為了以后更好的工程實踐應用卡爾曼濾波算法，今天小編帶領著大家了解卡爾曼濾波算法的理論,。

什么是卡爾曼濾波,？

你可以在任何含有不確定信息的動態(tài)系統(tǒng)中使用卡爾曼濾波，對系統(tǒng)下一步的走向做出有根據(jù)的預測,，即使伴隨著各種干擾,，卡爾曼濾波總是能指出真實發(fā)生的情況。

在連續(xù)變化的系統(tǒng)中使用卡爾曼濾波是非常理想的,，它具有占用內(nèi)存小的優(yōu)點（除了前一個狀態(tài)量外,，不需要保留其它歷史數(shù)據(jù)），并且速度很快,，很適合應用于實時問題和嵌入式系統(tǒng),。 

在Google上找到的大多數(shù)關于實現(xiàn)卡爾曼濾波的數(shù)學公式看起來有點晦澀難懂，這個狀況有點糟糕,。實際上,，如果以正確的方式看待它，卡爾曼濾波是非常簡單和容易理解的,，下面我將用漂亮的圖片和色彩清晰的闡述它,，你只需要懂一些基本的概率和矩陣的知識就可以了,。

我們能用卡爾曼濾波做什么？

用玩具舉例：你開發(fā)了一個可以在樹林里到處跑的小機器人,，這個機器人需要知道它所在的確切位置才能導航,。 

我們可以說機器人有一個狀態(tài) ，表示位置和速度： 

注意這個狀態(tài)只是關于這個系統(tǒng)基本屬性的一堆數(shù)字,，它可以是任何其它的東西,。在這個例子中是位置和速度，它也可以是一個容器中液體的總量,，汽車發(fā)動機的溫度,，用戶手指在觸摸板上的位置坐標，或者任何你需要跟蹤的信號,。 

這個機器人帶有GPS,，精度大約為10米，還算不錯,，但是,，它需要將自己的位置精確到10米以內(nèi)。樹林里有很多溝壑和懸崖,，如果機器人走錯了一步,，就有可能掉下懸崖，所以只有GPS是不夠的,。 

或許我們知道一些機器人如何運動的信息：例如,，機器人知道發(fā)送給電機的指令，知道自己是否在朝一個方向移動并且沒有人干預,，在下一個狀態(tài),，機器人很可能朝著相同的方向移動。當然,，機器人對自己的運動是一無所知的：它可能受到風吹的影響,，輪子方向偏了一點，或者遇到不平的地面而翻倒,。所以,，輪子轉過的長度并不能精確表示機器人實際行走的距離，預測也不是很完美,。 

GPS 傳感器告訴了我們一些狀態(tài)信息，我們的預測告訴了我們機器人會怎樣運動,，但都只是間接的,，并且伴隨著一些不確定和不準確性。但是,，如果使用所有對我們可用的信息,，我們能得到一個比任何依據(jù)自身估計更好的結果嗎？回答當然是YES，這就是卡爾曼濾波的用處,。

卡爾曼濾波是如何看到你的問題的,？

下面我們繼續(xù)以只有位置和速度這兩個狀態(tài)的簡單例子做解釋。 

我們并不知道實際的位置和速度,，它們之間有很多種可能正確的組合,，但其中一些的可能性要大于其它部分： 

卡爾曼濾波假設兩個變量（位置和速度，在這個例子中）都是隨機的,，并且服從高斯分布,。每個變量都有一個均值μ，表示隨機分布的中心（最可能的狀態(tài)）,，以及方差 ,，表示不確定性。 

在上圖中,，位置和速度是不相關的,，這意味著由其中一個變量的狀態(tài)無法推測出另一個變量可能的值。下面的例子更有趣：位置和速度是相關的,，觀測特定位置的可能性取決于當前的速度： 

這種情況是有可能發(fā)生的,，例如，我們基于舊的位置來估計新位置,。如果速度過高,，我們可能已經(jīng)移動很遠了。如果緩慢移動,，則距離不會很遠,。跟蹤這種關系是非常重要的，因為它帶給我們更多的信息：其中一個測量值告訴了我們其它變量可能的值,，這就是卡爾曼濾波的目的,，盡可能地在包含不確定性的測量數(shù)據(jù)中提取更多信息！ 

