任何一種互聯(lián)網(wǎng)大數(shù)據(jù)算法背后都有數(shù)學(xué)原理在支撐，無論是簡單的遞歸迭代或者是更復(fù)雜的加密算法,，都離不開數(shù)學(xué)原理,，為了更好地方便大家理解，我們以加密算法為例,，更好地闡述一下數(shù)學(xué)對算法的支持,。

1、對稱加密算法AES

AES 是 Advanced Encryption Standard 的縮寫,，是最常見的對稱加密算法,。AES 在密碼學(xué)中又稱 Rijndael 加密法，是美國聯(lián)邦政府采用的一種區(qū)塊加密標(biāo)準(zhǔn),。這個標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)被多方分析且廣為全世界所使用。

AES 的加密公式為 C=E(K,P),，其中K 為密鑰,，P 為明文，C 為密文,。

AES 加密明文的過程是：首先對明文進(jìn)行分組,，每組的長度都是 128 位，然后一組一組地加密,，直到所有明文都已加密,。密鑰的長度可以是 128、192 或 256 位,。

在加密函數(shù) E 中,，會執(zhí)行一個輪函數(shù),，除最后一次執(zhí)行不同外，前面幾輪的執(zhí)行是相同的,。以 AES-128 為例,，推薦加密輪數(shù)為 10 輪，即前 9 輪執(zhí)行的操作相同,，第 10 輪執(zhí)行的操作與前面不同,。不同的密鑰長度推薦的加密輪數(shù)是不一樣的，具體見下面的表格,。

加密時明文按照 128 位為單位進(jìn)行分組,，每組包含 16 個字節(jié)，按照從上到下,、從左到右的順序排列成一個 4 × 4 的矩陣,，稱為明文矩陣。AES 的加密過程在一個大小同樣為 4 × 4 的矩陣中進(jìn)行,，稱為狀態(tài)矩陣,，狀態(tài)矩陣的初始值為明文矩陣的值。每一輪加密結(jié)束后,，狀態(tài)矩陣的值變化一次,。輪函數(shù)執(zhí)行結(jié)束后，狀態(tài)矩陣的值即為密文的值,，從狀態(tài)矩陣得到密文矩陣,，依次提取密文矩陣的值得到 128 位的密文。

以 128 位密鑰為例,，密鑰長度為 16 個字節(jié),，也用 4 × 4 的矩陣表示，順序也是從上到下,、從左到右,。AES 通過密鑰編排函數(shù)把密鑰矩陣擴(kuò)展成一個包含 44 個字的密鑰序列，其中的前 4 個字為原始密鑰用于初始加密,，后面的 40 個字用于 10 輪加密,，每輪使用其中的 4 個字。密鑰遞歸產(chǎn)生規(guī)則如下：

• 如果 i 不是 4 的倍數(shù),，那么由等式 w[i] = w[i-4] ⊕ w[i-1] 確定,；

• 如果 i 是 4 的倍數(shù)，那么由等式 w[i] = w[i-4] ⊕ T(w[i-1]) 確定,；

加密的第 1 輪到第 9 輪的輪函數(shù)一樣,，包括 4 個操作：字節(jié)代換、行位移、列混合和輪密鑰加,。最后一輪迭代不執(zhí)行列混合,。另外，在第一輪迭代之前,，先將明文和原始密鑰進(jìn)行一次異或加密操作,。

解密過程仍為 10 輪，每一輪的操作是加密操作的逆操作,。由于 AES 的 4 個輪操作都是可逆的,，因此，解密操作的一輪就是順序執(zhí)行逆行移位,、逆字節(jié)代換,、輪密鑰加和逆列混合。同加密操作類似,，最后一輪不執(zhí)行逆列混合,，在第 1 輪解密之前，要執(zhí)行 1 次密鑰加操作,。

AES 加密的輪函數(shù)操作包括以下方面：

• 字節(jié)代換 SubBytes：矩陣中的各字節(jié)通過一個 8 位的 S-box 進(jìn)行轉(zhuǎn)換,。這個步驟提供了加密法非線性的變換能力。S-box 與 GF（2^8）上的乘法反元素有關(guān),，已知具有良好的非線性特性,。為了避免簡單代數(shù)性質(zhì)的攻擊，S-box 結(jié)合了乘法反元素及一個可逆的仿射變換矩陣建構(gòu)而成,。此外在建構(gòu) S-box 時,，刻意避開了固定點(diǎn)與反固定點(diǎn)，即以 S-box 替換字節(jié)的結(jié)果會相當(dāng)于錯排的結(jié)果,。

