模型介紹

1.異側(cè)型：

問題1：如圖1-1，在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小,，即PA+PB最小.

解決方案：如圖1-2，連接AB,，與定直線l的交點(diǎn)Q即為所要尋找的點(diǎn),，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB最小,，且最小值等于AB.

原理及分析：本質(zhì)原理是“兩點(diǎn)之間,，線段最短”；也可以看成“三角形任意兩邊之和大于第三邊”,；還可以用“折大于直”思想看待.

在這個(gè)最基本也是最簡(jiǎn)單的問題中,，同學(xué)們還需認(rèn)真分析這個(gè)問題中哪些是“定”的,？哪些是“動(dòng)”的？“動(dòng)”的東西在什么上動(dòng),？只有認(rèn)真思考了這三個(gè)問題,，才能真正把握問題本質(zhì)，尤其是在后續(xù)的逐漸變式拓展中,，更需搞懂這些內(nèi)涵,，把握“動(dòng)靜”，才能正確運(yùn)用.

點(diǎn)A,、點(diǎn)B是兩個(gè)定點(diǎn)，直線l是一條定直線,，這是問題的“不變的”背景,；只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在定直線l上運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)是動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小值,，即這是一個(gè)“兩定一動(dòng)型”最值問題,，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”,，直接連接兩定點(diǎn)即可解決問題.

 2.同側(cè)型：（轉(zhuǎn)化為“異側(cè)型”解決）

問題2：如圖2-1,，在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小,，即PA+PB最小.

解決方案：如圖2-2,，作出定點(diǎn)B關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，點(diǎn)C也是一個(gè)定點(diǎn),，從而可以將“同側(cè)型”最值問題順利轉(zhuǎn)化為上面的“異側(cè)型”最值問題,；

連接AC，與定直線l的交點(diǎn)Q即為所要尋找的點(diǎn),，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處,，PA+PB最小，且最小值等于AC.

原理及分析：本質(zhì)原理依然是“兩點(diǎn)之間,，線段最短”,；也可以看成“三角形任意兩邊之和大于第三邊”；還可以用“折大于直”思想看待.

這個(gè)模型就是同學(xué)們耳熟能詳?shù)摹皩④婏嬹R”模型,，通過上面的解法可以看出,，解決這個(gè)模型的關(guān)鍵是：“對(duì)稱轉(zhuǎn)化”，即通過作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱定點(diǎn),，轉(zhuǎn)化上面已解決的簡(jiǎn)單模型.

此外,，同學(xué)們?nèi)匀恍枵J(rèn)真分析“將軍飲馬”模型中哪些是“定”的？哪些是“動(dòng)”的,？“動(dòng)”的東西在什么上動(dòng),？只有認(rèn)真思考了這三個(gè)問題,，才能真正把握問題本質(zhì)；只有把握“動(dòng)靜”,，才能搞懂“內(nèi)涵”,，最終才能運(yùn)用自如，不至于“鬧笑話”,，這一點(diǎn)會(huì)在后續(xù)“例題實(shí)戰(zhàn)”中體現(xiàn)出來.

在“將軍飲馬”模型中,，點(diǎn)A、點(diǎn)B是兩個(gè)定點(diǎn),，直線l是一條定直線,，這是問題的“不變的”背景；只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在定直線l上運(yùn)動(dòng),，目標(biāo)是動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小值,，即這仍是一個(gè)“兩定一動(dòng)型”最值問題.

特別提醒：“將軍飲馬”模型是一個(gè)“兩定一動(dòng)型”最值問題，“兩定一動(dòng)型”最值問題,，“兩定一動(dòng)型”最值問題,！重要的事情說三遍！而非“兩動(dòng)一定型”最值問題,，“兩動(dòng)一定型”最值問題,，“兩動(dòng)一定型”最值問題，或其他類型,！

1.異側(cè)型：

問題3：如圖3-1,，已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn),，在定直線l上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N,，且MN等于定長(zhǎng)d（動(dòng)點(diǎn)M位于動(dòng)點(diǎn)N左側(cè)），使AM+MN+NB最小.

