一.  概述

1.   試驗設(shè)計所要研究和解決的問題：

如何以盡可能少的試驗次數(shù)獲得足夠有效的數(shù)據(jù)，并分析得出比較可靠的結(jié)論,。

2.   20世紀20年代由英國R.A.Fisher等人最早提出試驗設(shè)計技術(shù)，并首先應(yīng)用于農(nóng)業(yè),，以后逐漸被應(yīng)用于生物學,、遺傳學等方面。1935年,，R.A.Fisher的專著《試驗設(shè)計》的出版標志著一門新的學科的誕生,。20世紀30、40年代,，該方法在歐美盛行,，應(yīng)用到工業(yè)領(lǐng)域。二次大戰(zhàn)后,，該方法在日本得到進一步的發(fā)展和應(yīng)用,，特別是以田口玄一為首的一批人員，將試驗設(shè)計方法應(yīng)用于改進產(chǎn)品和系統(tǒng)的質(zhì)量,，成為戰(zhàn)后推動質(zhì)量管理的重要工具之一,。

3.   質(zhì)量管理中，經(jīng)常會遇到多因素,、有誤差,、周期長的一類試驗，希望通過試驗解決以下幾個問題：

1）  對質(zhì)量指標的影響,，哪些因素重要,，哪些因素不重要？

2）  每個因素取什么水平為好,？

3）  各個因素按什么樣的水平搭配起來使指標較好,？

實踐證明,，正交試驗設(shè)計是處理這類試驗問題的一種簡便易行、行之有效的方法,。

4.    田口方法介紹,。產(chǎn)品質(zhì)量的形成貫穿于產(chǎn)品壽命周期的全過程，包括設(shè)計,、制造和使用過程,。田口博士提出產(chǎn)品的三次設(shè)計思想：系統(tǒng)設(shè)計、參數(shù)設(shè)計和容差設(shè)計,。同時,，他將正交試驗設(shè)計方法應(yīng)用于產(chǎn)品研制階段對參數(shù)的合理選擇，為提高產(chǎn)品的設(shè)計質(zhì)量提供了一套理論和方法,。

二.正交試驗設(shè)計的基本方法

1.     正交表

正交表是一種規(guī)格化的表格,，各種各樣的正交表都已構(gòu)造出來了，對于解決實際問題的應(yīng)用來說,，只要掌握正交表的應(yīng)用方法就達到目的了,。

正交表

上圖是一張正交表，有4列,，每列的數(shù)字代表水平符號,；有9行，每一行的水平組合代表一個試驗條件,。這張表簡記為L₉(3⁴),。L表示正交表，下標9表示試驗次數(shù),，3⁴表示應(yīng)用這個表最多可以安排3水平4因子的試驗,。

這張表的性質(zhì)（整齊可比性性質(zhì)，或稱正交性性質(zhì)）：

1）在任意一列中,，各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同,，即水平1、2,、3出現(xiàn)的次數(shù)相同,；

2）對任意列的任一水平，其他列的水平1,、2,、3與之在同行上相遇的次數(shù)相同?；蛘哒f,，任意兩列同行上水平組合的有序數(shù)對11、12,、13,、21,、22、23,、31,、32、33出現(xiàn)的系數(shù)相同,。

正是由于這些性質(zhì),，才有可能使試驗次數(shù)減少。如對于4因子3水平的試驗,，所有可能的全面搭配試驗要做3⁴=81,，而使用正交表只需要9次試驗即可。從總體看,，只做了部分試驗,，但由第二條性質(zhì)可知，對于任意兩個因子來說是全面搭配試驗,，這樣仍可能進行比較,。

