疲勞分析通常是在時域進行,，所有的輸入載荷和輸出應(yīng)力都是基于時間的信號。時域疲勞可以通過靜應(yīng)力分析或者模態(tài)瞬態(tài)法進行分析,，其中模態(tài)瞬態(tài)法一般用于需要考慮共振對疲勞的影響,，載荷的加載頻率接近系統(tǒng)的共振頻率。在一些情況下,，共振應(yīng)力和輸入載荷卻通過頻域信號來分析,，通常用PSD功率譜密度來表達，基于的PSD頻域疲勞預(yù)測方法比時域疲勞預(yù)測方法有以下優(yōu)勢：

• 時域所得損傷是取自對一段隨機變化信號的計數(shù),，因此通過時域方法獲得的損傷本身就是一個隨機變量,，無法避免對所得的損傷結(jié)果進行統(tǒng)計推斷。通常,，用雨流計數(shù)法得到的零部件應(yīng)力幅值服從威布爾分布,，均值服從正態(tài)分布。這些需要進行循環(huán)計數(shù),，數(shù)據(jù)處理量非常大,。而基于PSD的頻域分析方法計算簡單，不需要循環(huán)計數(shù),。

  
  

• 隨機動態(tài)應(yīng)力,，在時域內(nèi)需要很長的信號記錄才能準確地描述隨機響應(yīng)，同時處理長的時域信號非常困難，而得到頻域功率譜應(yīng)力信號則較為方便,。

  
  

• 用來進行疲勞分析的頻域信號采樣率,，只要達到時域信號采樣率的1/10就可以得到與用時域信號預(yù)測同樣精度的結(jié)果，頻域信號的讀取,、儲存都比時域信號方便,。

當(dāng)系統(tǒng)所受到的載荷信號是隨機不確定的時候,，我們通常采用隨機振動分析的進行疲勞分析,。假設(shè)所受載荷X(t)在x 和x dx 范圍內(nèi)，在一個總時長T 的時間段內(nèi),，載荷出現(xiàn)的概率為fx(x),。

圖1

如果T 足夠長，fx(x) 可以通過下式表達：

相對的概率密度函數(shù)PDF可以通過總的時間段在帶寬X 和X dX 段,，如圖2所示

圖2

隨機信號X(t) 的均值和均方根值可以表示為：

這里T 是總的時長，當(dāng)ux=0時,，就是隨機信號X(t) 的均方根RMS Fx(x)服從高斯正態(tài)分布

圖3

圖4

因為隨機振動激勵被假設(shè)為服從高斯正態(tài)分布,，各幅值發(fā)生概率為：

圖5

基于這個特點，在實際計算中一般取3 sigma為計算的上限,。高斯正態(tài)分布具有以下重要屬性：如果高級正態(tài)分布激勵作用在線性系統(tǒng)上,，則輸出的激勵是不同的隨機過程，但是仍然服從另外一個高斯正態(tài)分布,。

舉個隨機信號的處理過程的例子：

圖6

圖7

信號X(t) 被分解為幾段,，如圖6和圖7所示，對于平穩(wěn)的隨機過程x(t) ,，時間歷程是非周期的,，因此不能用傅里葉級數(shù)表示；而且x(t)是一個無限長的信號,，不能通過傅里葉變換得到該隨機過程的頻域信息,。這個困難可以通過對該隨機過程的自相關(guān)函數(shù)Rx(τ) 做傅里葉變換來解決。

由于X(t) 是平穩(wěn)隨機信號其均值和標準差是獨立于時間t 的,，因此

相關(guān)系數(shù)

如果對隨機過程x(t) 的零點進行處理,，使得該過程的平均值為0，并且假定x(t) 不含有周期性分量,，那么Rx(τ∞)=0,，條件得到滿足。我們就可以得到自相關(guān)函數(shù)的Rx(τ) 傅里葉變換和逆變換,。

其中函數(shù)Sx(ω) 稱為功率譜密度,。我們令τ 為0，則得到：

圖8

這是Sx(ω) 最重要的一個特性，即功率譜密度曲線下的面積就是平穩(wěn)隨機過程x(t) 的均方值,，所以函數(shù)Sx(ω) 又叫均方譜密度,，其單位是(x的單位)2/(rad/s)，常見的有加速度隨機激勵單位為(mm/s2)2/Hz或G2/Hz,。速度隨機激勵單位為(mm/s)2/Hz ,；位移隨機激勵單位為(mm)2/Hz。

在上面的推導(dǎo)過程中,，圓頻率ω 取值是從負無窮到正無窮,，但我們研究振動更習(xí)慣用頻率f而不是圓頻率ω，頻率f 的取值應(yīng)該是從0到正無窮,，單位應(yīng)該是Hz而不是rad/s,。所以雙側(cè)譜密度Sx(ω) 可以變換為一個等效的單側(cè)譜密度。

圖9 依次為窄帶,、寬帶,、白噪聲信號

圖10 依次為其頻譜圖

窄帶隨機過程的時間歷程類似于振幅和相位隨機變化的正弦波。根據(jù)窄帶隨機過程的PSD曲線,，我們可以得到它的很多特性,，如頻率成分和有效值等，還可以進一步得到其峰值分布的信息,，即組成這個過程的一系列正弦波的幅值分布信息,。也就是說，我們可以依據(jù)應(yīng)力PSD曲線求得時間段T內(nèi)的應(yīng)力循環(huán)次數(shù),，以及應(yīng)力幅值在S 和S dS 之間的概率Pp(S)dS ,。由PSD求得應(yīng)力循環(huán)次數(shù)v 和應(yīng)力幅值區(qū)間概率Pp(S)dS 的公式推導(dǎo)比較復(fù)雜，建議讀者參考《隨機振動與譜分析概論》一書,，本文不再介紹,。

對于寬帶隨機過程，以上述窄帶分析法為基礎(chǔ)進行拓展,，也可得出計算疲勞損傷的近似表達式,。常見的寬帶疲勞算法有DirliK算法、Wirsching-Light算法等,，其中Dirlik算法的計算結(jié)果與試驗結(jié)果接近,，成為基于功率譜密度計算疲勞失效的首選算法，已被大多數(shù)商用疲勞分析軟件采用,。