例1：簡支梁
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設(shè)計師通常是以沒有時間或者只關(guān)心實物試驗為借口,，從而很少對自己的設(shè)計進行分析計算,。只有在擔心設(shè)計可能會因為巨額成本或者高危工況失敗，造成很大損失時,，才會考慮進行相應(yīng)的分析計算,。有時根據(jù)潛在的失效模式及影響的大小，對分析計算的需求還有相應(yīng)的變化,，認為有些小問題可以不用在分析計算中考慮,。但是隨著現(xiàn)在OEM廠商和消費大眾對產(chǎn)品的嚴苛要求，分析計算變得越來越重要,。 如果你對自己的設(shè)計進行了靜力分析,，可能會對自己的分析結(jié)果很滿意：定義了載荷和邊界條件，根據(jù)平滑的結(jié)果云圖中大部分是藍色和灰色,，幾乎沒有紅色出現(xiàn),，然后判定分析結(jié)果還挺成功。但是,，請想象一下,，一個大型振動馬達或者工廠的機器在12.5Hz固定頻率下振動會出現(xiàn)什么情況,？或者說，你設(shè)計了一個電子設(shè)備安裝箱,，需要固定在地震多發(fā)區(qū)的一個建筑物上面,，你的老板想知道這個安裝箱是否能夠承受住地震的振動，你怎么回答,？不論什么情況下,，如果你只對靜力計算有把握，那其他的怎么辦呢,？ 在文章中,，我們將簡要回顧動力學分析基礎(chǔ)，并介紹怎樣進行簡單的分析,，來確保你的設(shè)計在動力學工況下依然保持正常,，不管是簡單的振動，地震,，還是火箭發(fā)射,。 其實沒那么復(fù)雜 對于大多數(shù)從事分析工作的人來講，靜力分析非常簡單,?；玖鞒桃埠芮逦菏┘虞d荷，檢查結(jié)果中的靜力響應(yīng)（只要給定的材料是線性的,，結(jié)果通常也是線性的）,，然后得到漂亮干凈的應(yīng)力和變形結(jié)果。雖然在分析過程中可能會出現(xiàn)一些難點,，但是最終的計算結(jié)果還是和我們所設(shè)想的比較一致,。 結(jié)構(gòu)的動力學響應(yīng)也差不多類似，只要稍微改變一下我們的觀點,，并想象在振動工況下結(jié)構(gòu)會怎樣自然的變形,。結(jié)構(gòu)在受到?jīng)_擊或者隨時間變化的荷載（瞬態(tài)或穩(wěn)態(tài)）作用下，本身會呈現(xiàn)與載荷相關(guān)的特征響應(yīng),。如果荷載不是巨大質(zhì)量沖擊,，結(jié)構(gòu)受到作用后也沒有發(fā)生爆炸或塑性變形，那么這個結(jié)構(gòu)的動力學響應(yīng)就很有可能是線性的,。也就是說,，如果載荷卸去之后，結(jié)構(gòu)可能會恢復(fù)原狀,，慢慢回到原來未變形的狀態(tài),。這一點與線性靜力分析原理一致：當卸載后，結(jié)構(gòu)應(yīng)力恢復(fù)為零。 我們所說的特征動力學響應(yīng)具體是指的什么,？所有結(jié)構(gòu)都有自然或特征振動模態(tài),。吉他弦發(fā)出的聲音或音調(diào)，就完全取決于弦本身的自然振動頻率,。另外一個例子是鋁制的棒球棍,。最好的棒球棍能夠避免在擊打棒球時發(fā)生振動，它的設(shè)計原理就是使特征振動頻率遠離擊球時球棍所發(fā)出的振動頻率,。每個頻率都會使球棍產(chǎn)生一個物理變形,，總的動力學響應(yīng)就非常復(fù)雜，如圖1,，圖2所示,。 圖1 NCAA鋁制棒球棍的一階模態(tài)振型 圖2 NCAA鋁制棒球棍二階模態(tài)振型 在FEA中這些自然頻率叫作特征值，它們的振型叫作特征向量或特征模,。這個術(shù)語出自德語,，意思是特性或者特有的，以便和19世紀中期數(shù)學中的相關(guān)術(shù)語保持一致,。在動力學分析中，也會使用簡正模態(tài) (normalmodes) 和簡正模態(tài)分析 (normal modes analysis) 等相關(guān)術(shù)語,，這里的“簡正 (normal)”只是自然頻率,，特征頻率或固有頻率的另外一種說法。