• 行位移 ShiftRows：在此步驟中,，每一行都向左循環(huán)位移某個偏移量。在 AES 中（區(qū)塊大小 128位 ）,，第一行維持不變,，第二行里的每個字節(jié)都向左循環(huán)移動一格。同理,，第三行及第四行向左循環(huán)位移的偏移量就分別是 2 和 3,。128 位和 192 位的區(qū)塊在此步驟的循環(huán)位移的模式相同。經(jīng)過 ShiftRows 之后,，矩陣中每一豎列，都是由輸入矩陣中的每個不同列中的元素組成,。Rijndael 算法的版本中,，偏移量和 AES 有少許不同；對于長度 256 比特的區(qū)塊，第一行仍然維持不變,，第二行,、第三行、第四行的偏移量分別是 1 字節(jié),、2 字節(jié),、3 字節(jié)。除此之外,，ShiftRows 操作步驟在 Rijndael 和 AES 中完全相同,。

• 列混合 MixColumns：在 MixColumns 步驟，每一列的四個字節(jié)通過線性變換互相結(jié)合,。每一列的四個元素分別當(dāng)作 1 , x , x^2 , x^3 的系數(shù),，合并即為GF（2^8）中的一個多項(xiàng)式，接著將此多項(xiàng)式和一個固定的多項(xiàng)式 c(x)=3x^3+x^2+x+2 在 modulo x^4 + 1 下相乘,。此步驟亦可視為 Rijndael 有限域之下的矩陣乘法,。MixColumns 函數(shù)接受 4 個字節(jié)的輸入，輸出 4 個字節(jié),，每一個輸入的字節(jié)都會對輸出的四個字節(jié)造成影響,。因此 ShiftRows 和 MixColumns 兩步驟為這個密碼系統(tǒng)提供了擴(kuò)散性。

• 輪密鑰加 AddRoundKey：回合密鑰將會與原矩陣合并,。在每次的加密循環(huán)中,，都會由主密鑰產(chǎn)生一把回合密鑰（通過 Rijndael 密鑰生成方案產(chǎn)生），這把密鑰大小會跟原矩陣一樣,，以與原矩陣中每個對應(yīng)的字節(jié)作異或（⊕）加法,。

2、非對稱加密算法RSA

1977 年三位數(shù)學(xué)家 Rivest,、Shamir 和 Adleman 設(shè)計了一種算法,，可以實(shí)現(xiàn)非對稱加密，也就是本文要討論的 RSA 算法,，使用非對稱加密算法需要生成公鑰和私鑰,，使用公鑰加密，使用私鑰解密,。

互質(zhì)關(guān)系：首先回顧一下質(zhì)數(shù)的定義,。質(zhì)數(shù) (prime number) 又稱素數(shù)，有無限個,。一個大于 1 的自然數(shù),，除了 1 和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除,，換句話說就是該數(shù)除了 1 和它本身以外不再有其他的因數(shù),；否則稱為合數(shù)，如果兩個正整數(shù)，除了 1 以外,，沒有其他公因子,，我們就稱這兩個數(shù)是互質(zhì)關(guān)系?；ベ|(zhì)關(guān)系不要求兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù),，合數(shù)也可以和一個質(zhì)數(shù)構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。

歐拉函數(shù)：對正整數(shù) n,，歐拉函數(shù)是小于 n 的正整數(shù)中與 n 互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目,，用 φ(n) 表示。例如 φ(8) = 4,，因?yàn)?1 3 5 7 均和 8 互質(zhì),。歐拉函數(shù)可以表示為

其中 p1, p2 …… pn 為 x 的所有質(zhì)因數(shù)，x 是不為 0 的整數(shù),。且 φ(1) = 1,。每種質(zhì)因數(shù)只用一個。比如 12 = 2 * 2 * 3 那么