            一般來說，凡是正交表都具有上述兩個性質(zhì),。在一張正交表里,，行與行或列與列之間交換，不改變正交表的上述兩個性質(zhì),。

            常用的正交表有L₄(2³)，L₈(2⁷),，L₁₆(2¹⁵),，L₉(3⁴)，L₂₇(3¹³),，L₁₆(4⁵),，

L₁₈(2×3⁷)等等。其中如L₁₈(2×3⁷)形式的表稱為混合型正交表,，這張表可以安排1因子2水平和7因子3水平的試驗,。如果所考慮的問題有n個因子，每個因子取2水平,，則稱此問題為2ⁿ因子試驗問題,；如果所考慮的問題有n個因子，每個因子取3水平,，則稱此問題為3ⁿ因子試驗問題,；如果所考慮的問題有n+m個因子，其中n個因子取2水平,，m個因子取3水平,，則稱此問題為2ⁿ×3ⁿ因子試驗問題,，依此類推。

2.     正交表的應(yīng)用

例子：磁鼓電機是錄象機磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一,。某廠以國外同類產(chǎn)品的水平為依據(jù),，對電機質(zhì)量進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)力矩不合格達43%,，因此,，為了提高電機的輸出力矩，需要進行試驗,。

1）技術(shù)分析

影響輸出力矩的因素為：充磁量,、定位角度、定子線圈匝數(shù),。為討論方便,，把這3個因素分別命名為A、B,、C,，即A、B,、C為因子,。根據(jù)經(jīng)驗，可以確定出各因素的變化范圍為：

A    充磁量（T）：         900×100^-4~1300×10^-4

B    定位角度（rad）：        10×π/180~12×π/180

C    定子線圈匝數(shù)（匝）：   60~100,。

現(xiàn)要進行試驗,，選擇合適的充磁量、定位角度和定子線圈匝數(shù),，以獲得盡可能高的輸出力矩值,。為此，考慮在各因素的變化范圍中取3點進行試驗,。比如

A： A1=900×100^-4,，   A2=1100×100^-4， A3=1300×10^-4

B： B1=10×π/180,，    B2=11×π/180,，    B3=12×π/180

C： C1=70，                C2=80,，                C3=90

至此,，稱A1=900×100^-4為A因子的第1水平，A2=1100×100^-4為A因子的第2水平,，A1=1300×100^-4為A因子的第3水平,。B和C因子依次類推。

2）作出因子水平表

這樣,，該問題已歸結(jié)為3³因子試驗問題,。把所考察的因子及水平列表如下：

因子水平表

3）選擇正交表

因子水平確定后,，選擇適當?shù)恼槐怼τ?³因子試驗問題,，可以選用L₉(3⁴)正交表

這個表有4列,，表頭上有4個位置，可以安排4個因子,。規(guī)定A,、B、C三個因子分別放在正交表的1,、2,、3列，這就叫表頭設(shè)計,。應(yīng)用正交表設(shè)計的試驗方案,，或稱試驗計劃。

4）試驗及結(jié)果

試驗方案及結(jié)果

5）  結(jié)果統(tǒng)計

一種辦法是直接看試驗結(jié)果,。選擇其中較好的作為一個好試驗條件,。這種方法適用于結(jié)果已較滿意，且試驗比較復雜的情況,，可以將好的試驗條件先用于生產(chǎn),。

另一種是統(tǒng)計分析。見下圖：

計算格式

其中,，以A因子為例：

      K1= y1+ y2+ y3=160+215+180=555       A因子1水平的3個試驗結(jié)果之和,；

              K2= y4+ y5+ y6=168+236+190=594        A因子2水平的3個試驗結(jié)果之和；

      K3= y7+ y8+ y9=157+205+140=502       A因子3水平的3個試驗結(jié)果之和,；

              k1= K1/3=555/3=185

              k2= K2/3=594/3=198

      k3= K3/3=502/3=167.3

              R= k[max]- k[min]= k2- k3=198-167.3=30.7  稱為極差

對于B,、C因子，依次類推,。

6）  結(jié)果分析

l  因子的主次關(guān)系：

根據(jù)極差R的大小，判斷各因素對試驗結(jié)果影響的大小,。

判斷的原則是：凡是R越大,，所對應(yīng)的因子越重要。由圖表可見,，第二列的極差最大,，為57.0，所以B因子（定位角度）對試驗結(jié)果的影響是最主要的,。

