文章: betterexplained.com/articles/matrix-multiplication/
譯者: Alex    校對: 向海飛     版面: 公理

曼德爾布羅特集由迭代產(chǎn)生,，而迭代就是不斷重復(fù)某個過程,。在數(shù)學(xué)上，該過程往往是指計算某個數(shù)學(xué)函數(shù),。就曼德爾布羅特集而言,，被迭代的是一些最簡單的函數(shù)：它們?nèi)际撬^的二次多項式，其形如 f(x) = x2 + c,，其中 c 為常量,。迭代前會給常量 c 賦值。

迭代由初值開始,，即 x0,。將 x0 代入 x02 + c 得到一個新數(shù) 

前次計算結(jié)果作為下次迭代的輸入，即：

如此類推,。迭代生成的數(shù)值序列 x0, x1, x2,...是 x0 通過 x2 + c 迭代而產(chǎn)生的軌跡,。

迭代函數(shù)理論源于現(xiàn)實問題,。種群增長的建模就是個例子。種群的當(dāng)前規(guī)模決定了一個繁殖周期之后的規(guī)模,。因此,，種群增長的數(shù)學(xué)模型可以用一個包含自變量 x 的函數(shù)進行描述。x 代表當(dāng)前種群規(guī)模,，f(x) 代表一個繁殖周期后的期望種群規(guī)模,。要想算出多個繁殖周期后的種群規(guī)模，就需要迭代該函數(shù),。順便提一句,，標準種群增長模型中使用的迭代函數(shù)與本文即將討論的二次多項式極為相似。由此,，生活實踐引發(fā)了人們對迭代理論的研究,。

這引出了迭代理論涉及的重要問題之一：典型迭代軌跡的運動趨勢如何？收斂還是發(fā)散,？周期循環(huán)還是毫無規(guī)律可言,？曼德博集合對此問題做了圖形式的解答。                    

從一些例子開始,。從常量 c = 1 開始考察,。如果初值 x0 = 0，則迭代軌跡如下：

可以看出,，軌跡上的點值逐漸增大 — 軌跡趨于無窮大,。

另一個例子，設(shè)常量 c = 0,。此時初值 0 的迭代軌跡大不相同 — 迭代軌跡上的點值保持不變,。

如果假設(shè)常量c = -1，則軌跡有新的變化,。初值0的迭代軌跡是：

可以看出,，軌跡上的點值在 0 與 -1 之間波動。軌跡成為一個周期為 2 的循環(huán),。

要看清迭代軌跡的運動趨勢,，最好借助圖形：軌跡時序圖給出了其趨勢的更多信息。下圖分別展示了 x2 + c 在 c=-1.1,-1.3,-1.38 和 -1.9 四種情況下的時間序列,。圖中均取初值 0,，軌跡上的點用圓點表示，并通過線段將圓點相連,?？梢钥闯觯壽E運動趨勢隨常量 c 變化,。當(dāng) c=-1.1 時,，軌跡趨近于一個周期為2的循環(huán),。當(dāng) c=-1.3 時，軌跡趨向于一個周期為 4 的循環(huán),。當(dāng) c=-1.38 時,，軌跡趨近于一個周期為 8 的循環(huán)。當(dāng) c=-1.9 時,，軌跡已無明顯規(guī)律,。數(shù)學(xué)上稱此現(xiàn)象為混沌。

從下面動畫觀察常量c，就可以看到其他的時間序列圖：

顯而易見：當(dāng)初始值 x0 = 0 時，迭代函數(shù) x2 + c 的值要么越來越大,，軌跡趨于無窮大,，要么不趨于無窮大。當(dāng)軌跡不趨于無窮大時,，其有各式各樣的運動趨勢，它可以固定不變,，可以周期循環(huán),，甚至雜亂無章。但是迭代軌跡基本上都遵循二分規(guī)律：要么趨于無窮大,，要么不趨于無窮大,。曼德博集合準確地描繪了這種二分現(xiàn)象，以獨特的方式記錄初始值為 0 時迭代函數(shù) x2 + c 的軌跡運動趨勢：常量 c 被以圖形的方式描述,，并依據(jù)軌跡運動趨勢賦予不同顏色,。

曼德博集合描繪的是平面上的圖形，還是數(shù)軸上的點（目前所討論的常量 c 均在數(shù)軸上）,？事實上,，常量c不僅可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù),。若對復(fù)數(shù)不了解,，請閱讀此簡介。

1　 日本的1LDK 指一室一廳一廚的房型,。L 代表起居室（Living Room ）,， D 代表餐廳（Dining Room）,， K 代表廚房（Kitchen）?！g者注

當(dāng) x2 + c 中的常量 c 取復(fù)數(shù)時,，我們來看看迭代情況：設(shè) c=i, 則 x0 = 0 在 x2 + i 下的迭代軌跡：

軌跡最終以 2 為周期進行循環(huán)。如果取 c=2i, 則軌跡大不相同,。

軌跡在復(fù)平面內(nèi)趨于無窮大（軌跡上的點離原點(0,0)越來越遠）,。再次得到相同的結(jié)論：當(dāng)初始值 x0 = 0 時，x2 + c 的迭代軌跡要么趨于無窮大,，要么不趨于無窮大,。

曼德博集合引入了幾何學(xué)的概念，其準確定義為：

曼德博集合由所有滿足一定條件的（復(fù)數(shù)）c 組成：復(fù)數(shù) c 使得從初值 0 開始通過 x2 + c 迭代產(chǎn)生的軌跡不趨于無窮大,。

上圖中黑色區(qū)域即為曼德博集合,。曼德博集合關(guān)于 x 軸對稱，它與 x 軸的交集位于區(qū)間 -2 到 1/4 之內(nèi),。x 軸上的原點位于主心形內(nèi),，-1 點位于主心形左側(cè)的球形內(nèi)。

通過之前的計算我們知道了,，c = 0, -1, -1.1, -1.3, -1.38, 以及 i 均屬于曼德博集合,，但是 c = 1 和 c = 2i 卻不屬于此集。曼德博集合得名于數(shù)學(xué)家本華·曼德爾布羅特(Beno?t Mandelbrot),，他于1980年率先開始了相關(guān)研究,。下圖展示了曼德博集合迷人的復(fù)雜之美。

至此,，自然有人疑問：為何要關(guān)注 x2 + c 從 0 開始的迭代軌跡,？為何不從初值 i 或2 + 3i 開始迭代？或是其他某個值開始,？其實,，取初始值 x0 = 0 是有充分理由的，因為初值 0 的 x2 + c 迭代軌跡極具代表性,，包含了所有其他初值下的軌跡信息,。了解更多信息，請查下文《揭秘曼德博集合》,。

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