這種相關性用協(xié)方差矩陣來表示,，簡而言之,，矩陣中的每個元素  表示第 i 個和第 j 個狀態(tài)變量之間的相關度。（你可能已經(jīng)猜到協(xié)方差矩陣是一個對稱矩陣,，這意味著可以任意交換 i 和 j）,。協(xié)方差矩陣通常用“”來表示，其中的元素則表示為“ ”,。 

使用矩陣來描述問題

我們基于高斯分布來建立狀態(tài)變量,，所以在時刻 k 需要兩個信息：最佳估計 （即均值，其它地方常用 μ 表示）,，以及協(xié)方差矩陣  ,。 

　　　　　　　　(1)

（當然,，在這里我們只用到了位置和速度，實際上這個狀態(tài)可以包含多個變量,，代表任何你想表示的信息）,。接下來，我們需要根據(jù)當前狀態(tài)（k-1 時刻）來預測下一狀態(tài)（k 時刻）,。記住,，我們并不知道對下一狀態(tài)的所有預測中哪個是“真實”的，但我們的預測函數(shù)并不在乎,。它對所有的可能性進行預測,，并給出新的高斯分布。 

我們可以用矩陣  來表示這個預測過程： 

它將我們原始估計中的每個點都移動到了一個新的預測位置,，如果原始估計是正確的話,，這個新的預測位置就是系統(tǒng)下一步會移動到的位置。那我們又如何用矩陣來預測下一個時刻的位置和速度呢,？下面用一個基本的運動學公式來表示：

現(xiàn)在,，我們有了一個預測矩陣來表示下一時刻的狀態(tài)，但是,，我們?nèi)匀徊恢涝趺锤聟f(xié)方差矩陣,。此時，我們需要引入另一個公式,，如果我們將分布中的每個點都乘以矩陣 A,，那么它的協(xié)方差矩陣  會怎樣變化呢？很簡單,，下面給出公式： 

結合方程（4）和（3）得到： 

外部控制量

我們并沒有捕捉到一切信息,，可能存在外部因素會對系統(tǒng)進行控制，帶來一些與系統(tǒng)自身狀態(tài)沒有相關性的改變,。 

以火車的運動狀態(tài)模型為例,，火車司機可能會操縱油門，讓火車加速,。相同地,，在我們機器人這個例子中，導航軟件可能會發(fā)出一個指令讓輪子轉向或者停止,。如果知道這些額外的信息,，我們可以用一個向量來表示，將它加到我們的預測方程中做修正,。 

假設由于油門的設置或控制命令,，我們知道了期望的加速度，根據(jù)基本的運動學方程可以得到： 

以矩陣的形式表示就是： 

　　稱為控制矩陣,，稱為控制向量（對于沒有外部控制的簡單系統(tǒng)來說,，這部分可以忽略）。讓我們再思考一下,，如果我們的預測并不是100%準確的,，該怎么辦呢？

外部干擾

如果這些狀態(tài)量是基于系統(tǒng)自身的屬性或者已知的外部控制作用來變化的,，則不會出現(xiàn)什么問題,。 

但是，如果存在未知的干擾呢,？例如,，假設我們跟蹤一個四旋翼飛行器，它可能會受到風的干擾,，如果我們跟蹤一個輪式機器人,，輪子可能會打滑，或者路面上的小坡會讓它減速,。這樣的話我們就不能繼續(xù)對這些狀態(tài)進行跟蹤,，如果沒有把這些外部干擾考慮在內(nèi)，我們的預測就會出現(xiàn)偏差,。 

在每次預測之后,，我們可以添加一些新的不確定性來建立這種與“外界”（即我們沒有跟蹤的干擾）之間的不確定性模型： 

原始估計中的每個狀態(tài)變量更新到新的狀態(tài)后，仍然服從高斯分布,。我們可以說的每個狀態(tài)變量移動到了一個新的服從高斯分布的區(qū)域,，協(xié)方差為。換句話說就是,，我們將這些沒有被跟蹤的干擾當作協(xié)方差為的噪聲來處理,。 

