【摘要】數(shù)學(xué)技能指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中,，通過訓(xùn)練完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的一種行動或心智行動方式.數(shù)學(xué)技能分為動作技能和心智技能.基于促進(jìn)數(shù)學(xué)技能習(xí)得的相關(guān)理論,，對簡單的線性規(guī)劃問題進(jìn)行“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)：“設(shè)”—“列”—“畫”—“化”—“移”—“看”—“求”—“悟”，并說明各步的設(shè)計(jì)意圖.這樣設(shè)計(jì)有利于突出重點(diǎn),，突破難點(diǎn).代數(shù)法,、向量法也可作為一般方法解此類問題. 

　　【關(guān)鍵詞】技能習(xí)得；線性規(guī)劃,；“八步”教學(xué)設(shè)計(jì) 

　　2017年9月22日至24日,，全國第二屆全日制教育碩士學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)教學(xué)技能大賽（決賽）在山東煙臺魯東大學(xué)舉行，本次大賽共涉及高中數(shù)學(xué)的8個(gè)課題,，“簡單的線性規(guī)劃問題”是其中一個(gè),，該課題選自人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)5（必修）（A版）[1].筆者在賽后寫下了“簡單的線性規(guī)劃問題”的教學(xué)設(shè)計(jì). 

　　1數(shù)學(xué)技能的相關(guān)理論的簡述 

　　數(shù)學(xué)技能指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，通過訓(xùn)練完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的一種行動或心智行動方式.數(shù)學(xué)技能可分為動作技能和心智技能[2]. 

　　動作技能指數(shù)學(xué)活動中由一系列實(shí)際操作以合理,、完善的程序構(gòu)成的操作活動方式.它具有外顯性,、客觀性、非簡約性三個(gè)基本特點(diǎn). 

　　心智技能是指借助內(nèi)部言語在大腦中按合理完善的方式自動地進(jìn)行數(shù)學(xué)認(rèn)知活動方式,，它是經(jīng)過后天的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練而形成的.它具有以下特點(diǎn)：（1）心智技能的作用對象是抽象的數(shù)學(xué)概念,、命題與表象；（2）心智技能的動作是借助內(nèi)部言語在頭腦內(nèi)部完成的,，其他人很難從外部觀測到學(xué)習(xí)主體的變化情況,；（3）簡縮性，即動作成分可以省略,、合并,、簡化；（4）有時(shí)需要借助動作技能加以完成,；（5）依附于一定的數(shù)學(xué)概念,、法則,，建立在理解的基礎(chǔ)之上；（6）可通過練習(xí)提高技能實(shí)施的速度與效率. 

　　中小學(xué)課程中的數(shù)學(xué)基本技能包括：數(shù)值運(yùn)算技能,、符號操作技能,、圖形處理技能、數(shù)據(jù)分析技能,、推理論證技能,、數(shù)學(xué)交流技能等. 

　　2促進(jìn)數(shù)學(xué)技能習(xí)得的教學(xué)設(shè)計(jì) 

　　2.1教材分析 

　　2.1.1教學(xué)內(nèi)容分析 

　　“簡單的線性規(guī)劃問題”是人教社A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)5（必修）第三章《不等式》中第3節(jié)的第二個(gè)內(nèi)容.該課題是在學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)和“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”之后的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容.因此，“簡單的線性規(guī)劃問題”可看成是“不等式的性質(zhì)”和“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”的應(yīng)用.顯然,，解決“簡單的線性規(guī)劃問題”也必需“直線的方程”等解析幾何知識作基礎(chǔ). 

　　2.1.2教學(xué)目標(biāo)分析 

　　通過教學(xué),，能讓學(xué)生從工廠產(chǎn)品的實(shí)際問題中建立起數(shù)學(xué)模型，在教師啟發(fā)和引導(dǎo)下,，學(xué)生能利用學(xué)過的知識和方法解決這個(gè)數(shù)學(xué)模型,，并由此建構(gòu)線性規(guī)劃問題、目標(biāo)函數(shù),、可行解,、可行域、最優(yōu)解等系列概念.掌握求解線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解的方法和一般步驟. 