根據(jù)圖表可知,，影響度依次為B（定位角度）→A（充磁量）→C（定子線圈匝數(shù)）。

l  較優(yōu)水平組合：

根據(jù)k1,、k2,、k3值的大小來確定A,、B、C各因子取決于哪個水平好,。

確定的原則根據(jù)對指標值的要求而定：如果要求指標值越大越好,，則取最大的k所對應(yīng)的那個水平；如果要求指標值越小越好,，則取最小的k所對應(yīng)的那個水平,。

根據(jù)圖表可知，我們要求輸出力矩越大越好,，則應(yīng)該選擇A2B23,，即得到一個好條件：A2=1100×100^-4T，B2=11×π/180rad,，C3=90匝,。這個條件就是第5號試驗。如該例比較簡單,，光從結(jié)果也能判斷出第5號試驗的結(jié)果最好,。

另外，由于L₉(3⁴)正交表的第4列未使用,，但是計算出的極差可以對試驗誤差進行粗略的估計,。

三.幾個問題的補充說明

1.正交試驗設(shè)計的基本步驟：

①    分析問題，明確試驗設(shè)計的目的,；

②    確定因子水平數(shù),；

③    選正交表，進行表頭設(shè)計,；

④    制訂試驗計劃表,；

⑤    進行試驗，測定試驗結(jié)果,；

⑥    對試驗結(jié)果進行統(tǒng)計分析,，得出因子的主次關(guān)系和較優(yōu)水平組合。

2.在實際應(yīng)用中可能遇到的情況：

①  在例子中,，第5號試驗的結(jié)果最好,，這從結(jié)果選擇和分析中都得到了印證，是一致的,。但是,，有時分析得到的可能的好組合在首批試驗中未出現(xiàn)，這時就要作補充試驗,，加以驗證,。如果驗證的結(jié)果確有明顯的提高，則它往往是所有組合中最好的組合，可先用于生產(chǎn),；但如果驗證的結(jié)果與實際有明顯的差異,，則表明問題比較復雜，可能還有潛力可挖,。一般可能是沒有考慮到因素間的交互作用或試驗誤差較大引起的,。這時，應(yīng)該以試驗中的最好者,、次好者為基本依據(jù),，并找出試驗誤差較大的原因所在，加以克服,，或進一步安排考察交互作用的試驗,。

②  在確定較優(yōu)水平組合時，對于影響不明顯的次要因素,，取哪一個水平好,，還要結(jié)合生產(chǎn)實際情況綜合考慮。比如,，為了有利于提高效率,、降低消耗等目的，不一定取最大（或最?。┑膋所對應(yīng)的那個水平,，而可以取次大（或次小）的k 所對應(yīng)的水平,，甚至取最?。ɑ蜃畲螅┑膋所對應(yīng)的水平。

③  通過第一批試驗,，已得到一個好條件,。有時，還希望繼續(xù)做試驗,，以尋找更好的條件,。這時，應(yīng)在第一批試驗獲得的信息的基礎(chǔ)上,，以第一批試驗中得到的好條件為依據(jù),，設(shè)計第二批試驗。

④  當試驗結(jié)果的有效位數(shù)較多時,，計算比較麻煩，可以對結(jié)果進行簡化處理,，如各個試驗結(jié)果同時減去一個數(shù),，并不影響分析的結(jié)論。

四.因素之間的交互作用

1.     交互作用的概念：

前面僅考察各個因素的單獨作用,，未考慮到因素之間的相互關(guān)系,。實際上,，在很多情況下，不但各個因素單獨起作用,，而且因素之間會聯(lián)合起來影響試驗結(jié)果的變化,，這種作用稱為因素之間的交互作用。因素A和B的交互作用記為A×B,。