解決方案：先分析目標(biāo)問題,，要求的是三條線段AM+MN+NB最小值,，而且這三條線段恰好構(gòu)成一條折線，第一想法是運(yùn)用“折大于直”思想,，連接AB即為最小值,；但再去畫圖分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)不對(duì)勁,，AB與l只有一個(gè)交點(diǎn),，這個(gè)交點(diǎn)是M呢？還是N呢,？看來都不是,！

直線l上需要找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N，但這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)是相互牽制,、相互約束,、彼此影響地,，即始終保持MN等于定長(zhǎng)d，且動(dòng)點(diǎn)M位于動(dòng)點(diǎn)N左側(cè),；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M確定下來,，動(dòng)點(diǎn)N也會(huì)隨之向右平移d個(gè)單位確定下來；

很明顯這已經(jīng)不是我們前面介紹的“將軍飲馬”模型了,，而變成了一個(gè)“兩定兩動(dòng)型”最值問題,，那這個(gè)問題如何解決呢？

解決的關(guān)鍵還是在“平移”上下文章：要求三條動(dòng)線段AM+MN+NB最小值,，其中MN的長(zhǎng)度為d確定,，問題自然可以轉(zhuǎn)化為兩條動(dòng)線段AM+NB最小值，動(dòng)線段的數(shù)量上減少了1,，

這是解決這個(gè)問題的第一步“轉(zhuǎn)化”,；

雖然轉(zhuǎn)化后，動(dòng)線段的數(shù)量減少了,，但動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)還是沒有變化，依然是一個(gè)“兩定兩動(dòng)型”最值問題,，即A,、B為定點(diǎn)，M,、N為動(dòng)點(diǎn),；

可不可以將動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)減少，將“兩定兩動(dòng)型”最值問題轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)型”最值問題呢,？如果轉(zhuǎn)化成功,，那就有可能變?yōu)榍懊娴摹皩④婏嬹R”模型啊,！這就是此問題的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn),！

如圖3-2，將定點(diǎn)A沿著定直線l的方向向右平移d個(gè)距離得到點(diǎn)C,，點(diǎn)C也是一個(gè)定點(diǎn),，構(gòu)造出平行四邊形ACNM，從而有AM+NB=CN+NB,，要求AM+NB的最小值,，只需求CN+NB的最小值，順利將本問題轉(zhuǎn)化為了前面的問題1,；

如圖3-3,，連接CB，與定直線l的交點(diǎn)N即為所要尋找的點(diǎn)N,，而點(diǎn)M只需將點(diǎn)N向左平移d個(gè)單位即可找到,，此時(shí)AM+MN+NB的最小值等于d+CB.

 原理及分析：本模型的解決方案最關(guān)鍵的是平移思想的妙用,，抓住整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的不變量MN=d，即動(dòng)線段MN的長(zhǎng)度始終保持不變,，“狠抓這個(gè)變化中不變的量”,，將一個(gè)定點(diǎn)沿著定直線的方向平移d個(gè)距離，從而將問題順利轉(zhuǎn)化為前文中“異側(cè)型將軍飲馬模型”,，所以此模型不妨將之稱為異側(cè)型平移后“將軍飲馬”模型,！

在這個(gè)異側(cè)型平移后“將軍飲馬”模型中，同學(xué)們需認(rèn)真分析哪些是“定”的,？哪些是“動(dòng)”的,？“動(dòng)”的東西在什么上動(dòng)？只有認(rèn)真思考了這三個(gè)問題,，才能真正把握問題本質(zhì),，尤其是在后續(xù)的逐漸變式拓展中，更需搞懂這些內(nèi)涵,，把握“動(dòng)靜”,，才能正確運(yùn)用：點(diǎn)A、點(diǎn)B是兩個(gè)定點(diǎn),，直線l是一條定直線,，還有動(dòng)線段MN的長(zhǎng)度為d不變，這是問題的“不變的”背景,；有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,、N在定直線l上運(yùn)動(dòng)，但始終保持MN=d不變,，即M,、N之間相互制約；目標(biāo)是一條折線A-M-N-B的最小值,，這是一個(gè)“兩定兩動(dòng)型”最值問題.解決此模型問題的關(guān)鍵是先抓住“MN=d不變”,，將三條動(dòng)線段最值問題轉(zhuǎn)化為兩條動(dòng)線段最值問題；然后還是抓住“MN=d不變”,，將其中一個(gè)定點(diǎn)按照MN的方向平移d個(gè)單位,，將“兩定兩動(dòng)型”平移后“將軍飲馬”模型問題轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)型”“將軍飲馬”模型問題！