當我們描述振型時,，通常更傾向于使用簡正模態(tài)這個術(shù)語,，因為它們表示結(jié)構(gòu)固有的自然響應(yīng)。 例1：簡支梁 當我們畫出一個簡支梁,，簡支梁一端固支,，它的自然模態(tài)振型已經(jīng)由它的幾何結(jié)構(gòu)確定，它的運動頻率由自身的剛度和密度確定,。圖3和圖4給出了這個梁的前三階模態(tài),，它們總是成對出現(xiàn)，包括了梁的所有運動形式,。在3D結(jié)構(gòu)中,，一階模態(tài)可以在縱軸360度范圍內(nèi)振動。數(shù)值解中本征求解過程只給出了兩個正交模態(tài)解,，但實際上是指的360度范圍內(nèi)的所有正交解,。 所有的結(jié)構(gòu)都幾乎有無限個可能的振型和本征值或本征模態(tài)，幸運的是,，只有有限個低階頻率主導著整體結(jié)構(gòu)的響應(yīng),，所以可以忽略一些高階頻率。通常來講，前三階模態(tài)包含了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的絕大部分,，因此可以安全忽略其他高階模態(tài),。 模態(tài)頻率取決于梁的剛度和密度，由以下公式計算而得： 其中,，K是結(jié)構(gòu)的剛度,，m是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。這個簡單的公式給出了關(guān)于系統(tǒng)的大量信息,。圖形化描述這個方程的經(jīng)典方法是,，用一個帶有質(zhì)量塊的彈簧結(jié)構(gòu)，質(zhì)量塊只能夠上下移動,，或者用FEA的說法是只有一個自由度,，這個系統(tǒng)的本征模態(tài)就是上下運動。 圖3 無擾動簡支梁,，以及兩個不同方向的一階模態(tài)振型 圖4 簡支梁中成對出現(xiàn)的第二和第三模態(tài)振型 例2：造紙機設(shè)計 在實際商業(yè)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)中,，前面所提到的公式同樣適用，結(jié)構(gòu)的本征值仍然由下式確定,。 以造紙機的成型板為例,，這個結(jié)構(gòu)有10m長，材質(zhì)為不銹鋼,。造紙機工作頻率在9Hz左右,，如果成型板的自然頻率在工作頻率附近，則會很快發(fā)生共振,，并發(fā)生撕裂,。更嚴重的是，成型板的撕裂會連帶數(shù)百萬美元的造紙機報廢（見圖5,、圖6）,。 圖5 造紙機成型板的一階振動模態(tài) 圖6 造紙機成型板的二階振動模態(tài) 初始設(shè)計的相關(guān)參數(shù)使結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)為8.4Hz，如果采用這個設(shè)計,，將會出現(xiàn)嚴重的后果,。成型板材質(zhì)為9.5mm厚的不銹鋼板，所以我們的初始想法是增大不銹鋼板的厚度,。但是隨著板厚的增加,，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也在增大，幾乎和剛度增大保持同一步調(diào),。最后得到的改善很微小,，當板厚增大到25mm時，整個結(jié)構(gòu)剛度的共振頻率大約提高到11Hz,，這種方法經(jīng)濟成本顯然過高,。 此時我們返回原點，考慮如何增加細長結(jié)構(gòu)的剛度。我們發(fā)現(xiàn)在成型板的上下表面之間幾乎沒有剪力傳遞結(jié)構(gòu),，這個發(fā)現(xiàn)使我們可以布置對角鋼筋來連接上下兩個板,，并且能夠保證板的厚度為9.5mm。