為了上“平行四邊形的面積”這節(jié)課,，我在不同層次的學(xué)校,、班級(jí)做前測(cè)。測(cè)試題很簡(jiǎn)單,，紙上印了一個(gè)平行四邊形（沒(méi)畫出高）,，問(wèn)題一是請(qǐng)學(xué)生自己想辦法求出它的面積，問(wèn)題二是說(shuō)明為什么這樣做,。

絕大部分學(xué)生拿到紙,，略一想，馬上就測(cè)量了平行四邊形的一組鄰邊，然后相乘計(jì)算,。寫的想法,，要么是“因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)乘寬，所以平行四邊形的面積也是長(zhǎng)乘寬”（將一組鄰邊叫成了長(zhǎng)和寬）,，要么是“這個(gè)平行四邊形可以拉動(dòng)變形為長(zhǎng)方形,，所以這兩條邊乘一下就可以了”。

學(xué)生有如此的思維定勢(shì),，我該如何應(yīng)對(duì)呢,？

也有一些學(xué)生，畫出了高并測(cè)量長(zhǎng)度,，然后用“底乘高”來(lái)計(jì)算,。這些學(xué)生還可以用示意圖將原理（即割補(bǔ)）清晰地表示出來(lái)。對(duì)這些學(xué)生做進(jìn)一步了解,，發(fā)現(xiàn)他們之所以知道方法,，有的是因?yàn)樵诮滩纳弦?jiàn)過(guò)這樣的示意圖，有的是因?yàn)榧议L(zhǎng),、興趣組教師曾經(jīng)教過(guò),。

那么，既然有學(xué)生已經(jīng)知道了,，我的教學(xué)又該如何導(dǎo)入呢,？

更為有趣的是，一些原本是用“鄰邊相乘”來(lái)計(jì)算的學(xué)生,，當(dāng)無(wú)意中瞅了同桌一眼,，看到同桌居然畫了一條高，先是一怔,，驀然又大悟,，馬上就寫出了正確的式子。

這不禁讓我思考,，平行四邊形“割補(bǔ)”轉(zhuǎn)化的思想,，如此一點(diǎn)就穿的“難點(diǎn)”，我該怎樣處理,，才能讓學(xué)生充分地經(jīng)歷并深刻地感悟呢,？

如上的測(cè)試過(guò)程與結(jié)果，暴露出學(xué)生真實(shí)的思維狀況,，也帶給我教學(xué)的思考和靈感,。于是，我設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)過(guò)程,。

（呈現(xiàn)帶給學(xué)生的“禮物”——兩張彩色紙片,，一是長(zhǎng)方形,，二是平行四邊形。）

師：請(qǐng)你觀察屏幕,，比一比,，哪個(gè)圖形的面積大？（學(xué)生猜測(cè),，意見(jiàn)不一,。教師請(qǐng)學(xué)生拿起這兩張紙片對(duì)比，學(xué)生比后,，還是不能統(tǒng)一意見(jiàn),。）

師：我們?cè)鯓硬拍鼙瘸鏊鼈兊拿娣e呢？

生：量一量,，算一算它們的面積就知道了,。

師：請(qǐng)大家自己量取所需要的數(shù)據(jù)，計(jì)算出它們的面積,。

【設(shè)計(jì)意圖】解決問(wèn)題的愿望,，是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生需求的驅(qū)動(dòng)力。用兩張彩色的紙片讓學(xué)生比較大小,，當(dāng)他們通過(guò)觀察重疊無(wú)法解決時(shí),，就自然地產(chǎn)生了計(jì)算圖形面積的需求。

1.學(xué)生嘗試,，展現(xiàn)學(xué)情,。

（1）學(xué)生各自測(cè)量了所需的數(shù)據(jù)，在自備本上進(jìn)行計(jì)算,，教師巡視,。

（2）反饋,。

師：請(qǐng)同學(xué)們匯報(bào)一下,，你量了什么，怎么算的,？

生1：我量了長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,，分別是6厘米和4厘米，6×4=24平方厘米,。

生2：我量了平行四邊形的底和斜邊,，分別是7厘米和5厘米，7×5=35平方厘米,。

（根據(jù)生1和生2的回答,，教師標(biāo)注數(shù)據(jù)，板書算式,，并指出平行四邊形的底和斜邊一般叫做底和鄰邊,，因此計(jì)算方法為“底×鄰邊”。）

