22．綜合與實(shí)踐

問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1,，在矩形ABCD中,，AD=2AB，E是AB延長線上一點(diǎn),，且BE=AB,，連接DE,，交BC于點(diǎn)M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG,，連接AM．試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系．

探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn),，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：

證明：∵BE=AB,，∴AE=2AB．

∵AD=2AB,，∴AD=AE．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．

即AM是△ADE的DE邊上的中線,，

又∵AD=AE,，∴AM⊥DE．（依據(jù)2）

∴AM垂直平分DE．

反思交流：

（1）①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？

②試判斷圖1中的點(diǎn)A是否在線段GF的垂直平分線上,，請直接回答,，不必證明；

（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā),，繼續(xù)進(jìn)行探究,，如圖2，連接CE,，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG,，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明,；

探索發(fā)現(xiàn)：

（3）如圖3,，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG,，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C,，點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外,，請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上,，請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,，并加以證明．

【解答】解：（1）①依據(jù)1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例（或平行線分線段成比例）．

依據(jù)2：等腰三角形頂角的平分線,，底邊上的中線及底邊上的高互相重合（或等腰三角形的“三線合一”）．

②答：點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上．

理由：∵DG∥AM∥EF,，DE∥FG，

    且AM垂直平分DE,，

∴AM也垂直平分GF,

即點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上．

（2）證明：如圖2,，過點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD是矩形,，點(diǎn)E在AB的延長線上,，

∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°,，

∴∠BCE+∠BEC=90°．

∵四邊形CEFG為正方形，

∴CG=CE,，∠GCE=90°,，

∴∠BCE+∠BCG=90°．

∴∠2BEC=∠BCG．

∴△GHC≌△CBE．

∴HC=BE，

∵四邊形ABCD是矩形,，

∴AD=BC．

∵AD=2AB,，BE=AB，

∴BC=2BE=2HC,，

∴HC=BH．

∴GH垂直平分BC．

∴點(diǎn)G在BC的垂直平分線上．

（3）答：點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上

（或點(diǎn)F在AD邊的垂直平分線上）．

證明：如圖3,，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，

過點(diǎn)E作EN⊥FM于點(diǎn)N．

∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．

∵四邊形ABCD是矩形,，點(diǎn)E在AB的延長線上,，

∴∠CBE=∠ABC=90°，

∴四邊形BENM為矩形．

∴BM=EN,，∠BEN=90°．

∴∠1+∠2=90°．

∵四邊形CEFG為正方形,，

∴EF=EC，∠CEF=90°．

∴∠2+∠3=90°．

∴∠1=∠3．

∵∠CBE=∠ENF=90°,，

∴△ENF≌△EBC．

∴NE=BE．∴BM=BE．

∵四邊形ABCD是矩形,，

∴AD=BC．

∵AD=2AB，AB=BE．

∴BC=2BM．

∴BM=MC．

∴FM垂直平分BC．

∴點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上．

【點(diǎn)評】此題是幾何綜合題,，以特殊矩形與正方形為背景,，圍繞判斷點(diǎn)在線段的垂直平分線上展開探究，主要考查了正方形,、矩形的性質(zhì),，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì),，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．