新設(shè)計經(jīng)過計算得到一階模態(tài)頻率為13Hz,，使得成型板的固有頻率明顯高于造紙機的工作頻率,，避免了結(jié)構(gòu)共振，使得整個系統(tǒng)達到動力學上的平衡,。另外,，更薄的板（沒有使用25mm，而是9.5mm）意味著相比第一種改進方案,，后期的改進方案成本至少節(jié)省一半,。 考慮動力荷載 當一個結(jié)構(gòu)受到瞬態(tài)或隨時間變化的激勵時，比如一個電機發(fā)出呈穩(wěn)定正弦變化的荷載,，如果結(jié)構(gòu)的固有頻率遠低于或高于激勵頻率,，那么這個結(jié)果的響應(yīng)就像是受到靜力加載一樣。舉例來說,，一個結(jié)構(gòu)的固有頻率為10Hz,，受到了一個10Hz半正弦瞬時載荷沖擊，可以預(yù)料到結(jié)構(gòu)受沖擊后會發(fā)生振動,，隨后逐漸恢復(fù)到靜態(tài)零應(yīng)力狀態(tài),。但是，如果結(jié)構(gòu)受到的動力載荷隨時間變化,，比如10Hz正弦加載，那么這個結(jié)構(gòu)就會發(fā)生共振,。如果結(jié)構(gòu)中幾乎沒有阻尼,，比如金屬或剛性塑料結(jié)構(gòu)，我們就會觀察到引起失效的原因是經(jīng)典的諧共振現(xiàn)象,，1940年塔科馬海峽大橋坍塌就是因為諧共振現(xiàn)象,，當橋結(jié)構(gòu)不斷受到激勵載荷作用時，最終發(fā)生了最嚴重的共振作用,。消除共振作用的有效方法是將你的結(jié)構(gòu)自然頻率設(shè)計為低于或高于它的工作頻率,，這也是固有頻率分析的主要原因。 其中的數(shù)學原理 在之前的討論中我們沒有提到本征模態(tài)的幅值,，只提到了它的頻率和振型,，但是沒有提到關(guān)于幅值的描述。在本征模態(tài)分析中,，不需要對結(jié)構(gòu)施加載荷,，但是沒有載荷的作用，就不可能對實際中的本征模態(tài)做出預(yù)測。對本征模態(tài)或可能的變形模態(tài)的提取涉及到很多數(shù)學知識,，在大量的教科書上面都有詳細的講解,，核心思想是我們需要求解動力學方程： 如果阻尼[C]可以忽略，外力f(t)為0.0,，則上述方程可改寫成更容易求解的方程： 本征模態(tài)分析中這是一個關(guān)鍵方程,，表明對于結(jié)構(gòu)的自然模態(tài)來說，決定因素只是質(zhì)量和剛度,。 如何求解這個方程,，可以參考你的數(shù)學教科書。討論的要點是結(jié)構(gòu)的固有頻率可以簡寫為下面的方程式： 因為在本征值的計算中沒有使用力,，所以最終求解的本征模態(tài)單位為無量綱,。使用FEA軟件求解時，F(xiàn)EA軟件會對本征模態(tài)進行相應(yīng)的縮放,，以保證每個模態(tài)振型中的最大位移接近1.0,，或者與某個與結(jié)構(gòu)質(zhì)量相關(guān)的參數(shù)。當這些本征模態(tài)在FEA軟件中顯示出來的時候,，我們會發(fā)現(xiàn)軟件也給出了虛部值,，這種可視化方案對于第一次接觸動力學本征分析的新手來說，可能比較難以理解,。 模態(tài)分析基本的檢查清單 確定結(jié)構(gòu)的加載類型,，載荷是否可能會引起共振。盡量確定載荷的加載頻率,，確保它們在計算結(jié)構(gòu)的固有頻率之外,。 進行本征分析，檢查前三階簡正模態(tài)頻率,，確定它們是否在危險區(qū)域范圍內(nèi),。如果簡正模態(tài)頻率在加載頻率范圍之外，可以結(jié)束計算,，你的結(jié)構(gòu)在動力學方面很安全,。如果簡正模態(tài)頻率落在了你所關(guān)心的頻率區(qū)域范圍內(nèi)，并且相關(guān)結(jié)構(gòu)也不能夠進行重新設(shè)計,，即使出現(xiàn)一些共振,，也不至于完全不能接受。 |
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