2000年5月,，克萊數(shù)學(xué)促進(jìn)會(huì)(CMI)為了激勵(lì)與榮耀當(dāng)今的數(shù)學(xué)家們,，宣布為七個(gè)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題各開(kāi)出100萬(wàn)美元的賞格。

當(dāng)然,，從某種意義上來(lái)說(shuō),，CMI的懸賞也不過(guò)是錦上添花。畢竟,，這七個(gè)問(wèn)題足以粗略勾勒出下個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)研究整體的面貌和版圖,，如果你成功解決了任何一個(gè)，就要面對(duì)各國(guó)科學(xué)院雪花般的邀請(qǐng)函,。如果你同意擔(dān)任某所大學(xué)的榮譽(yù)教授,，他們會(huì)覺(jué)得面上有光,。你的母校會(huì)在校園里為你塑一座半身雕像,，充當(dāng)鴿子、麻雀的公廁……誰(shuí)又能拒絕這等榮譽(yù)呢,？比爾·蓋茨,、扎克伯格和馬云建立的科學(xué)發(fā)現(xiàn)基金，會(huì)忙不迭地把300萬(wàn)美元塞到你的手里,，然后轉(zhuǎn)身就走,，唯恐你自命清高后悔接受他們的獎(jiǎng)金。

事實(shí)上,，他們還真不是杞人憂天,。千禧年七個(gè)百萬(wàn)難題中，如今唯一被解決的就是所謂的龐加萊猜想,。2002年左右,，俄國(guó)數(shù)學(xué)家佩雷爾曼石破天驚地在預(yù)印本網(wǎng)站上貼出一篇證明梗概的長(zhǎng)文，并且表示希望到06年的時(shí)候能有人做出評(píng)價(jià),。普林斯頓的幾位數(shù)學(xué)家花了差不多3年的時(shí)光厘清證明的細(xì)節(jié),，終于確認(rèn)，佩雷爾曼的證明是完整無(wú)誤的,。隨后,，當(dāng)科學(xué)界急切地要把各種榮譽(yù)加諸其身的時(shí)候,，佩雷爾曼砸了電話，搬到了林中的小屋,，過(guò)起了當(dāng)代隱士的生活,。他目前唯一接受過(guò)的榮譽(yù)是國(guó)際中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克金牌。

當(dāng)然,，雖說(shuō)巴西踢平之后,，大家普遍手頭緊張，不想放過(guò)每一個(gè)賺取百萬(wàn)的機(jī)會(huì),，還是先得知道問(wèn)題是個(gè)啥,。

下面簡(jiǎn)要地介紹一下，剩下的六個(gè)百萬(wàn)難題,。

1.P=NP,？算法學(xué)界的永動(dòng)機(jī)

斯大林曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)量本身就是一種質(zhì)量?！?/p>

想一下在3×3的棋盤(pán)上玩圍棋,，以及19×19的棋盤(pán)上玩圍棋的不同感受，或許你就會(huì)同意這位蘇聯(lián)領(lǐng)導(dǎo)人的灼見(jiàn),。

在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)中,，存在很多問(wèn)題，我們知道如何編程“快速”解決它們——基本算術(shù),，對(duì)列表進(jìn)行排序,，搜索數(shù)據(jù)表。

這些問(wèn)題可以在“以規(guī)模為變量的多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)”解決,，簡(jiǎn)記為“P”,。換句話說(shuō)，你對(duì)10000個(gè)數(shù)字進(jìn)行排序,，和你對(duì)10001個(gè)數(shù)字進(jìn)行排序,，運(yùn)算增加的時(shí)間是在一個(gè)可控的范圍內(nèi)。

但還有一類(lèi)問(wèn)題我們可以很快驗(yàn)證一個(gè)答案是否正確,，但卻并不清楚如何高效地得到答案,。

尋找大數(shù)的素因數(shù)就是這樣一個(gè)問(wèn)題。沒(méi)有已知的方法可以快速找到任意數(shù)的素因子,。幸好如此,，因?yàn)楫?dāng)今互聯(lián)網(wǎng)的安全性正是依賴(lài)于這一事實(shí)。

由于歷史和技術(shù)原因,，這類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)為可以在“非確定性多項(xiàng)式”或“NP”時(shí)間內(nèi)解決的問(wèn)題,。

現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了：我們無(wú)法找出NP問(wèn)題在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)的算法，到底是因?yàn)楸緛?lái)就不存在這種事情,，還是僅僅因?yàn)槲覀兡芰Σ蛔悖?/p>