師：這樣做的同學(xué)，請(qǐng)你們說(shuō)說(shuō)想法,？

生：平行四邊形可拉動(dòng)變形為長(zhǎng)方形,，長(zhǎng)方形的面積是“長(zhǎng)乘寬”，因此,，平行四邊形的面積就是“底×鄰邊”,。

（教師以實(shí)物框架貼在黑板的平行四邊形圖片上演示，讓學(xué)生看到這個(gè)變化的過(guò)程,。很多學(xué)生都認(rèn)為,，7和5沒(méi)變，所以面積可以用7×5來(lái)計(jì)算,。但此時(shí),，有部分學(xué)生表示不同意這樣的方法。）

生：我是量了平行四邊形的底和高,，底是7厘米,，高是3厘米，計(jì)算方法為“底×高”,，因此面積是7×3=21平方厘米,。

（教師和學(xué)生合作，在貼圖上畫出高,，標(biāo)注出數(shù)據(jù),，板書算式，得出計(jì)算方法為“底×高”,。）

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生的已有認(rèn)知可能是錯(cuò)誤的,，但這卻是寶貴的，因?yàn)樗麄円呀?jīng)在用自己的能力嘗試解決新問(wèn)題,。給學(xué)生這樣的機(jī)會(huì),，既能讓學(xué)生“展現(xiàn)”自己，又能給新知探究提供可研究的材料,，這正是教學(xué)的啟航點(diǎn),。

2.激發(fā)疑問(wèn)，初步解決,。

（1）師：現(xiàn)在我們有兩個(gè)答案,，35和21。那么,，到底哪個(gè)答案對(duì),？實(shí)際上，要知道它的面積,，有一種最原始但也是最有效的方法,。

（教師課件呈現(xiàn)方格圖,，然后移入平行四邊形。告知學(xué)生每一個(gè)方格代表1cm2,，只要數(shù)出這個(gè)平行四邊形里包含了幾個(gè)小方格,，它的面積就是多少平方厘米。）

（2）學(xué)生利用練習(xí)紙（預(yù)先下發(fā),，每人一張）,，獨(dú)立數(shù)面積。

（3）反饋數(shù)法,。（利用實(shí)物展臺(tái)）

生1：我是先數(shù)出完整的,，有15格，再將那些不完整的小格一個(gè)個(gè)拼一下,，一共是21格,，就是21平方厘米。（學(xué)生的數(shù)法呈現(xiàn)在展臺(tái)上,，如下圖左,。有些學(xué)生認(rèn)可，有些學(xué)生表示還有更好的數(shù)法,。教師再請(qǐng)學(xué)生展示,。）

生2：我是將左邊的三角形整體移到右邊，這樣數(shù)起來(lái)更容易了,。每行7格,，有3行，共21格,。（如下圖右）

（教師運(yùn)用多媒體演示,，更清晰地展現(xiàn)這種想法，師生共同得出：整體移一下以后,，得到的都是完整的方格,，很方便地?cái)?shù)出來(lái)了平行四邊形包含7×3個(gè)面積單位。）

（4）得出結(jié)論：面積是21平方厘米,，比長(zhǎng)方形小,。

【設(shè)計(jì)意圖】引進(jìn)小方格的目的，并不只是為了數(shù)出平行四邊形的面積,，更重要的是想借助學(xué)生不同數(shù)法的反饋，尤其是第二種數(shù)法,，讓學(xué)生感受到,，只有將圖形如此變形，我們才能夠方便地看出一個(gè)圖形里包含了幾個(gè)面積單位,，計(jì)算才能變得簡(jiǎn)單和熟悉,。事實(shí)上,，這就是平行四邊形的面積為何要用“割補(bǔ)”轉(zhuǎn)化的理論基礎(chǔ)。

3.深入探究,，理解原理,。

（1）師：現(xiàn)在看來(lái)，平行四邊形的面積用“底×高”來(lái)計(jì)算可能是對(duì)的,。那么,，我們來(lái)深入想一想，平行四邊形的面積用“底×高”來(lái)計(jì)算,，到底有什么道理呢,？

（2）引導(dǎo)學(xué)生先自主思考，再同桌交流,。

（3）反饋,。

生：因?yàn)榘哑叫兴倪呅窝刂呒粝乱粋€(gè)三角形來(lái)，拼到另一邊,，就可以變成一個(gè)長(zhǎng)方形,。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬就是平行四邊形的高,，它們的面積是一樣的……

（教師利用黑板上的圖,，請(qǐng)學(xué)生上前剪拼，告知這叫“轉(zhuǎn)化”,，并引導(dǎo)學(xué)生理解這些聯(lián)系,，最后得出“底×高”，實(shí)際上就是“長(zhǎng)×寬”,，算的是剪拼后的長(zhǎng)方形的面積,，也就是原來(lái)平行四邊形的面積。這樣的想法實(shí)際上就是剛才數(shù)小方格的方法,，所以“底×高”的算法是有道理的,。）