　　2.1.3教學(xué)問題診斷分析 

　　線性規(guī)劃問題的求解,，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)心智技能和動作技能才能完成.線性規(guī)劃的教學(xué),，學(xué)生在最優(yōu)解的求解過程中容易出現(xiàn)“似懂非懂”、“懂而不會”和“眼高手低”的情況.因此,，教師可著眼于數(shù)學(xué)技能的相關(guān)理論及應(yīng)用,，而著手于“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)即“設(shè)”—“列”—“畫”—“化”—“移”—“看”—“求”— 

　　“悟”.這既有利于學(xué)生外化于形的動作技能的練成，又有利于學(xué)生內(nèi)化于心的心智技能的形成,，從而,，真正使學(xué)生的數(shù)學(xué)心智技能和動作技能得到有效訓(xùn)練，真正使學(xué)生經(jīng)歷求解線性規(guī)劃最優(yōu)解的一般步驟,，并掌握其方法,、體會其思想. 

　　2.2簡單的線性規(guī)劃問題的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)與簡略說明 

　　基于技能習(xí)得理論下簡單線性規(guī)劃問題的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)（或稱“八環(huán)節(jié)”）的流程圖，如圖1.圖1簡單的線性規(guī)劃問題的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)2.2簡單的線性規(guī)劃問題“八步”教學(xué)的實(shí)施建議與設(shè)計(jì)意圖分析 

　　依據(jù)促進(jìn)數(shù)學(xué)技能習(xí)得的相關(guān)理論制定“八步”教學(xué)設(shè)計(jì),，提出了如下實(shí)施建議,，并對每一步說明設(shè)計(jì)意圖. 

　　第一步：“設(shè)” 

　　學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次不等式及其解法，能夠根據(jù)題意列出二元一次不等式組并畫出其表示的平面區(qū)域. 

　　教學(xué)設(shè)計(jì)：某工廠用A,、B兩種配件生產(chǎn)甲,、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h,，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h,，該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么,？ 

　　問題1若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元,，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大,？ 

　　依據(jù)題意,，將重要信息提取到表格中，如圖1. 

　　AB時(shí)間（小時(shí)）獲利甲/件412萬元乙/件423萬元日生產(chǎn)（限制）16128圖1 

　　此時(shí),，設(shè)x ,、y件，利潤為z 萬元. 

　　【設(shè)計(jì)意圖】“設(shè)”是指依據(jù)題意設(shè)出未知元,，用字母代替數(shù),，變元x、y代替未知量甲,、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型，提高學(xué)生分析問題,、解決問題的能力[3].用代數(shù)方法進(jìn)行解決,，培養(yǎng)了學(xué)生的符號操作技能. 

　　第二步：“列” 

　　由上，化簡后列出二元一次不等式組,、求利潤的表達(dá)式. 

　　教學(xué)設(shè)計(jì)：要求學(xué)生獨(dú)立完成該步. 

　　x+2y≤8,， 

　　x≤4， 

　　y≤3,， 

　　x≥0,， 

　　y≥0.（1） 

　　z=2x+3y. 

　　列出上面的式子后，教師應(yīng)趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生形成,、理解相關(guān)概念. 

　　1.不等式組（1）x+2y≤8,，

x≤4， 

　　y≤3,， 

　　x≥0,， 

　　y≥0.是對變量x、y的約束條件,，這組約束條件是關(guān)于x,、y的一次不等式，所以又稱為線性約束條件. 

　　2.求最大值的函數(shù)z=2x+3y叫做目標(biāo)函數(shù),，且它是關(guān)于變量x,、y的一次解析式，所以又叫做線性目標(biāo)函數(shù). 

　　3.在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題,，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題. 

　　4.滿足線性約束條件的解（x,，y）叫做可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域. 

　　5.使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解. 

　　【設(shè)計(jì)意圖】考察學(xué)生根據(jù)實(shí)際需要合理的選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ吆头椒ǎ谐霾⒒喴阎獥l件給定的二元一次不等式組，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)值運(yùn)算技能.這里對教材的安排作了略微的調(diào)整.先對概念進(jìn)行解讀,，再探求最優(yōu)解,，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 

　　第三步：“畫” 

　　圖2教學(xué)設(shè)計(jì)：讓學(xué)生自己畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖2,，并結(jié)合圖象解讀以上概念,，使學(xué)生加深對概念的理解. 

　　【設(shè)計(jì)意圖】要求學(xué)生準(zhǔn)確地畫出上面二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.作圖是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題的重要手段,，有助于培養(yǎng)學(xué)生的圖形處理技能. 

