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繼續(xù)上節(jié)： 希臘郵票上的“勾股定理”和中國的“商高定理” 級數(shù)趣談——從1+2+3＋…+n談起 代數(shù)趣談——牛頓二項式定理和賈憲三角形 自然數(shù)列1，2,，3,，4，…,，應(yīng)該是人類最早認識的數(shù)列,。老子的書里就有：“一生二，二生三,，三生萬物”的記載,，反映了中國人民很早對它認識了。 在自然數(shù)里,，根據(jù)能否被2整除的性質(zhì),，而分成偶數(shù)和奇數(shù)。一個大于1的數(shù)如除了1和它本身以外,，再沒有其他自然數(shù)能整除它,，我們就稱它為素數(shù)（或者也叫質(zhì)數(shù) Prime number）。因此根據(jù)這定義,，讀者很容易找出小于10的素數(shù)有四個即2,，3，5,，7,。 在歐幾里得的《幾何原本》一書里，他介紹了素數(shù)的概念,，然后用反證法很巧妙的證明了在自然數(shù)列里素數(shù)的個數(shù)是有無窮多個,。 西方的數(shù)學(xué)家一般都認為希臘人是最早懂得素數(shù)的民族?？墒怯勺罱诜侵蕹鐾恋囊恍?000多年前非洲人的骨具,，證明了希臘人并不是最早知道素數(shù)的民族。 從兩塊骨頭談起 現(xiàn)在藏在比利時布魯塞爾的自然歷史博物館的二塊骨頭很受考古學(xué)家的重視,。這些骨頭是最近在剛果的愛德華湖畔的一個伊珊郭（Ishango）漁村所發(fā)掘出來的,。 根據(jù)科學(xué)方法檢定，它們是在公元前9000年到公元前6500年間非洲人的骨具,。把手有規(guī)則的凹下刻痕,，在頂端有附上一小塊的石英,。考古學(xué)家猜想這是當?shù)氐脑用裼脕碜鳛榈窨袒蛘邥鴮懙墓ぞ摺?/span> 這骨具的刻痕引起了人們的興趣,，它們代表什么呢,？有什么特殊的涵義？我們現(xiàn)在來看看吧,！ 左邊那塊骨頭有八組刻痕,，是由3，6,，4,，8，10,，5,，5，7的線組成,。3和6很靠近,，隔一段空間就是4和8，然后是10及兩個5,。再下就是一個7,。很可能刻這刻痕的無名氏想要說明的是6，8,，10分別是3,，4，5的二倍,。 右邊那塊骨具在左右二側(cè)有不同的刻痕,，在左側(cè)有11，21,，19,，9的線的刻痕。在右側(cè)有11,，13,，17，19的刻痕,。有人解釋這無名氏是要說明 10+1，20+1,，20-1,，10-1的結(jié)果。 不過令我們產(chǎn)生興趣的是右側(cè)的刻痕,，這些數(shù)字都是大于10和小于20之間的所有素數(shù),，我們現(xiàn)在同時看這二塊骨具的右側(cè),，出現(xiàn)了5，7,，11,，13,，17,，19有一種次序,，這樣看來差不多在一萬年前非洲人民就認識到素數(shù)的存在了,！ 怎樣尋找素數(shù) 我們在小學(xué)時學(xué)到任何整數(shù)可以唯一分解成為素因子的乘積,。素數(shù)對乘法來講就像是組成“整數(shù)分子”的“原子”。因此素數(shù)是很重要的。 可是人們怎樣找出素數(shù)呢,？ 在2000年前在埃及有一個叫伊拉托斯丁納（Eratosthenes公元前276—公元前194）的希臘學(xué)者，他是阿歷山大圖書館的管理員,，發(fā)現(xiàn)了后來以他的名字命名的篩法（Sieve Method）可以把素數(shù)從像砂子那么多的整數(shù)里篩出來,。 他的方法是這樣：將1,，2,，3，4，…直到N寫下,。將這數(shù)列中劃去所有2的倍數(shù),，在2之后第一個沒劃去的數(shù)是3,，于是就在這數(shù)列中除了3之外刪去所有3的倍數(shù)。按著3之后的第一個沒有被劃去的數(shù)目是5，然后再劃去除了5以外的所有5的倍數(shù)。以此類推,，一直到不超過 讀者試試用這個方法來尋找所有小于100的素數(shù)，可以得到像圖一那樣的情形,。 現(xiàn)在有一個問題產(chǎn)生，如果給出一個整數(shù),，怎樣判斷它是素數(shù)？如果我們知道所有小于這數(shù)的開方的素數(shù)不能整除這數(shù)，那么這給出的數(shù)是素數(shù),?？