例子：某試驗小組希望通過試驗來考慮氮肥N和磷肥P對某農(nóng)作物產(chǎn)量的影響,，為此，選擇了土地情況大致相同的4塊試驗田進行試驗,。試驗的方法和結(jié)果如下表：

不施氮肥,、磷肥時，平均畝產(chǎn)150kg,；

只施4kg氮肥,，不施磷肥時，平均畝產(chǎn)增加30kg,；

只施3kg磷肥,，不施氮肥時，平均畝產(chǎn)增加40kg,；

兩種肥料同時施放時,，平均畝產(chǎn)增加100kg。這里可以知道,，這增加的100kg中,，由氮肥單獨作用的30kg和磷肥單獨作用的40kg，所以剩下的30kg是它們聯(lián)合產(chǎn)生的作用,。

正交試驗設(shè)計中,，把這個值的一半稱為N和P的交互作用，即N×P=1/2*30=15kg,。

不難理解,，兩個因素的交互作用好象是在這兩個因素的單獨作用之外的一個“假設(shè)的因素”的作用，但它沒有“水平”的選擇,，其作用的大小完全取決于前兩個因素及其水平的搭配,。

在正交試驗設(shè)計時，要將“交互作用”當作一個假設(shè)因子放在表頭上,，而且位置不是隨意的,。這需要應(yīng)用正交表的兩列間的交互作用表。

2.     應(yīng)用示例：

提高某種藥品得率的試驗,。所考察的因子及水平如表所示：

因子水平

這是2水平4因子的試驗,，根據(jù)經(jīng)驗，D因子與A、B,、C因子之間無交互作用,，希望考察交互作用A×B、A×C,、B×C,，這是3個“假想”的因子，這樣,，相當于有7個因子的試驗,。可以選用L₈(2⁷)表安排這個試驗,，見下表：

L₈(2⁷)正交表

在表頭設(shè)計時,，還需要用L₈(2⁷)表的兩列間交互作用表，見下表：

L₈(2⁷)兩列間的交互作用表

現(xiàn)在進行表頭設(shè)計,。把因子A,、B分別放在L₈(2⁷)的1、2列,?？疾霢、B因子的交互作用A×B,，在正交交互表上的列號（1）往右看,，列號2垂直往下看，交叉處數(shù)字是（3）,，因此第3列不能安排其他因子,，應(yīng)放A×B。那么將因子C放在第4列,。再考慮交互作用A×C,，在交互表上的列號（1）往右看，列號4垂直往下看,，交叉處數(shù)字是（5）,，因此第5列不能安排其他因子，應(yīng)放A×C,。再考慮交互作用B×C,，在交互表上的列號（2）往右看，列號4垂直往下看,，交叉處數(shù)字是（6）,，因此第6列不能安排其他因子，應(yīng)放B×C,。最后將因子D放在第7列上,。這樣就得到表頭設(shè)計如下：

表頭設(shè)計

然后進行試驗,，得到結(jié)果如下表：

試驗結(jié)果及計算格式

其中，R=(K[max]-K[min])/4,當然不除4也不影響分析的結(jié)論,。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以得出兩個結(jié)論：

①  因素的主次關(guān)系,。從極差可以看出,，第4列的極差最大，所以對應(yīng)的C因子是最主要的,；其次是A×B,；再其次是B、A,。而B×C,、B×C和D因子對應(yīng)的極差相對于其他因子而言都比較小，可以認為主要是誤差引起的,。所以因子的主次關(guān)系為：C→A×B→B→A,。