看,，問題的關(guān)鍵還是“抓不變量”（還有“平移思想”）,！這就是我想表達(dá)的“思想決定高度”，即站在一定高度的數(shù)學(xué)思想方法上,，用一個(gè)高視角重新審視問題,，那么很多問題就不再是問題了！

2.同側(cè)型：

問題4：如圖4-1,，已知A,、B是兩個(gè)定點(diǎn),，在定直線l上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N，且MN等于定長(zhǎng)d（動(dòng)點(diǎn)M位于動(dòng)點(diǎn)N左側(cè)）,，使AM+MN+NB最小.

解決方案：先分析目標(biāo)問題,，要求的是三條線段AM+MN+NB最小值，而且這三條線段恰好構(gòu)成一條折線,，第一想法是運(yùn)用“折大于直”思想,，連接AB即為最小值；但再去畫圖分析,，就會(huì)發(fā)現(xiàn)不對(duì)勁,，AB與l只有一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)是M呢,？還是N呢,？看來都不是！

其實(shí)這個(gè)問題可以同剛剛的問題3一樣去分析轉(zhuǎn)化解決,，還是不贅述了,，同學(xué)們結(jié)合下面的圖形自行分析解決.

在圖4-4中，點(diǎn)M,、N即為所要找的點(diǎn),，d+CD的值即為所求最小值.

 原理及分析：對(duì)于這個(gè)問題的解決，上面的解法中主要是在圖4-2中,，把定點(diǎn)B關(guān)于定直線l的對(duì)稱定點(diǎn)C作出來，然后問題就自然轉(zhuǎn)化成了問題3,，即“同側(cè)型”問題通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為“異側(cè)型”模型解決,，這就是數(shù)學(xué)里極其重要的化歸思想，將目前正在解決的問題,，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q或者變形,，巧妙轉(zhuǎn)化為剛剛已經(jīng)解決的問題，或者自己以前解決過的問題等,，化未知為已知.

學(xué)習(xí)本身就是一種轉(zhuǎn)化”,，化“未知的領(lǐng)域”為“已知的領(lǐng)域”，化“今天的新知”為“昨天的舊知”,，化難為易,，化繁為簡(jiǎn)，化抽象為具體等等,！總而言之,，學(xué)生解題需要時(shí)刻懷揣轉(zhuǎn)化意識(shí)，讀已知條件,，想想能得到什么,，讀結(jié)論所求,，想想怎么得到它，轉(zhuǎn)化無處不在,，心有轉(zhuǎn)化,，則萬物皆可轉(zhuǎn)化，心無轉(zhuǎn)化,，則思維必將停滯不前.

化歸不僅是一種重要的解題思想,，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式,。所謂的化歸思想方法,，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法,。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題,；將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題,?？傊瘹w在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在,，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉,，復(fù)雜化成簡(jiǎn)單，抽象化成直觀,，含糊化成明朗,。說到底，化歸的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn),，以及事物之間相互聯(lián)系,，相互制約的觀點(diǎn)看待問題，善于對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化,，使問題得以解決,，化歸的實(shí)質(zhì)是不斷變更問題！

上面對(duì)于問題4的解決,，主要是兩個(gè)步驟,，先是“對(duì)稱轉(zhuǎn)化”，再是“平移轉(zhuǎn)化”,！其實(shí),，問題4也可以先進(jìn)行“平移轉(zhuǎn)化”，即先將點(diǎn)A平移至點(diǎn)D處,，從而將問題先轉(zhuǎn)化成DN+BN最小,，而轉(zhuǎn)化后的問題就是一個(gè)同側(cè)型“將軍飲馬”模型；再借助“對(duì)稱轉(zhuǎn)化”解決即可！

因而這個(gè)模型不妨稱之為同側(cè)型平移后“將軍飲馬”模型,！

3.變式1：

問題5：如圖5-1,，已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn),，兩條平行直線l與m之間的距離為定值d,，在定直線l上找一動(dòng)點(diǎn)M，在定直線m上找一動(dòng)點(diǎn)N,，且MN始終垂直于定直線l（或m）,，使AM+MN+NB最小.