墒钱斶@數(shù)太大時，比方說有一億個位數(shù),，那么這方法是太累贅了,。目前都是利用電子計算機來幫忙檢驗一個數(shù)是否素數(shù),。 我們目前所知道的最大素數(shù)*是美國人杜克曼（BryantTuckerman）在 1971年利用電子計算機找到，它是219937-1這個素數(shù)共有6002位數(shù),，開頭是4315424797…,，結(jié)尾是…968041471。杜克曼用電子計算機檢驗它是素數(shù)共花去了半個鐘頭,，如果這個工作由一個年青人去用筆算來檢驗,，可能等他老掉了牙,，還不能查出它是素數(shù),。 素數(shù)的一個古怪脾氣 素數(shù)有許多奇妙的性質(zhì),，引起數(shù)學(xué)家的注意和研究,。比方說在1963年美國著名數(shù)學(xué)家烏蘭教授（S．Ulam）在參加一次科* 1996年9月初,，美國科學(xué)家找到一個新的最大素數(shù)21257787-1，它是一個378632位數(shù)。學(xué)會議時,，因為對演講者報告的一篇又長又臭的論文不感興趣，為了打發(fā)時間，他就在紙上縱橫劃線打出一些方格子來。 他最初想要考慮一些象棋的問題，可是后來改變想法,，就以中心的1做出發(fā)點,，以反時針方向劃螺旋線（如圖二）。不知怎么樣他把凡是素數(shù)的格子圈出來,，他看看有什么趣味的東西出現(xiàn),。 突然間他覺得素數(shù)好像是很喜歡擠成直線！如3和11以及13,，29,，53等等可以聯(lián)成直線。 他想要知道這種現(xiàn)象在100以后的數(shù)是否會出現(xiàn),，于是他和幾個朋友利用 Los Alamos的電子計算機打出從1到 6萬 5千的螺旋圖,。 實在奇怪，這種現(xiàn)象仍舊出現(xiàn),。我們這里附上圖三是電子計算機打出的該圖的一部份,，包含的數(shù)是從1到1萬。每一個白點代表一個素數(shù),，讀者從圖中很容易看到這種烏蘭現(xiàn)象,。這個圖很好用,，數(shù)學(xué)家從這里找出了一些素數(shù)的新性質(zhì)。 素數(shù)在自然數(shù)列中的分布 素數(shù)在自然數(shù)列中分布好像沒有什么規(guī)則,，為了很好的研究它的分布一些規(guī)律,，數(shù)學(xué)家引進了一種重要的數(shù)論函數(shù)π（x）（讀作派x）：它是代表不超過實數(shù)x＞1的素數(shù)的個數(shù)。例如π（1.9）=0,，因為沒有一個素數(shù)P≤1.9,；π（10）=4，讀者早知道了不超過10的素數(shù)有四個,。 這個函數(shù)是遞增的,，即隨著x的增大，π（x）值也跟著不斷增大,。例如π（10萬萬）=50,，847，478,，由歐幾里得的定理,，我們知道當x趨向于無窮大時，π（x）的值也跟著趨向無窮大,。 18世紀的最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）他發(fā)現(xiàn)當x趨向無窮大時,， 為了能更深刻地知道這個素數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在19世紀以前的數(shù)學(xué)家想找出一個他們較熟悉的簡單的解析函數(shù)近似相等于π（x）,。即找出 幾個法國,、德國和俄國的數(shù)學(xué)家如勒讓德（Legendre）、高斯（Gauss）,、狄利克雷（Dirichlet）,、車比雪夫（Chebysev）和黎曼 這個問題到了100年以后才在1896年同時候由法國數(shù)學(xué)家哈達瑪（J．Hadamard）和比利時數(shù)學(xué)家瓦萊·布善（C．J．delaValleé——Pousin）解決。他們都用到了復(fù)變函數(shù)理論的黎曼齊塔函數(shù)（Riemann Zeta function）,。 這個定理在素數(shù)理論中是非常重要,，因此數(shù)學(xué)家通常稱它為“素數(shù)定理”（Prime number theorem），哈達瑪和布善的證明是非常的漂亮,，長期以來很多人都認為不可能有不用復(fù)變函數(shù)理論為工具而證明這個定理的初等方法,。在本世紀初，匈牙利數(shù)學(xué)家厄多斯（Erdos）和西柏（A．