②  較優(yōu)水平組合。一般來說,，應(yīng)按因素的主次排列順序從左往右逐一確定,。

l 這里，C因子最主要,，而指標值要求越大越好,，所以C取C2比C1得率高。

l 排在第二位的是交互作用A×B,，因交互作用無實際水平而言,，所以說取哪個水平好沒有實際意義，應(yīng)該說取哪種搭配水平好,，不能按K1,、K2值的大小來確定。對于2因子2水平的情形,，所有可能的搭配有4種,，在8次試驗中，每種搭配都重復了2次試驗,，根據(jù)正交表的綜合可比性,，可以估計出這4種搭配下試驗結(jié)果的平均值，其中最大值所對應(yīng)的水平搭配就是最好的水平搭配,。具體的計算格式與結(jié)果,，見下圖：

二元分析表

可見，A2B1是最好的搭配,。

l  對于排列第3位的B,，由K1,、K2的比較知道，取B1好,。

l  對于排列第4位的A,，由K1、K2的比較知道,，取A1好,。

由此，  因素的主次關(guān)系是：C→A×B→B→A

較優(yōu)水平或搭配：C2  A2B1   B1  A1

對與A取何種水平出現(xiàn)了矛盾,，從主次關(guān)系考慮,，應(yīng)該取A2。從K1,、K2比較,，D不妨取D2。

最終確定：A2B1C2D2

      注意：若有些矛盾難以直接看出,，可能需要進一步的分析,。

3.     幾個問題的進一步說明

①    在考慮交互作用的問題里，表頭設(shè)計需要遵循一個原則：表頭上每一列最多只能安排一個內(nèi)容,，不允許出現(xiàn)同一列安排兩個或兩個以上內(nèi)容的混雜現(xiàn)象,。要避免混雜，要選擇適當?shù)恼槐?，也需要?jīng)驗,。表選大了，需要的試驗就多,；表選小了,，難以避免混雜。一般說來,，所選正交表的自由度必須大于要考察的因子及交互作用的自由度之和,。關(guān)于自由度：正交表的總自由度f_總=試驗次數(shù)-1；正交表每列的自由度f_列=該列水平數(shù)-1,。因子A的自由度f_A=因子A的水平數(shù)-1,；因子A、B間交互作用的自由度f_A×B =因子A的自由度×因子B的自由度=f_A×f_B,。

例如：A,、B、C,、D為二水平因子,，且要考慮A×B、A×C

可知f_A=因子A的水平數(shù)-1=1,，所以f_A=f_B= f_C= f_D=2-1=1,，f_A×B = f_A×C =1,，則f_總=6，所以試驗次數(shù)應(yīng)該≥7,，可以選L₈(2⁷),。但是這是必要條件，而非充分條件,?？赡苓€是難以避免混雜，可以再取大的表,。

②    要解決既避免混雜，又要試驗次數(shù)盡可能少的矛盾,，需要在實際應(yīng)用中靈活地考慮處理問題,。在明確了試驗要考察的因子及水平后，必須根據(jù)經(jīng)驗判斷剔除不存在的或可以忽略的交互作用,。明確哪些交互作用要著重考察,，哪些是希望在不增加試驗次數(shù)的情況下能盡量照顧考察。這樣在表頭設(shè)計時,，可以首先安排著重考察的交互作用的那些因子,。

③    上面討論的交互作用，是指兩個因子之間的交互作用,，稱為一級交互作用,。在某些情況下，還存在著3個或3個以上因子間的交互作用,，稱為高級交互作用,，以因子的連乘表示。如A×B×C就是2級交互作用,，它可以用正交表的某一列來計算,，這里不再展開。

另外,，實踐證明,，絕大多數(shù)高級交互作用是可以忽略的，而大部分的一級交互作用也是可以忽略的,。

測驗：

給出下列試驗的表頭設(shè)計：

（1）A,、B、C,、D為二水平因子,，且要考慮交互作用A×B、B×C,；

（2）A,、B,、C、D為二水平因子,，且要考慮交互作用A×B,、C×D

第一題使用L₈(2⁷)，給出表頭設(shè)計,。

表頭設(shè)計

第二題也可以使用L₈(2⁷)嗎,？為什么？

素材：

L₈(2⁷)兩列間的交互作用表