師：用轉(zhuǎn)化的方法，我們可以把沒(méi)學(xué)過(guò)的知識(shí)變成已學(xué)過(guò)的知識(shí),，從而解決問(wèn)題,，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法。

（4）師：那么,，前面把平行四邊形拉成長(zhǎng)方形,，也是轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，怎么就不對(duì)呢？

生2：拉成長(zhǎng)方形后，面積比平行四邊形變大了,。

師：怎么會(huì)變大呢？變大的部分在哪里,，你能不能指出來(lái),？（學(xué)生上前指出變大的部分，理解這樣的轉(zhuǎn)化,，“底×鄰邊”,，即7×5算得的面積比平行四邊形大了，面積發(fā)生了變化,，所以不對(duì),。）

師：但是，這個(gè)轉(zhuǎn)化中,，有一樣?xùn)|西也是不變的,，你看得出嗎？

生：周長(zhǎng)是不變的,，因?yàn)閮蓷l鄰邊一直沒(méi)變,。

師：看來(lái)，在運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法時(shí),，我們要想清楚,，轉(zhuǎn)化之后，變的是什么,，不變的是什么,。

（5）小結(jié)。得出公式,，教學(xué)字母表達(dá)式：S=ah,。

【設(shè)計(jì)意圖】平行四邊形的面積為什么是“底×高”，為什么不是“鄰邊相乘”,？同樣是轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形來(lái)思考,，為什么前者是對(duì)的，后者卻又不對(duì)了,？疑問(wèn)的解答,，需要的是觀察、比較,、分析等充滿挑戰(zhàn)性的過(guò)程,，在這樣的過(guò)程中，學(xué)生的思辨能力,、數(shù)學(xué)思想都能得到有益的發(fā)展,。

1.基本練習(xí)。

呈現(xiàn)兩個(gè)平行四邊形,，要求學(xué)生自己列式計(jì)算,。

反饋答案時(shí)，還請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)“你想到了什么圖形”,，進(jìn)一步鞏固平行四邊形和它轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的關(guān)系,，進(jìn)一步感受計(jì)算公式的內(nèi)涵。

2.變式練習(xí),。

基本練習(xí)中的第二題解決后,，追問(wèn)“它還可轉(zhuǎn)化成怎樣的長(zhǎng)方形？”學(xué)生說(shuō)它可以轉(zhuǎn)化成底是18 厘米,、高是10厘米的長(zhǎng)方形,，教師請(qǐng)學(xué)生說(shuō)理。學(xué)生從另一種剪拼法說(shuō)起,，得到的長(zhǎng)方形面積還是180平方厘米,，用180除以18，寬就是10,。

教師課件呈現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程,，呈現(xiàn)高是10。師生共同得出“只要我們用相對(duì)應(yīng)的底和高,，都可以算出一個(gè)平行四邊形的面積”,。

3.拓展提升。

（1）師：平行四邊形拉動(dòng)可以變成長(zhǎng)方形,，那么,，長(zhǎng)方形拉動(dòng)就可變成平行四邊形。現(xiàn)在有一個(gè)長(zhǎng)10厘米,、寬6厘米的長(zhǎng)方形,，拉動(dòng)它，它會(huì)變成怎樣的平行四邊形,？（課件呈現(xiàn),，學(xué)生觀察想象）

生：底是10厘米，高是6厘米,。（學(xué)生對(duì)高是6 厘米有爭(zhēng)議,，教師先請(qǐng)學(xué)生想象對(duì)錯(cuò)。然后用幾何畫板演示框架的拉動(dòng),，讓學(xué)生通過(guò)直觀比較發(fā)現(xiàn)高肯定小于6 厘米,。繼續(xù)用幾何畫板演示高不斷變小依次得到的幾個(gè)平行四邊形，如下圖,，每步都組織學(xué)生口算面積,。）

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)高不斷變小,，面積也在不斷變小,。平行四邊形的面積和高有著緊密的聯(lián)系。

（2）師：在這個(gè)過(guò)程中,，還有一樣?xùn)|西也一直在變,，你發(fā)現(xiàn)了嗎,？引向鄰邊之間的夾角也一直在變，正因?yàn)榻嵌鹊淖兓?，才引起了面積的變化,。教師告知學(xué)生，將來(lái)用兩條鄰邊的長(zhǎng)度和這個(gè)角度,，也可以計(jì)算平行四邊形的面積,。