Selberg）用初等微積分的理論給出了這個定理的另外證明,。 關(guān)于這個素數(shù)函數(shù),，還有許多問題直到現(xiàn)在還沒有徹底地解決。例如對于所有的x≥1和y≥1,，人們猜想π（x+y）≥π（x）+π（y）,，可是到目前為止只有美國數(shù)學(xué)家S．L．Segal對x和y同時小于101，81的情形獲得證明。 表面簡單實際困難的素數(shù)問題 和素數(shù)有關(guān)的問題,，許多是很容易明白的,，表面看起來是不困難的，但解決起來都是很困難,，下面我們舉幾個還未解決的問題說明： （1）是否有無窮多素數(shù)是形如n2+2,？ （2）是否有無窮多素數(shù)是形如n2+1？ （3）11和11 111 111 111 111 111 111 111,，都是素數(shù),，它們分別可以寫成（102-1）÷9，和（l023-1）÷9,，現(xiàn)在知道一個數(shù)（10k-1）÷9是素數(shù),，則必須是k是素數(shù)。 反過來不一定成立,，例如（103-1）÷9=111=3×37,，同樣（105-1）÷9也不是素數(shù)。 由于素數(shù)的個數(shù)有無窮多,，因此是否形如（10k-1）÷9的素數(shù)也是有無窮多個,？ （4）讀者請寫下一個很長的自然數(shù)列1，2,，3,，4，…,。然后對任何x＞1,，在x和2x之間一定會找到一個素數(shù),。比方說你現(xiàn)在挑出x=4,，你發(fā)現(xiàn)在4和8之間就有5和7這個素數(shù)，你多試驗幾次,，每次都是有這個結(jié)果,。 俄國19世紀的大數(shù)學(xué)家車比雪夫，證到了一個定理可以推到以上的結(jié)果,。 好,，我們現(xiàn)在看看一個類似的問題：我們把自然數(shù)列每一項取平方，我們得到1,，4,，9，16,，25,，…。我們發(fā)現(xiàn)到在1和4之間自然數(shù)列有二個素數(shù)2和3。在4和9之間自然數(shù)列有二個素數(shù)5和7,，在9和16之間有二個素數(shù)11和13,，在16和25之間有三個素數(shù)17，19,，23,。 因此你提出了這樣的想法：對任意整數(shù)n，我們一定可以在n2和（n＋1）2之間找到一個素數(shù),。 這是數(shù)學(xué)上的一個難題,，很早就有人提出了?？墒堑浆F(xiàn)在還沒有全部解決,。 （5）把自然數(shù)列排成下面的梯階形： 等等。從第二階開始,，最初的幾階每一階最少都出現(xiàn)一個素數(shù),。這種現(xiàn)象以后是否一直出現(xiàn)呢？很多人認為應(yīng)該是這樣,。 （6）我們稱滿足代數(shù)方程x2+y2=z2的數(shù)組{x,，y，z}為商高數(shù)組,，商高數(shù)組一般是由{m2-n2,，2mn，m2+n2}給出,。這里m是大于n的整數(shù),。美國數(shù)學(xué)家I．A．Barnett猜想存在有無窮多的m和n，它們的最大公約數(shù)是1,，而使得x+y和x-y同時是素數(shù),。 今年初美國俄亥俄州大學(xué)的數(shù)學(xué)家利用電子計算機對m小于46000的情形檢驗，發(fā)現(xiàn)了許多有這樣性質(zhì)的商高數(shù)組,，看來Barnett的猜想是會對的,，你不妨試試找出一個證明出來。 孿生素數(shù)問題 3和5這二個素數(shù)相差是2,。讀者很容易找到{5,，7}，{11,，13},，{17，19},，{29,，31}等等素數(shù)對有這樣的性質(zhì)。 在數(shù)學(xué)里，數(shù)學(xué)家稱這樣的素數(shù)對為孿生素數(shù)（twinPrimes）,。有一個很出名的問題叫著“孿生素數(shù)猜想”,，它是這樣敘述的：存在著無窮多的n，使得n-1和n+1同時是素數(shù),。這問題提出有1000多年的歷史了,。 現(xiàn)知 n=4，6,，12,，18，30,，…,，1000000000062，140737488353700都給出孿生素數(shù)?，F(xiàn)在知道在100萬內(nèi)有多于8000的孿生素數(shù)對,。 