一、 三重積分的概念

三重積分是二重積分的推廣，它的概念仍象定積分一樣,，經(jīng)過分割,，求和，

取極限三個步驟,，從而得到精確值.

定義12.3.1  設(shè)函數(shù)在三維空間的有界閉區(qū)域有定義,，用任意的曲面網(wǎng)T將分成n個小區(qū)域

任取，并仍用表示第i個小區(qū)域體積,，作和式

令,，如果存在常數(shù)，不論曲面網(wǎng)T如何作,，如何取,，都恒有

則稱在區(qū)域可積，稱為在上的三重積分,，記為其中稱為被積函數(shù),，則稱為三重積分的體積微元．

    同二重積分的情形一樣，我們有如下可積性定理：

    定理12.3.1  若在三維空間的有界閉區(qū)域連續(xù),則在可積,且

    定理12.3.2  若在三維空間的有界閉區(qū)域有界,，且不連續(xù)點(diǎn)只分布在的有限塊連續(xù)的曲面上,，則在可積，且

    三重積分的性質(zhì)也和二重積分的性質(zhì)完全類似,，這里從略．

二,、 直角坐標(biāo)系下三重積分的計算

定理14.4.3 設(shè)空間區(qū)域是以xoy的有界閉區(qū)域

的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面以及二曲面 與 所圍成的空間區(qū)域,，且在連續(xù),，則

如果空間區(qū)域滿足一定的條件，則三重積分

       (1)

可以化成先對,，再對,，最后對積分的累次積分．同理，在一定條件下,，我們也可將三重積分(1)化成其它順序的累次積分．

三,、 三重積分的換元法

    和二重積分積分類似，對某些類型的三重積分,，通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,，可以簡化計算.

    1. 利用柱面坐標(biāo)求三重積分

    在三維空間中建立直角坐標(biāo)系之后，我們?nèi)稳∫稽c(diǎn)如果把面的坐標(biāo)系換成極坐標(biāo)系,，則點(diǎn)又有了新的坐標(biāo),，這時，我們稱為點(diǎn)的柱面坐標(biāo)．

其中              

   當(dāng)（常數(shù)）時,，有

此時, ,，即表示以z軸為中心軸半徑為的圓柱面（如圖）

.

當(dāng)（常數(shù)）時,，有

由此可以推得（或），即表示以z軸為邊緣的半平面（如圖）．

    當(dāng)（常數(shù)）時,，有

表示與而平行的平面,，這平面在z軸的截距為（如圖）．

現(xiàn)在我們利用柱面坐標(biāo)計算三重積分．

    定理12.3.4  設(shè)在有界閉區(qū)連續(xù)，且點(diǎn)的柱面坐標(biāo)為,，則

從三重積分的定義可知,，當(dāng)時，有

    2. 利用球面坐標(biāo)計算三重積

    在直角坐標(biāo)系中,，從空間中任意一點(diǎn)作垂直于平面且交于點(diǎn)P,，連接OM及OP，記,，面對正z軸方向看,，自x軸正向按反時針轉(zhuǎn)到的角度為， 這里,，再記自z軸轉(zhuǎn)到的角度為,，這里．這樣對于空間中任一點(diǎn)，就有唯一的一組有序數(shù)與之對應(yīng)．這樣確定的

坐標(biāo)系稱為球坐標(biāo)系,，并記點(diǎn)M的球坐標(biāo)為,，如圖．

    球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系是

當(dāng)（常數(shù)）時，由 

得                         .

即表示球面(如圖)．

當(dāng)（常數(shù)）時,，由

得                

即 表示以軸為中心軸的錐面,，表示平面（如圖）．

當(dāng)（常數(shù)）時，由 

得                          

從而表示以z軸為邊界的半平面（如圖）．

現(xiàn)在我們利用球面坐標(biāo)來計算三重積分．

定理12.3.5  若f(x,y,z)在有界閉區(qū)域V連續(xù),，則

其中：是點(diǎn)M(x,y,z)的球面坐標(biāo)．

典型例題：

例1.  計算三重積分，其中由,與所圍成的區(qū)域．

解   

例2.  利用柱坐標(biāo)計算三重積分,，其中區(qū)域為半球體：

,，．

    解 

例3.  計算，其中V是

由與所圍成的

區(qū)域．

解 將代入中,，得

所以圓錐的頂角為．

    用球面坐標(biāo)代換,，區(qū)域V的球面坐標(biāo)表示為：

所以