解決方案：這個(gè)問題解決的關(guān)鍵，還是平移思想的妙用,，狠狠抓住整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的不變量MN=d,，即動(dòng)線段MN的長(zhǎng)度始終保持不變，而且還是需要“抓兩次”,；

一抓“不變量MN=d”：要求AM+MN+NB的最小值,，只需求AM+NB的最小值，將三條動(dòng)線段最值問題轉(zhuǎn)化為兩條動(dòng)線段最值問題,，減少動(dòng)線段的數(shù)量,，盡管動(dòng)點(diǎn)的數(shù)量依然沒有減少，還是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),；

二抓“不變量MN=d”：如圖5-2,，將定點(diǎn)A沿著MN的方向向下平移d個(gè)距離得到點(diǎn)C，點(diǎn)C也是一個(gè)定點(diǎn),，構(gòu)造出平行四邊形ACNM,，從而有AM+NB=CN+NB，要求AM+NB的最小值,，只需求CN+NB的最小值,，順利將本問題轉(zhuǎn)化為了最初始的問題1，即把“兩定兩動(dòng)型”最值問題轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)型”“將軍飲馬”問題,！

如圖5-3,，連接CB,，與定直線m的交點(diǎn)N即為所要尋找的點(diǎn)N,，過點(diǎn)N作直線l的垂線，垂足即為所要找的點(diǎn)M,，此時(shí)AM+MN+NB最小,，且等于d+CB.

 原理及分析：對(duì)于這個(gè)問題的解決，依然主要是抓不變量MN的方向及長(zhǎng)度,，將其中一定點(diǎn)沿著這個(gè)不變的方向平移這個(gè)不變的長(zhǎng)度,，順利將問題轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”模型！

有老師稱這個(gè)模型為“過街天橋”模型，我還是喜歡稱之為平移后“將軍飲馬”模型,，這個(gè)名稱將其解決方法體現(xiàn)地更明確些,！總而言之，名稱都不是回事,，關(guān)鍵還是理解,，所謂名稱也是“仁者見仁智者見智”，便于記憶,、理解罷了,！

4.變式2：

其實(shí)只要MN的方向、長(zhǎng)度確定,，相應(yīng)模型都可以類似解決,，方向未必水平或者豎直，也可以是“斜方向”.

問題6：如圖6-1,，已知A,、B是兩個(gè)定點(diǎn)，在定直線l上找一動(dòng)點(diǎn)M,，在平面內(nèi)找一動(dòng)點(diǎn)N,，MN的方向確定，即MN與直線l右側(cè)部分相交所得的銳角為α ,，且MN等于定長(zhǎng)d,，使AN+NM+MB最小.

解決方案：這個(gè)問題的解決方法，同變式1,；

一抓“不變量MN=d”：要求AN+NM+MB的最小值,，只需求AN+MB的最小值，將三條動(dòng)線段最值問題轉(zhuǎn)化為兩條動(dòng)線段最值問題,，減少動(dòng)線段的數(shù)量,，盡管動(dòng)點(diǎn)的數(shù)量依然沒有減少，還是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),；

二抓“不變量MN=d”：如圖6-2,，將定點(diǎn)A沿著NM的方向，向左下方平移d個(gè)距離得到點(diǎn)C,，點(diǎn)C也是一個(gè)定點(diǎn),，構(gòu)造出平行四邊形ACMN，從而有AN+MB=CM+MB,，要求AN+MB的最小值,，只需求CM+MB的最小值，順利將本問題轉(zhuǎn)化為了最初始的問題1,，即把“兩定兩動(dòng)型”最值問題轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)型”“將軍飲馬”問題,！

如圖6-3，連接CB，與定直線l的交點(diǎn)M即為所要尋找的點(diǎn)M,，再將點(diǎn)M作相應(yīng)平移即可找到點(diǎn)N,，此時(shí)AN+NM+MB最小，且等于d+CB.

變式2依然可稱為平移后“將軍飲馬”模型,，趣味十足,！

今天我們重點(diǎn)講解了平移后“將軍飲馬”模型的介紹及解決方案，敬請(qǐng)期待明天的實(shí)戰(zhàn)分析,！搞懂了模型,，做題就如“順?biāo)浦邸保阋欢〞?huì)“怡然自得”,、“談笑風(fēng)生”,！模型研究，非常有趣,，值得同學(xué)們認(rèn)真思考模型的演變過程及解決方案,、思維方法的不變性！

（本文完?。?/p>

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