歐拉發(fā)現(xiàn)如果對每個素數(shù)取倒數(shù)，然后再把它們?nèi)考悠饋?，這個和是無窮大,。可是在1919年挪威數(shù)學(xué)家Brun發(fā)現(xiàn)如取所有的孿生素數(shù)對的倒數(shù)的和,，這個級數(shù)卻是收斂的（Conver-gent）,，即和是一個有限值。 我們類似素數(shù)函數(shù)π（x）定義一個孿生素數(shù)函數(shù)T（x）,，令x＞1,，T（x）是定義為不超過x的所有孿生素數(shù)的個數(shù)。有人猜想存 目前最接近解決孿生素問題是由中國數(shù)學(xué)工作者陳景潤得出,。要介紹他的工作,，我們先從一個著名的數(shù)學(xué)問題談起。 哥德巴赫問題 歌德巴赫（C．Goldbach 1690—1764）是德國數(shù)學(xué)家,，他曾是俄國莫斯科學(xué)院的秘書,。他和他的好朋友歐拉常通信討論他們研究所發(fā)現(xiàn)的東西,。在1742年6月7日哥德巴赫由莫斯科寫了一封德文信給歐拉：“……我認為把一些可能對的命題,，盡管是還不能證明寫下來還是適合的。因為即使是以后發(fā)現(xiàn)它們是錯誤的,，可是它們?nèi)蕴峁┝税l(fā)現(xiàn)新真理的機會,。費馬認為22n-1+1可以給出一序列的素數(shù)，事實上——如你所知——是錯誤的,。然而這還是可貴,，如果這序列供給了唯一表示二個整數(shù)平方和的數(shù)。因此我想冒險提出這樣的猜想：任何數(shù)如果是二個素數(shù)的和，也是許多素數(shù)的和（1也算作素數(shù)）,，直到所有的和因子是1：*例如 [哥德巴赫]*：又當我在讀這信時,，我發(fā)現(xiàn)如果能對n證明而且n+1是能表示二個素數(shù)的和時則能對n+1也證明。證明是容易,。最少看來所有大于1的數(shù)是三個素數(shù)的和,。 歐拉在6月30日從柏林回信給哥德巴赫指出了：“任何數(shù)如能表示成二個素數(shù)的和，同時也可以表示成許多素數(shù)的和,，這可以由你以前告訴我的一個觀察結(jié)果：任何偶數(shù)是二個素數(shù)的和來證明出來,。因為如果提出的數(shù)是偶數(shù)，則它是二個素數(shù)的和,，而因為n-2也是二個素數(shù)的和,，因此n是三個素數(shù)的和，因而是四個素數(shù)的和,，依此類推下去,。然而，如果n是奇數(shù),，則它明顯是三個素數(shù)的和,，因為n-1是二個素數(shù)的和，因此也可以分解成許多素數(shù)的和,。然而所有的偶數(shù)是二個素數(shù)的和,，我認為這是一個肯定的定理。盡管我還不能證明出來,?！?/span> 事實上，哥德巴赫在以前的信提到了二個猜想： （A）任何大于2的偶數(shù)是二個素數(shù)的和,。 （B）任何大于5的奇數(shù)是三個奇素數(shù)的和,。 如果（A）是對，（B）則很容易證明： 因為如果N是奇數(shù),，我們?nèi)∫粋€小于N的奇素數(shù)P1,，則N-P1是偶數(shù)，由（A）知道它是可以表示成P2+P3,，因此N=P1+P2+P3,。 200年來這問題引起許多數(shù)學(xué)家的研究。哥德巴赫的猜想看來不難驗證,，如： 6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11 16=3+1318=5+13 20=3+17以及40=3+37=11+29=17+23等等,。 有人曾對十萬以下的偶數(shù)檢驗都發(fā)現(xiàn)哥德巴赫的猜想是對的?？墒窃鯓訉λ械呐紨?shù)證明呢,？ 在1937年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫（I．Vinogradov）用分析方法證明了：對于相當大的奇數(shù),，是可以表示成三個奇素數(shù)的和。因此對于哥德巴赫猜想（B）這是最好的結(jié)果,。 中國數(shù)學(xué)家在這方面的研究 目前最接近解決哥德巴赫猜想（A）是由中國數(shù)學(xué)家陳景潤獲得,。他是福建省福州人，是中國解放后廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系的第一屆畢業(yè)生,。