這產(chǎn)生了具有不同協(xié)方差（但是具有相同的均值）的新的高斯分布。 

我們通過簡單地添加得到擴展的協(xié)方差,，下面給出預測步驟的完整表達式： 

由上式可知,，新的最優(yōu)估計是根據(jù)上一最優(yōu)估計預測得到的，并加上已知外部控制量的修正,。 

而新的不確定性由上一不確定性預測得到,，并加上外部環(huán)境的干擾。 

好了,，我們對系統(tǒng)可能的動向有了一個模糊的估計,，用和來表示。如果再結合傳感器的數(shù)據(jù)會怎樣呢,？

用測量值來修正估計值

我們可能會有多個傳感器來測量系統(tǒng)當前的狀態(tài),，哪個傳感器具體測量的是哪個狀態(tài)變量并不重要，也許一個是測量位置,，一個是測量速度,，每個傳感器間接地告訴了我們一些狀態(tài)信息,。

注意，傳感器讀取的數(shù)據(jù)的單位和尺度有可能與我們要跟蹤的狀態(tài)的單位和尺度不一樣,，我們用矩陣  來表示傳感器的數(shù)據(jù),。 

我們可以計算出傳感器讀數(shù)的分布，用之前的表示方法如下式所示： 

卡爾曼濾波的一大優(yōu)點就是能處理傳感器噪聲,，換句話說,，我們的傳感器或多或少都有點不可靠，并且原始估計中的每個狀態(tài)可以和一定范圍內(nèi)的傳感器讀數(shù)對應起來,。 

從測量到的傳感器數(shù)據(jù)中,，我們大致能猜到系統(tǒng)當前處于什么狀態(tài)。但是由于存在不確定性,，某些狀態(tài)可能比我們得到的讀數(shù)更接近真實狀態(tài),。 

我們將這種不確定性（例如：傳感器噪聲）用協(xié)方差表示，該分布的均值就是我們讀取到的傳感器數(shù)據(jù),，稱之為,。 

現(xiàn)在我們有了兩個高斯分布，一個是在預測值附近,，一個是在傳感器讀數(shù)附近,。 

我們必須在預測值（粉紅色）和傳感器測量值（綠色）之間找到最優(yōu)解。 

那么,，我們最有可能的狀態(tài)是什么呢,？對于任何可能的讀數(shù)，有兩種情況：（1）傳感器的測量值,；（2）由前一狀態(tài)得到的預測值,。如果我們想知道這兩種情況都可能發(fā)生的概率，將這兩個高斯分布相乘就可以了,。 

剩下的就是重疊部分了,，這個重疊部分的均值就是兩個估計最可能的值，也就是給定的所有信息中的最優(yōu)估計,。 

瞧,！這個重疊的區(qū)域看起來像另一個高斯分布。 

如你所見,，把兩個具有不同均值和方差的高斯分布相乘,，你會得到一個新的具有獨立均值和方差的高斯分布！下面用公式講解,。

融合高斯分布

先以一維高斯分布來分析比較簡單點,，具有方差  和 μ 的高斯曲線可以用下式表示： 

如果把兩個服從高斯分布的函數(shù)相乘會得到什么呢？ 

將式（9）代入到式（10）中（注意重新歸一化，使總概率為1）可以得到： 

將式（11）中的兩個式子相同的部分用 k 表示： 

下面進一步將式（12）和（13）寫成矩陣的形式,，如果 Σ 表示高斯分布的協(xié)方差,， 表示每個維度的均值，則： 

矩陣稱為卡爾曼增益,，下面將會用到,。放松！我們快要完成了,！

將所有公式整合起來

我們有兩個高斯分布，預測部分,，和測量部分,，將它們放到式（15）中算出它們之間的重疊部分： 

由式（14）可得卡爾曼增益為： 

將式（16）和式（17）的兩邊同時左乘矩陣的逆（注意里面包含了  ）將其約掉，再將式（16）的第二個等式兩邊同時右乘矩陣  的逆得到以下等式： 

上式給出了完整的更新步驟方程,。就是新的最優(yōu)估計,，我們可以將它和放到下一個預測和更新方程中不斷迭代。 

總結

以上所有公式中,，你只需要用到式（7）,、（18）、（19）,。（如果忘了的話,，你可以根據(jù)式（4）和（15）重新推導一下） 

我們可以用這些公式對任何線性系統(tǒng)建立精確的模型，對于非線性系統(tǒng)來說,，我們使用擴展卡爾曼濾波,，區(qū)別在于EKF多了一個把預測和測量部分進行線性化的過程。