傅里葉級數(shù)讓我們知道了,，原來周期性函數(shù)是可以通過正弦函數(shù)的累加完成的,。我們在此之前是不是壓根就沒這樣想過啊,？所以說數(shù)學(xué)家們的世界我們不懂,。

看一看三棱鏡的色散現(xiàn)象，我們發(fā)現(xiàn)自然界這種分分合合的現(xiàn)象也是普遍存在的,。

白色光=紅+橙+黃+綠+青+藍(lán)+紫,；

到這里我們自然不經(jīng)會問，周期現(xiàn)象很常見,，那么如果非周期呢,？

傅里葉級數(shù)的變化

根據(jù)傅里葉級數(shù)的定義，周期函數(shù)f(t)可由三角函數(shù)的線性組合來表示,，其中函數(shù)f(t)周期為T,，角頻率為w，頻率為f,，傅里葉級數(shù)表達(dá)式可以寫成：

非周期信號可以看成周期為無窮大的周期信號,。我們把非周期信號的傅里葉分析方法叫做傅里葉變換,。

當(dāng)周期函數(shù)的周期T逐漸趨向無窮大之時，由于ω=2π/T,，周期信號的頻譜是離散的,，離散間隔為ω。所以當(dāng)T趨向無窮大之時,，ω趨向于0,，離散間隔逐漸變?yōu)?，頻譜變?yōu)檫B續(xù)譜,。

傅里葉變換就這樣得到了！

但是由于傅里葉系數(shù)的公式中都有1/T*（…）,，當(dāng)T趨向無窮大之時，系數(shù)也趨向0了,。所以傅里葉系數(shù)也逐漸趨向無窮小,，由公式可知，每個F(nω)趨向無窮小,。

這樣看來，各個頻率幅值均為0,，這樣是不是感覺沒什么可分析的了,？

既然都為0了，我們也可以洗洗睡了,。

然而數(shù)學(xué)告訴我們,，無數(shù)的無窮小量加起來，未必是無窮小啊,。再說了,，常識告訴我們，當(dāng)周期為無窮大時,，頻譜不可能平白無故的消失的,。況且如果把這些函數(shù)看成是熱量、能量,，也不會因?yàn)槲覀儞Q個角度看,，能量就平白無故的消失,。

所以，數(shù)學(xué)家們說：“肯定是我們的打開方式出現(xiàn)問題了,，我們表達(dá)的方式不對,，我們得換一種方式”

既然頻譜幅值都為0，那么我們就像學(xué)概率一樣,，我們也搞一個頻譜密度,，弄一個密度函數(shù)哈！

從上圖中,，我們可以看出,，當(dāng)脈沖信號的周期T不斷變大的時候，頻譜寬度逐步變窄,。這個時候我們畫出F(nw)/w的頻譜密度函數(shù),。圖中紅色長方形，寬度為w,，長度為F(nw)/w,，面積為F(nw)。

說白了，T趨向無窮大時候,，F(xiàn)(nw)趨向0,，w趨向0，但F(nw)/w不一定是0哦,。

按照這個思路,，我們進(jìn)行一番推導(dǎo)：

OK,，問題解決了,，通過頻譜密度函數(shù)，我們得到了非周期信號的頻譜,。

傅里葉變換

如果你很感興趣證明過程,，請自己動手，或者私信我溝通交流,。這里給出傅里葉變換公式：

通常，周期信號叫做功率信號，非周期信號叫做能量信號,。能量信號的頻譜密度通過傅里葉變換求得,； 能量信號的頻譜密度和功率信號的頻譜主要區(qū)別有

1. 連續(xù)譜，還是離散譜,；
2. 單位是幅度/頻率,，還是幅度；
3. 能量信號的能量有限,，并連續(xù)的分布在頻率軸上,，每個頻率點(diǎn)上的信號幅度是無窮小的，只有dw上才有確定的非0振幅,； 功率信號的功率有限,，但能量無限，它在無限多的離散頻率點(diǎn)上有確定的非0振幅,。

從我們發(fā)現(xiàn)可以用不同頻率的正弦函數(shù)疊加，表達(dá)周期函數(shù)開始,，非周期函數(shù)的表達(dá)方式自然而然就會是我們探索的一個方向,。周期函數(shù)的頻譜為間隔為w的離散譜，當(dāng)周期函數(shù)的周期T變大時,，自然w=2π/T就會不斷的減少,，最后形成連續(xù)的譜線。這是一個很自然的過程,，當(dāng)然啦,，如果你需要嚴(yán)格的證明，那么需要動動腦哦,。