φ(12) = 12 * ( 1 - 1 / 2) * ( 1 - 1 / 3 ) = 4

若 n 是質(zhì)數(shù) p 的 k 次冪,，除了 p 的倍數(shù)外,，其他數(shù)都跟 n 互質(zhì)，則數(shù)學(xué)公式為

若 m,n 互質(zhì),，則數(shù)學(xué)公式為

當(dāng) n 為奇數(shù)時,，則數(shù)學(xué)公式為

當(dāng) n 為質(zhì)數(shù)時，則數(shù)學(xué)公式為

模反元素：如果兩個正整數(shù) a 和 n 互質(zhì),，那么一定可以找到整數(shù) b,，使得 ab - 1 被 n 整除，或者說 ab 被 n 除的余數(shù)是 1,。這時,，b 就叫做 a 的 “模反元素”。表示如下：ab≡ 1 (mod n)

比如3 和 11 互質(zhì),，那么 3 的模反元素就是 4,，因?yàn)?(3 × 4) - 1 可以被 11 整除。顯然,，模反元素不止一個,，4 加減 11 的整數(shù)倍都是 3 的模反元素 {…, -18, -7, 4, 15, 26, …}，即如果 b 是 a 的模反元素,，則 b + k n 都是 a 的模反元素,。

歐拉定理：歐拉定理是一個關(guān)于同余的性質(zhì)。歐拉定理表明,，若 n,a 為正整數(shù),，且 n,a 互質(zhì),，則有

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

假設(shè)正整數(shù) a 與質(zhì)數(shù) p 互質(zhì)，因?yàn)?φ(p) = p-1,，則歐拉定理可以寫成

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

RSA 公鑰與私鑰的生成：

生成密鑰的過程如下：

1. 首先選擇兩個質(zhì)數(shù) p 和 q，并且越大越好,。

2. 計算出 n = pq ,，n 的二進(jìn)制位數(shù)即為密鑰的位數(shù)。

3. 計算出 n 的歐拉函數(shù)

   φ(n) = φ(p)φ(q) = (p-1) (q-1)

4. 隨機(jī)選擇一個整數(shù) e,，條件是 1 < e="">< φ(n),，且="" e="" 與="" φ(n)="">

5. 計算 e 對于 φ(n) 的模反元素 d

   ed ≡ 1 (mod φ(n))

   上面的公式等價于如下的一元二次方程，d 和 k 有無窮多種組合方式,，選取一個 d 值即可

   ed + k φ(n) = 1

6. 將 n 和 e 封裝成公鑰,，n 和 d 封裝成私鑰

RSA 加密與解密：

使用公鑰 (n,e) 進(jìn)行加密的過程，可以表示為如下公式,，實(shí)際上就是根據(jù)明文 m

計算出密文 c 的過程,。m 必須是整數(shù)（字符串可以取 ascii 值或 unicode 值），且 m 必須小于 n,。

m^e ≡ c (mod n)

使用私鑰 (n,d) 進(jìn)行解密的過程,，可以表示為如下公式，實(shí)際上就是根據(jù)密文 c 計算出明文 m 的過程,。此處證明比較復(fù)雜,，感興趣的朋友可以自己看一下。

c^d ≡ m (mod n)

RSA 加解密過程示例：

首先生成密鑰：

1. 取 p = 61, q = 53

2. 計算出 n = 61 * 53 = 3233

3. 計算出 n 的歐拉函數(shù) φ(3233) = 60 * 52 = 3120

4. 隨機(jī)選擇一個整數(shù) e = 17

5. 計算 e 對于 φ(n) 的模反元素 d = 2753

使用公鑰進(jìn)行加密,，假設(shè)明文 m = 65,，表示大寫字母 A，根據(jù)公式計算出密文為 2790,。

65^17 ≡ 2790 (mod 3233)

使用私鑰進(jìn)行解密,，密文為 2790，根據(jù)公式可以計算出明文為 65,，表示大寫字母 A,。

2790^2753 ≡ 65 (mod 3233)

3、總結(jié)

數(shù)學(xué)是大數(shù)據(jù)算法的后臺支持,，如果你真的想從事IT,、人工智能行業(yè)，那么學(xué)好數(shù)學(xué)是不可缺少的,，從現(xiàn)在開始努力吧,！