萬有引力下的天體運動

柳河二中王帥 2017-11-01

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萬有引力定律的概念

萬有引力定律是英國物理學(xué)家牛頓的重要貢獻,。萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，是17世紀自然科學(xué)最偉大的成果之一,。它把地面上物體運動的規(guī)律和天體運動的規(guī)律統(tǒng)一了起來,，對以后物理學(xué)和天文學(xué)的發(fā)展具有深遠的影響,。它第一次解釋了（自然界中四種相互作用之一）一種基本相互作用的規(guī)律，在人類認識自然的歷史上樹立了一座里程碑,。萬有引力是我們高中物理必修二中獨立的一個章節(jié),，作為一種特殊的勻速率圓周運動模式，在高考物理試卷中每年必考,。

歷史：萬有引力定律是牛頓在1687年于《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》上發(fā)表的,。牛頓的普適萬有引力定律表示如下：任意兩個質(zhì)點通過連心線方向上的力相互吸引。該引力的大小與它們的質(zhì)量乘積成正比,，與它們距離的平方成反比,，與兩物體的化學(xué)本質(zhì)或物理狀態(tài)以及中介物質(zhì)無關(guān)。

萬有引力定律的公式

公式為F引=GMm/（R²）

其中：F引為M與m之間的萬有引力,；G為萬有引力常量（由卡文迪許測量出）,；M為某個天體的質(zhì)量，m為研究對象的質(zhì)量,，R為兩者的距離,。

萬有引力定律的基礎(chǔ)：開普勒行星運動三大定律

開普勒行星運動三定律內(nèi)容如下：

開普勒定律

開普勒第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運動，太陽則處在這些橢圓軌道的一個焦點上,；

開普勒第二定律：行星沿橢圓軌道運動的過程中,，與太陽的連線在單位時間內(nèi)掃過的面積相等；

開普勒第三定律：行星軌道半長軸的立方與其周期的平方成正比,，即:(R³)/(T²)=k 開普勒行星運動的定律是在丹麥天文學(xué)家弟答的大量觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上概括出的,，給出了行星運動的規(guī)律，而這些規(guī)律正式萬有引力問世的前提,。

萬有引力與重力的關(guān)系

一般的星球都在不停地自轉(zhuǎn),，因此星球表面上的物體所受的萬有引力F有兩個作用效果：一個是重力G，一個是向心力fn,。它們間的關(guān)系是：F=G+fn（F是G和fn的矢量和）,。

地球表面的物體所受到的向心力fn的大小不超過重力G的0.35%，因此在計算中往往認為萬有引力和重力大小相等,。

在地球萬有引力作用下的人造衛(wèi)星

地球人造衛(wèi)星所受的萬有引力只有一個作用效果,，就是使它繞星球做勻速圓周運動。根據(jù)牛頓運動定律內(nèi)容,，地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力等于其向心力,。用公式來表達就是F引=Gm1m2/（R^2）=mvω；

天體與萬有引力定律

（1）人造衛(wèi)星的線速度和周期,。從公式中我們可以推出,，人造衛(wèi)星的軌道半徑r、線速度大小v和周期T是一一對應(yīng)的，其中一個量確定后,，另外兩個量也就唯一確定了,。離地面越高的人造衛(wèi)星，勻速圓周運動線速度,、角速度,、加速度越小，但是周期越大,。

（2）近地人造衛(wèi)星,。近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認為等于地球半徑R。因為是在地球地面附近,，根據(jù)上一條性質(zhì),，我們不難有這樣的結(jié)論：近地衛(wèi)星是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的最大線速度、最小周期,。

（3）同步人造衛(wèi)星,。“同步”的含義就是和地球保持相對靜止（也叫靜止軌道衛(wèi)星）,。同步衛(wèi)星的周期等于地球自轉(zhuǎn)周期,，既T=24h，根據(jù)（1）可知其軌道半徑是唯一確定的,，經(jīng)過計算可求得同步衛(wèi)星離地面的高度為h=3.6×107m≈5.6R地（3.6萬公里）。該軌道必須在地球赤道的正上方,，衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)方向必須是由西向東,，與地球一致。

在萬有引力作用下雙星的運動

宇宙中往往會有相距較近,，質(zhì)量可以相比的兩顆星球,，它們離其它星球都較遠，因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計,。在這種情況下,，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動。在天文學(xué)中,，我們把這種運動模式的星體結(jié)構(gòu)叫做雙星,。由于雙星和該固定點總保持三點共線，所以在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度必相等,，即雙星做勻速圓周運動的角速度必相等,，因此周期也必然相同。

雙子星的運動

由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的,，因此大小必然相等,，由F引=mvω，得，因此,，即固定點離質(zhì)量大的星較近,。由于角速度相同，還可推出線速度大小跟質(zhì)量成反比,。在解題的運算過程中需要注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離,，而向心力表達式中的r表示它們各自做圓周運動的半徑，兩者是不一樣的,，因此在具體的問題中要具體對待,，千萬不可混淆。

萬有引力定律的常量G數(shù)值

牛頓在推出萬有引力定律的同時,，并沒能得出引力常量G的具體值,。

卡文迪許

G的數(shù)值于1789年由卡文迪許利用他所發(fā)明的扭秤得出?？ㄎ牡显S的扭秤試驗,，不僅以實踐證明了萬有引力定律，同時也讓此定律有了更廣泛的使用價值,。卡文迪許測出的G=6.7*10^-11 N*m^2/kg^2,，與現(xiàn)在的公認值6.67×10^-11N*m^2/kg^2極為接近；直到1969年G的測量精度還保持在卡文迪許的水平上,。