如果,，數(shù)學(xué)事實(shí)不是客觀的,，而是依賴(lài)人們的意愿與能力。那證明出NP=P——也就是說(shuō),，是我們能力不足,，其實(shí)存在著多項(xiàng)式時(shí)間的算法來(lái)解決NP問(wèn)題——其影響力，就好比說(shuō)我們發(fā)明出了永動(dòng)機(jī),！算法和邏輯科學(xué)領(lǐng)域中的永動(dòng)機(jī),。

當(dāng)然，因?yàn)樯系鄄粫?huì)對(duì)我們這么好——永動(dòng)機(jī)并不存在,，所以數(shù)學(xué)家普遍的看法是NP≠P,！

另外值得注意的是，數(shù)學(xué)界有另一個(gè)普遍的猜測(cè),，NP≠P大概會(huì)是最有可能在未來(lái)幾年出現(xiàn)重大突破的問(wèn)題,。雄心壯志的同學(xué)可以一試。

2.Navier-Stokes方程：流體力學(xué)中拼圖中缺失的最后一塊

你打開(kāi)水龍頭時(shí),，你攪拌咖啡中的奶油時(shí),，我們現(xiàn)在的科學(xué)甚至都無(wú)法解釋如此常見(jiàn)情景中經(jīng)歷的物理變化。

Navier-Stokes方程是牛頓運(yùn)動(dòng)定律的流體動(dòng)力學(xué)版本,。他們描述了在各種條件下液體或氣體將如何流動(dòng)變化,。

從19世紀(jì)，法國(guó)科學(xué)家Navier和英國(guó)數(shù)學(xué)家Stokes提出了該方程以來(lái),，它在大氣運(yùn)動(dòng),、洋流分析、石油勘探,、水利工程乃至心血管疾病診斷之中發(fā)揮了愈發(fā)重要的作用,。

除了一個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)家至今無(wú)法證明這一方程是有解的,！

當(dāng)然，我們確定它肯定是有解的,，因?yàn)樗俏覀兪菑默F(xiàn)實(shí)中的物理現(xiàn)象中抽象出來(lái)的純粹數(shù)量關(guān)系,。你擰開(kāi)水龍頭，或是攪拌咖啡中牛奶,，就相當(dāng)于找到了一組特殊的解……

這是一個(gè)非常重要,，看似簡(jiǎn)單實(shí)則極其困難的問(wèn)題。有大量的數(shù)學(xué)家和工程師致力于解決這一問(wèn)題,。暫時(shí)看不到路在何方,。

3.帶有質(zhì)量缺口的楊—米爾斯規(guī)范場(chǎng)論：量子力學(xué)版的麥克斯韋方程

稍微熟悉點(diǎn)物理學(xué)的人都應(yīng)該明白麥克斯韋方程的重要性。

就像是牛頓三大定律奠定了經(jīng)典力學(xué)的根基,，經(jīng)典電磁學(xué)就建立在麥克斯韋方程組之上,。實(shí)際上,，狹義相對(duì)論本身也是麥克斯韋方程組進(jìn)一步推導(dǎo)出的結(jié)果。值得注意的是,，通過(guò)麥克斯韋方程組實(shí)際上推導(dǎo)出了一種沒(méi)有靜止質(zhì)量的粒子——光子,。

當(dāng)年輕的楊振寧和他的室友米爾斯，通過(guò)類(lèi)比麥克斯韋方程組,，得到了可以解釋強(qiáng)力和弱力性質(zhì)規(guī)范場(chǎng)論的時(shí)候,，也自然的得到了某種類(lèi)似光子沒(méi)有質(zhì)量的粒子！

隨后,，楊振寧在泡利,、奧本海默等一群大佬面前上臺(tái)介紹自己的成果，期望得到他們的首肯時(shí),，泡利一針見(jiàn)血的提問(wèn)道：“你這個(gè)理論是不是預(yù)言了某種沒(méi)有質(zhì)量的粒子?。俊?/p>

楊振寧低聲說(shuō)：“是,?！?/p>

泡利站起來(lái)，“大家都散了吧,，后面的不用聽(tīng)了,。”

幸虧對(duì)楊振寧青眼有加的奧本海默一把按住了泡利,，說(shuō)：“聽(tīng)一聽(tīng)年輕人的構(gòu)想也無(wú)妨嘛,。”

當(dāng)然,，泡利不是要故意刁難,，畢竟現(xiàn)在也沒(méi)有人能觀察到?jīng)]有質(zhì)量的膠子。不過(guò)隨著規(guī)范場(chǎng)理論在應(yīng)用上的巨大成功,，物理學(xué)家逐漸認(rèn)可了這一概念,。

