未給出具體解析式的函數(shù)為抽象函數(shù)。解決這類(lèi)函數(shù)可以通過(guò)化抽象為具體的方法,，即賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式,，經(jīng)過(guò)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算和推理加以解決。

一,、判斷函數(shù)的奇偶性

例1,、若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y均成立,，且f(x)不恒為0,，請(qǐng)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。

解：令則有,，故有

令,，則有，故有,，又因?yàn)?/span>不恒為0,，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。

例2,、已知函數(shù)為非零函數(shù),，若有，試判斷函數(shù)的奇偶性,。

解：令,，則有，故有

令,，則有,，故有

令，則有,，且為非零函數(shù),，所以函數(shù)是偶函數(shù)。

二,、判斷函數(shù)的單調(diào)性

例3,、函數(shù)，當(dāng)時(shí),，,，且對(duì)任何實(shí)數(shù)x，y恒有,，試判斷函數(shù)的單調(diào)性,。

解：令,，則有，故有

又有

當(dāng)時(shí),，,，當(dāng)時(shí)，,，故有,，而，故有,。

又當(dāng)x＝0時(shí),，，故對(duì)于任何,，有,。

令，

故

所以函數(shù)是減函數(shù),。

三,、判斷函數(shù)的周期性

例4、函數(shù),，對(duì)任何實(shí)數(shù)a、b恒有,，且存在常數(shù),，使，求證：為周期函數(shù),。

證明：令,，

則

即

又

所以函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為2c,。

四,、求函數(shù)的解析式

例5、設(shè)x≠0,，函數(shù)滿(mǎn)足,，求函數(shù)的解析式。

解：由題意知

用x換代入上式得：

則①×2－②得：

所以

五,、求函數(shù)的值域

例6,、函數(shù)為增函數(shù)，且滿(mǎn)足,，求函數(shù)的值域,。

解：令，則有,。

①當(dāng)時(shí),，不妨令,，

則有

故當(dāng)。

②當(dāng)時(shí),，有

有

故當(dāng)時(shí),，有

所以當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?/span>R。