解放前他父親是郵局職員,，一家七口靠那點微薄的公務(wù)員薪水，有時不得溫飽,，他高中未畢業(yè)就失學(xué)在家,。新中國成立后他才有機會繼續(xù)讀書。 他從廈大畢業(yè)后,，就留在原校工作,。在兩年的業(yè)余時間，對數(shù)論非常興趣,，閱讀了華羅庚大部份的著作,，第三年提出一篇關(guān)于“Tarry問題”的論文，對華羅庚在堆壘素數(shù)論的研究成果有一些推進,。 在1957年,，他在華羅庚的提拔下調(diào)到北京科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作，在這里他有機會從閔嗣鶴教授,、吳方,、王元、潘承洞等學(xué)習(xí)到了一些新的理論,。 匈牙利數(shù)學(xué)家Renyi最先證到（那是1948年的事了）任何充份大的偶數(shù)可以表示成1個素數(shù)和幾個素數(shù)乘積的和,。 在1962年年青數(shù)學(xué)家潘承洞證明了充份大的偶數(shù)可以表示成一個素數(shù)和一個最多有五個素數(shù)乘積的整數(shù)的和。 王元和潘承洞在1962年和1963年更進一步證明了充分大的偶數(shù)可以表示成一個素數(shù)和一個最多有四個素數(shù)乘積的整數(shù)的和,。 陳景潤在1963年才開始對哥德巴赫問題做研究,。他為了解決這個問題夜以繼日的研究，甚至假日也不休息,。不論是酷熱的炎夏,，還是嚴寒的隆冬，他都埋頭在圖書館做這研究,。在1966年取得初步成果論證了充份大的偶數(shù)都是由一個素數(shù)再加上另一個整數(shù),，這整數(shù)最多由二個素數(shù)相乘得到。這結(jié)果在《科學(xué)通報》發(fā)表了一個簡單證明,。那時他才32歲,。 在1965年意大利杰出的青年數(shù)學(xué)家E．Bombieri（他在1974年獲得世界數(shù)學(xué)家會議頒給的Field金獎?wù)?，因為他在幾何以及?shù)論方面的成就,。）只證到任何充分大的偶數(shù)是一個素數(shù)和一個最多能表示成三個素數(shù)乘積的整數(shù)和,。 記者訪問陳景潤，他說：“在1973年我在《中國科學(xué)》正式發(fā)表了題為：《大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的乘積之和》的論文,。這是我研究的成果論文,，它接近了哥德巴赫猜想，如果求證到另一個數(shù)也是素數(shù),，那就完全證實了歌德巴赫的猜想,，要達到這一步還要繼續(xù)努力?！?/span> 不久前陳景潤還出席了全國第四屆人民代表大會,。陳景潤的工作在數(shù)論是非常重要，他同時接近解決了數(shù)論二大難題：孿生素數(shù)和哥德巴赫問題,。最近英國數(shù)學(xué)家哈伯斯坦（Ha berstram）在他新寫的《篩法》一書,，特別一章專門講陳景潤的定理。 看到年輕一代的數(shù)學(xué)家在數(shù)論方面的成就,，我們不要忘記了老一輩的數(shù)學(xué)家如華羅庚,、閔嗣鶴等教授的功勞。第一代的數(shù)學(xué)前輩披荊斬棘闖出了一條路來,，而第二代的數(shù)學(xué)家發(fā)揚前輩大無畏的精神敢于攀登科學(xué)高峰,，獲得了一些優(yōu)秀成績。 在外國一些認識華羅庚工作的人,，由于個人主義的想法常常為他惋惜——不能繼續(xù)搞深的數(shù)學(xué),，而做普及“簡單”數(shù)學(xué)教育的工作?？墒撬麄兡睦镏溃骸耙恢ν路挪皇谴?，萬紫千紅才是春?！比A羅庚等人長期來苦心孤詣,，不辭勞苦到處做普及數(shù)學(xué)教育的工作，使廣大群眾能早日掌握到“打開科學(xué)大門的鎖鑰”——數(shù)學(xué)這門知識,。隨著老中青三結(jié)合的政策的實行,，第三代的年青數(shù)學(xué)工作者將迅速茁長，在這種情況下：“天公亦喜凌霄志,，不拘一格降人材,。”在不遠的將來,，肯定中國人民在數(shù)學(xué)上將會和幾千年來祖先在這領(lǐng)域一樣有著輝煌的成就,。 “待到山花爛漫時，她在叢中笑”這日子是不遠了,。
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