現(xiàn)在唯一的問(wèn)題就是，規(guī)范場(chǎng)理論應(yīng)該能通過(guò)理論推導(dǎo)出電子的質(zhì)量,，但是迄今為止,，沒(méi)有哪位物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家能做到這一點(diǎn)！

據(jù)說(shuō)目前并無(wú)太多學(xué)者嘗試攻克質(zhì)量缺口問(wèn)題,，因?yàn)槲锢韺W(xué)家覺(jué)得這是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,，畢竟他們?cè)缫淹ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量出了電子的質(zhì)量；而數(shù)學(xué)家……也認(rèn)為這是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,，但是太難,，物理背景又忒刺眼?？瓤?/p>

4.黎曼猜想：數(shù)學(xué)界中的明星

數(shù)學(xué)界中的明星,，也是公眾中最知名的數(shù)學(xué)猜想之一,。

在數(shù)學(xué)中，自然數(shù)的重要性無(wú)與倫比,。因?yàn)?，?shí)際上我們真正能計(jì)算的就是自然數(shù)！

根號(hào)2和π一樣,，只是一個(gè)符號(hào),。我們只是大致知道它們的前幾位數(shù)。

我們真正能把握的只有自然數(shù)和它們的四則運(yùn)算,。所以,，自然數(shù)的基本單位——素?cái)?shù)，也在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中獲得了顯赫地位,。

黎曼猜想就是指出,，某個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)，可以刻畫(huà)出所有的素?cái)?shù),！

半個(gè)世紀(jì)前,，數(shù)學(xué)家Weil在有限域上證明了黎曼猜想！仿佛給數(shù)學(xué)界打了一針強(qiáng)心劑,。如今,，有海量的學(xué)者和民間愛(ài)好者正試圖攻克這一難關(guān)。

曾有數(shù)學(xué)家開(kāi)玩笑說(shuō),，證明了黎曼猜想的人將獲得不朽,，而證否了黎曼猜想的人，會(huì)當(dāng)場(chǎng)去世,，來(lái)不及寫(xiě)出自己的證明,。

想要對(duì)黎曼函數(shù)，復(fù)平面解析等概念產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí),，可以點(diǎn)擊此處鏈接,。

5.Birch-Swinnerton-Dyer猜想：橢圓曲線上的大秘密

丟番圖方程是數(shù)學(xué)研究中最古老和最廣泛的對(duì)象之一。就像之前提過(guò)的,，整數(shù)最有價(jià)值,，我們多么想要找到多項(xiàng)式方程的整數(shù)解啊。

許多人都知道的最經(jīng)典的例子是勾三股四玄五,。它們就是方程

X^2+y^2=z^2的一組整數(shù)解。

近年來(lái),，代數(shù)學(xué)家特別研究了橢圓曲線,，它由特定類(lèi)型的丟番圖方程所定義。這些曲線在數(shù)論和密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用,。

前沿,、高端,、熱氣騰騰，滿含希望的研究領(lǐng)域,，值得有識(shí)之士的加入,。

6.霍奇猜想：不適合心理脆弱的人

該猜想在各個(gè)意義上都難到令人絕望(包括對(duì)它做科普)，實(shí)際上它的正式表述：

一個(gè)非奇異射影代數(shù)簇上的每一個(gè)調(diào)和微分形式都是代數(shù)閉鏈上的上同調(diào)類(lèi)的一個(gè)有理組合,。

一般來(lái)說(shuō),，要想自然的說(shuō)出上面這些話，就需要一個(gè)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的博士學(xué)位,。所以,，有特殊需要的朋友可以背下來(lái)以備不時(shí)之需。

雖然這一猜想如此可怕,，但它的出發(fā)點(diǎn)其實(shí)非常的簡(jiǎn)單,。我們?nèi)祟?lèi)的思想方法，說(shuō)來(lái)說(shuō)起也就那么幾個(gè),。

為了掌握復(fù)雜的事物的性狀,，我們或是把它拆解成簡(jiǎn)單的組成成分，或者是用簡(jiǎn)單的部分來(lái)逐漸逼近它,。

霍奇猜想,，就是后面的思路。它指出存在某種方式,，可以用相對(duì)來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單的幾何構(gòu)件一點(diǎn)點(diǎn)地拼接出高維度中超級(jí)復(fù)雜的幾何對(duì)象,。

部分引用了

本文譯自 sciencealert，由譯者 majer 基于創(chuàng)作共用協(xié)議(BY-NC)發(fā)布,。