一堂傳統(tǒng)老課，經(jīng)過(guò)如上演繹,，顯現(xiàn)出了些許新的亮色——課堂簡(jiǎn)潔,，思辨清晰，學(xué)生思維激活,，教學(xué)效果良好,。反思課堂的成功，我覺(jué)得關(guān)鍵是在“以學(xué)定教,，順學(xué)而導(dǎo)”教學(xué)理念的指引下,，教師努力去“想學(xué)生所想，研教學(xué)之法”,。具體而言,，體現(xiàn)為以下兩點(diǎn)：

1.基于學(xué)生的起點(diǎn)切入教學(xué)。

學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)有邏輯起點(diǎn)和現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)之分,。如本節(jié)課中,，想到“底乘鄰邊”就是學(xué)生應(yīng)有的邏輯起點(diǎn)，但實(shí)際上,，卻有部分學(xué)生知道了“底乘高”,，這說(shuō)明這些學(xué)生已經(jīng)到達(dá)了這樣的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。

僅考慮學(xué)生的邏輯起點(diǎn),，將使得教學(xué)缺乏吸引力和挑戰(zhàn)性,；僅關(guān)注少數(shù)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，教學(xué)也可能會(huì)缺乏適切性和有效性,。根據(jù)對(duì)大量前測(cè)材料的分析,，我發(fā)現(xiàn)常態(tài)下兩者的比例大約是4∶1。

基于此,，我的設(shè)計(jì),，就是想在無(wú)提示的狀態(tài)下讓學(xué)生自主嘗試，將這兩種情況準(zhǔn)確地暴露出來(lái),。這樣的做法,，既凸顯了大部分學(xué)生應(yīng)該具備的認(rèn)知基礎(chǔ)，又照顧了少數(shù)學(xué)生領(lǐng)先于人的知識(shí)狀況。

為了更全面地發(fā)揮教學(xué)起點(diǎn)的價(jià)值——不僅為了引入,，還為了得出課堂研究討論的真實(shí)素材,，更為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，我還在兩種起點(diǎn)呈現(xiàn)的方式上加以區(qū)別：“底乘鄰邊”先反饋,，讓學(xué)生說(shuō)明想法,，教師還運(yùn)用框架加以強(qiáng)化,；“底乘高”后反饋,，卻暫時(shí)不讓學(xué)生說(shuō)想法。如此一來(lái),，素材產(chǎn)生了,，學(xué)生“入戲”了，課堂自然地朝著目標(biāo)順利前行,。

2.順著學(xué)生的思維展開(kāi)教學(xué),。

本節(jié)課要解答的無(wú)非是這樣的問(wèn)題：平行四邊形的面積計(jì)算公式是什么，不是什么,？平行四邊形的面積為什么是這個(gè)公式,，為什么不是那個(gè)公式？而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,，一直在想的或許也是這些問(wèn)題（當(dāng)然也可能只是其中的某個(gè)問(wèn)題）,。

這就是學(xué)生的思維狀況！而倘若我們的教學(xué)正好能順著學(xué)生的思維而展開(kāi),，那么,，學(xué)生就能在這樣的目標(biāo)引領(lǐng)下，在一個(gè)又一個(gè)的問(wèn)題解決過(guò)程中,，感受著突破之喜悅,，體驗(yàn)著數(shù)學(xué)之美妙。

為此,，當(dāng)學(xué)生面臨兩種算法兩個(gè)答案,，很迫切地想知道到底誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)時(shí)，教師首先做的并不是馬上引導(dǎo)研究“底乘高”的原理,，而是適時(shí)地呈現(xiàn)出學(xué)生熟悉的方格紙,，“幫助”學(xué)生快捷地解決問(wèn)題，教學(xué)的行為正好合著學(xué)生的需求,。

當(dāng)學(xué)生通過(guò)數(shù)方格得出面積,，潛移默化地感受到轉(zhuǎn)化的思想時(shí)，教師恰到好處地提出“平行四邊形的面積用‘底×高’來(lái)計(jì)算,，到底有什么道理呢,？”教學(xué)的指向又與學(xué)生思維發(fā)展的進(jìn)程合拍。

當(dāng)學(xué)生看懂了平行四邊形可以“轉(zhuǎn)化”成長(zhǎng)方形來(lái)思考，真正理解了“底乘高”的原理時(shí),，教師又質(zhì)疑“把平行四邊形拉成長(zhǎng)方形,，也是轉(zhuǎn)化，怎么就不對(duì)呢,？”問(wèn)題看似很難,，但這不正是學(xué)生心中早就積下的疑惑嗎……

不斷變化的教學(xué)行為和要求，不斷支撐著學(xué)生思維的發(fā)展,，促進(jìn)著學(xué)生能力的提升,，這就是“以變促思，以思提能”,。教學(xué),，正是在這樣的過(guò)程中展現(xiàn)著內(nèi)涵，綻放出精彩,。