1,、怎樣的擬合直線最好,？——與所有點(diǎn)都近，即與所有點(diǎn)的距離之和最小,。

最小二乘法可以幫助我們在進(jìn)行線性擬合時,，如何選擇“最好”的直線。要注意的是,，利用實(shí)驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時,，所用數(shù)據(jù)的多少直接影響擬合的結(jié)果，從理論上說,，數(shù)據(jù)越多,，效果越好，即所估計的直線方程越能更好地反映變量之間的關(guān)系,。一般地,，我們可以先作出樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，確認(rèn)線性相關(guān)性,，然后再根據(jù)回歸直線系數(shù)的計算公式進(jìn)行計算,。

2、刻畫樣本點(diǎn)與直線y=a+bx之間的“距離”——

思考：①這個“距離”與點(diǎn)到直線的距離有什么關(guān)系,？

很顯然,，這個式值越小，則樣本點(diǎn)與直線間的距離越小,。

②為什么不直接利用點(diǎn)到直線的距離來刻畫樣本點(diǎn)與直線之間的距離關(guān)系,？

3,、最小二乘法

如果有n個點(diǎn)：（x₁，y₁）,，（x₂,，y₂），（x₃,，y₃）,，……，（x_n,，y_n）,，我們用下面的表達(dá)式來刻畫這些點(diǎn)與直線y=a+bx的接近程度：

。

使得上式達(dá)到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求解的直線,，這種方法稱為最小二乘法,。

4、線性回歸方程

,，其中

這個直線方程稱為線性回歸方程,，a，b是線性回歸方程的系數(shù)（回歸系數(shù)）,。

例1,、推導(dǎo)2個樣本點(diǎn)的線性回歸方程

設(shè)有兩個點(diǎn)A（x₁，y₁）,，B（x₂,，y₂），用最小二乘法推導(dǎo)其線性回歸方程并進(jìn)行分析,。

解：由最小二乘法,，設(shè)，則樣本點(diǎn)到該直線的“距離之和”為

從而可知：當(dāng)時,，b有最小值,。將

代入“距離和”計算式中，視其為關(guān)于b的二次函數(shù),，再用配方法,，可知：

此時直線方程為：

設(shè)AB中點(diǎn)為M，則上述線性回歸方程為

可以看出,，由兩個樣本點(diǎn)推導(dǎo)的線性回歸方程即為過這兩點(diǎn)的直線方程,。這和我們的認(rèn)識是一致的：對兩個樣本點(diǎn)，最好的擬合直線就是過這兩點(diǎn)的直線,。

用最小二乘法對有兩個樣本點(diǎn)的線性回歸直線方程進(jìn)行了直接推導(dǎo),，主要是分別對關(guān)于a和b的二次函數(shù)進(jìn)行研究，由配方法求其最值及所需條件,。實(shí)際上,，由線性回歸系數(shù)計算公式：

可得到線性回歸方程為

設(shè)AB中點(diǎn)為M,，則上述線性回歸方程為

。

例2,、求回歸直線方程

在硝酸鈉的溶解試驗中,，測得在不同溫度下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)的數(shù)據(jù)如下

描出散點(diǎn)圖并求其回歸直線方程.

解：建立坐標(biāo)系,，繪出散點(diǎn)圖如下：

由散點(diǎn)圖可以看出：兩組數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)性,。設(shè)回歸直線方程為：

由回歸系數(shù)計算公式：

可求得：b=0.87,，a=67.52,，從而回歸直線方程為：y=0.87x+67.52。

例3,、綜合應(yīng)用

假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬元）有如下統(tǒng)計資料：

（1）求回歸直線方程,；（2）估計使用10年時，維修費(fèi)用約是多少,？

解：（1）設(shè)回歸直線方程為：

（2）將x = 10代入回歸直線方程可得y = 12.38,，即使用10年時的維修費(fèi)用大約是12.38萬元。