲黑板,，漲姿勢(shì)

方法2：等腰三角形作底邊的高

本題的基本模型是A型圖,，由此得到的比例線段中已知兩條線段,，求另一條線段。要解決的就是第三條的長(zhǎng)度,，可以用勾股定理或構(gòu)造相似三角形得到。

02

求函數(shù)關(guān)系式

沒(méi)有平行線,，有相等角,，考慮構(gòu)造相似三角形

沿用第一問(wèn)的方法2，表示出HD,AH,。

03

等腰三角形的套路

解決方法一

斜A型相似轉(zhuǎn)化相似三角形面積比

解決方法二

構(gòu)造平行線比例線段基本模型

求線段比，沒(méi)有平行線,，需要添加平行線構(gòu)造基本模型,。

本題蘊(yùn)含著多種幾何模型，在解答過(guò)程中又不局限于一種方法,，是一道立足課本知識(shí)的好題

01

求反比例函數(shù)關(guān)鍵是點(diǎn)B的坐標(biāo)

利用好坐標(biāo)軸作垂線，旋轉(zhuǎn)90°,，構(gòu)造直角三角形,，一線三等角相似，是基本方法

02

已知面積求點(diǎn),，注意距離到坐標(biāo)轉(zhuǎn)化,，兩解,。

∴C1（-1，3）或C2（1,，-3）

∴y=-3x

斜A相似的轉(zhuǎn)化

03

觀察,，OEF與OED斜A相似，但OEF的三邊長(zhǎng)度均不知,，無(wú)法求出點(diǎn)E,。由點(diǎn)E的坐標(biāo)，借助等角考慮相似的轉(zhuǎn)化,。

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸,，垂足點(diǎn)H。

方法類似,，相似轉(zhuǎn)化

本題以圖形運(yùn)動(dòng)為背景,，借助旋轉(zhuǎn)和放縮構(gòu)建相似三角形基本模型,，在相似求點(diǎn)坐標(biāo)中深含著轉(zhuǎn)化思想，從條件的不可能完成任務(wù)借助點(diǎn)坐標(biāo)的特性,，轉(zhuǎn)換為新的相似三角形解決問(wèn)題,，不愧是一道考查學(xué)生基本能力的好題。

總結(jié):本題看上去圖形很簡(jiǎn)單,，方法很單一,，但仔細(xì)做下卻有多種方法，且對(duì)現(xiàn)階段方面面知識(shí)點(diǎn)覆蓋的非常全面,，甚至覆蓋七八年級(jí)幾何內(nèi)容,，不僅注重知識(shí)的考查，更注重能力的培養(yǎng),，源于課本題目但對(duì)題目做了一個(gè)很好的改變,，和今年中考數(shù)學(xué)的命題思想一致，穩(wěn)中有變,，變中有形,，形中藏意，意中注能,，其中多處蘊(yùn)含的基本圖形和基本方法不僅適用于九年級(jí)現(xiàn)階段更可延續(xù)到中考復(fù)習(xí)中,，不愧是一張和中考媲美的試卷