　　第四步：“化” 

　　將目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y畫在平面區(qū)域上是探求最優(yōu)解的突破口. 

　　教學(xué)設(shè)計(jì)：教師引導(dǎo)學(xué)生把目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y變形為y=-23x+z3,，這是斜率為-23，縱截距為z3的直線. 

　　圖3【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)抽象的最終結(jié)果是符號化,，包括了符號演算能力,、表達(dá)式的變形和等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力,、圖像符號能力等.引導(dǎo)學(xué)生化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的形式.要求學(xué)生熟練地進(jìn)行字母式的演算和變形,，將目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y變形為y=-23x+z3再加以討論，培養(yǎng)學(xué)生的符號操作技能.  

　　第五步：“移” 

　　當(dāng)利潤z從0開始變化時(shí),，可以得到一組互相平行的直線,，如圖3. 

　　【設(shè)計(jì)意圖】平移直線方程y=-23x+z3，為下一步“看”建立了直觀形象的思維支柱. 

　　第六步：“看” 

　　看直線y=-23x+z3與可行域有公共點(diǎn)時(shí),，在可行域內(nèi)找一點(diǎn)M,，使直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)縱截距z3最大. 

　　教師借助幾何畫板演示直線y=-23x+z3在可行域內(nèi)平移. 

　　設(shè)計(jì)意圖：“看”是指看直線方程與可行域的交點(diǎn)，意圖培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力. 

　　第七步：“求” 

　　由上,，可知當(dāng)直線y=-23x+z3經(jīng)過直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M（4,，2）時(shí)，縱截距z3最大. 

　　此時(shí)利潤最大值zmax=2×4+3×2=14. 

　　設(shè)計(jì)意圖：依據(jù)題意求縱截距的最大值或最小值. 

　　第八步：“悟” 

　　感悟線性規(guī)劃問題中蘊(yùn)含的思想方法,，形成求解此類題型的一般方法. 

　　【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生對整個(gè)解決過程中蘊(yùn)含的思想方法進(jìn)行總結(jié)歸納,，形成個(gè)人知識、思想方法,，讓其享受做數(shù)學(xué)的樂趣. 

　　3解決線性規(guī)劃問題的其他兩種方法 

　　以上的教學(xué)設(shè)計(jì)是解決線性規(guī)劃問題的常用幾何法,，下面再給出兩種一般方法. 

　　代數(shù)法 

　　步驟一：將不等式變?yōu)榉匠蹋瑑蓛陕?lián)立后求其解（x1,，y1）,，（x2，y2）,，…,，（xn，yn）.步驟二：將所有解帶入目標(biāo)函數(shù),，得到目標(biāo)函數(shù)值z1,，z2，…zn.步驟三：檢驗(yàn).即若z1為所求的最大值，則將（x1,，y1）代到線性可行域的不等式驗(yàn)證,，若全部符合，則z1為最值.

　　向量法 

　　對于目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y,，可構(gòu)造a=（2,，3），b=（x,，y）,，則z=a·b. 

　　因?yàn)閍·b=a·b·cos， 

　　所以z=22+32·b·cos=13·b·cos. 

　　按照向量的幾何意義,，b·cos表示b在a上的投影,，即當(dāng)b在a上的投影最大值，z取最大值.由圖3可知,，當(dāng)b=（4,，2）時(shí)，z取最大值a·b=（2,，3）·（4,，2）=14. 

　　4結(jié)語 

　　將簡單線性規(guī)劃問題的八步教學(xué)設(shè)計(jì)歸結(jié)為幾何法，其中每一步對學(xué)生應(yīng)該掌握的技能都做了相應(yīng)的要求,，其中“畫”,、“移”等是動作技能,，“設(shè)”,、“化”等是心智技能.當(dāng)然也不能孤立地看待某個(gè)過程為動作技能或心智技能，更多的是兩者的結(jié)合,，教學(xué)的目的也即是實(shí)現(xiàn)二者的完美結(jié)合,，培養(yǎng)出對社會有價(jià)值的實(shí)用型人才. 

　　參考文獻(xiàn) 

　　[1]劉紹學(xué)，錢珮玲等. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)5（必修）（A版） [M]. 北京：人民教育出版社,，2007：12. 

　　[2]鮑建生,，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.10：151. 

　　[3]耿永雪,，張吉.簡單的線性規(guī)劃問題的教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通訊,，2002（3）：20.