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問：

參考例題

題目：

已知函數(shù)f(x)=lnx+1?xax,(a>0)

(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,，求a的取值范圍,；

(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]的最小值。

考點(diǎn)：

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

分析：

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),，計(jì)算f（1），f′（1）的值,，從而求出切線方程即可,；
（2）求導(dǎo)，將函數(shù)f（x）在區(qū)間[1,，+∞）上單調(diào)遞增化為導(dǎo)數(shù)恒不小于0,，從而求a的取值范圍；
（3）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)性,，從而確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[1,，2]上的最小值．

解答：

(1)a=2時(shí),f(x)=lnx+1?x2x,(x>0),且f(1)=0，

又∵f(x)=2x?12x2,(x>0),，

∴f(x)在x=1處的切線斜率為f′(1)=12,，

故切線的斜率為y=12(x?1)，

即x?2y?1=0,；

(2)由題意,f′(x)=1x?1ax2=ax?1ax2,，

∵a為大于零的常數(shù)，

若使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,，

則使ax?1?0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,，

即a?1?0，故a?1,；

(3)①當(dāng)a?1時(shí),f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,，

則fmin(x)=f(1)=0；

②當(dāng)0a?12時(shí),f′(x)在區(qū)間[1,2]恒不大于0,，

f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,，

則fmin(x)=f(2)=ln2?12a；

③當(dāng)12a1時(shí),令f′(x)=0可解得,x=1a∈(1,2),；

易知f(x)在區(qū)間[1,1a]單調(diào)遞減,在[1a,2]上單調(diào)遞增，

則fmin(x)=f(1a)=ln1a+1?1a,；

綜上所述,，

①當(dāng)a?1時(shí),fmin(x)=0；

②當(dāng)12a1時(shí),fmin(x)=ln1a+1?1a,；

③當(dāng)0a?12時(shí),fmin(x)=ln2?12a.