本文轉載自【吳國平數(shù)學教育】并得到授權添加原創(chuàng)標志,！

在高考數(shù)學當中,，與解不等式相關的題目一直是高考數(shù)學的熱點和必考考點之一，應用非常廣泛,。如在求函數(shù)的定義域,、值域、求參數(shù)的取值范圍等等,，都需要用到解不等式相關的知識內容,。

從歷年高考數(shù)學試題來看,與解不等式相關的內容幾乎每年都會考到,有的是直接考查解不等式,有的則是間接考查解不等式。如一些問題往往與函數(shù)概念,特別是二次函數(shù),、指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)等有關概念和性質密切聯(lián)系。

不等式相關的高考數(shù)學試題一般考查不等式的基本概念,、不等式基本性質,、二元一次不等式（組）、一元二次不等式等等知識上面,。

為了更好幫助大家學習和掌握好不等式的知識,，今天我們就一起來講講一元二次不等式相關知識內容，以及解法等等,。

一元二次不等式是高中數(shù)學的重要內容之一,，也是高中數(shù)學教學中比較穩(wěn)定的內容，在高考中也常常與數(shù)列,、解析幾何,、向量、函數(shù)等結合在一起,考查學生對數(shù)形結合,、函數(shù)與方程,、化歸、一般與特殊相互轉化等等數(shù)學思想方法掌握情況,。

學好數(shù)學，能很好鍛煉和培養(yǎng)一個人的邏輯思維能力,，一元二次不等式相關的知識內容,、方法技巧，所蘊含豐富的數(shù)學思想等等,，這些都能很好幫助一個人提高邏輯思維能力,，學好中職數(shù)學有必要將內容各個擊破，做好針對性訓練,，為升學打下堅實基礎,。

那么，什么是一元二次不等式,？

一元二次不等式,，是指含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式,。它的一般形式是 ax2+bx+c>0 、ax2+bx+c≠0,、ax2+bx+c<0（a不等于0）,。

要想學好一元二次不等式的內容，會運用一元二次不等式知識解決問題,，就必須理解一元二次不等式的解集,。

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根與一元二次不等式ax2＋bx＋c>0與ax2＋bx＋c<0的解集的關系,，可歸納為：

若a<0時,，可以先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，對照上表求解．

典型例題分析1：

解下列不等式：

(1)0＜x2－x－2≤4,；

(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．

(2)由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0.

由于a≠0故分a＞0與a＜0討論．

當a＜0時,，x＜5a或x＞－a；

當a＞0時,，x＜－a或x＞5a.

綜上,，a＜0時，解集為{x|x＜5a,，或x＞-a},；

a＞0時，解集為{x|x＞5a,，或x＜-a}.

解題反思：

認真掌握好解一元二次不等式的一般步驟：

1,、對不等式變形，使一端為0且二次項系數(shù)大于0,，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0),，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；

2,、計算相應的判別式,；

3、當Δ≥0時,，求出相應的一元二次方程的根,；

4、根據(jù)對應二次函數(shù)的圖象,，寫出不等式的解集,；

5、解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解,，再對根的大小進行分類討論,；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論,，分類要不重不漏,。

要想正確解出一元二次不等式,，我們一定要應注意以下四個問題：

1、在解一元二次不等式時,，要先把二次項系數(shù)化為正數(shù),；

2、二次項系數(shù)中含有參數(shù)時,，參數(shù)的符號會影響不等式的解集,，討論時不要忘記二次項系數(shù)為零的情況；

3,、解決一元二次不等式恒成立問題要注意二次項系數(shù)的符號,；

4、一元二次不等式的解集的端點與相應的一元二次方程的根及相應的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標相同,。

典型例題分析2：

解下列不等式：

(1)－3x2－2x＋8≥0,；

(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．

解：(1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，

即(3x－4)(x＋2)≤0.

解得－2≤x≤4/3,，

所以原不等式的解集為{x|－2≤x≤4/3}.

(2)原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)＜0,，

因為a＞0，所以(x-1/a)(x－1)＜0.

所以當a＞1時,，解為1/a＜x＜1,；

當a＝1時，解集為?,；

當0＜a＜1時,，解為1＜x＜1/a.

綜上，當0＜a＜1時,，不等式的解集為{x|1＜x＜1/a},；

當a＝1時，不等式的解集為?,；

當a＞1時,，不等式的解集為{x|1/a＜x＜1}.

對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方,；恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．

謹記一元二次不等式恒成立的條件：

1,、ax2＋bx＋c＞0(a≠0)(x∈R) 恒成立的充要條件是：

a＞0且b2－4ac＜0.

2、ax2＋bx＋c＜0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要條件是：

a＜0且b2－4ac＜0.

典型例題分析3：

設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c,，函數(shù)F(x)＝f(x)－x的兩個零點為m，n(m＜n)．

(1)若m＝－1,，n＝2,，求不等式F(x)＞0的解集；

(2)若a＞0,，且0＜x＜m＜n＜1/a,，比較f(x)與m的大?。?/p>

解：由題意知，F(xiàn)(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n),，

當m＝－1,，n＝2時，

不等式F(x)＞0,，

即a(x＋1)(x－2)＞0.

當a＞0時,，

不等式F(x)＞0的解集為{x|x＜－1，或x＞2},；

當a＜0時,，

不等式F(x)＞0 的解集為{x|－1＜x＜2}．

(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m

＝(x－m)(ax－an＋1)，

∵a＞0,，且0＜x＜m＜n＜1/a,，

∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.

∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.

學習一元二次不等式難點之一就是求含參數(shù)的一元二次不等式的解集,，要想掌握好此部分內容,，那么大家首先要搞清楚不含參數(shù)時如何解不等式，總結出其核心思想就是“一求,、二畫,、三寫”三步曲。即先求相應的一元二次方程的根,，然后畫出相應的一元二次函數(shù)的草圖,，最后寫出不等式的解集。它將三個“二次”（二次不等式,、二次方程,、二次函數(shù)）之間的關系有機地結合起來，凸顯數(shù)形結合等數(shù)學思想,。

典型例題分析4：

一個服裝廠生產風衣,，月銷售量x(件)與售價p(元/件)之間的關系為p＝160－2x，生產x件的成本R＝500＋30x(元)．

(1)該廠月產量多大時,，月利潤不少于1 300元,？

(2)當月產量為多少時，可獲得最大利潤,，最大利潤是多少,？

解：(1)由題意知，月利潤y＝px－R,，

即y＝(160－2x)x－(500＋30x)

＝－2x2＋130x－500.

由月利潤不少于1 300元,，得－2x2＋130x－500≥1 300.

即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.

故該廠月產量在20～45件時,，月利潤不少于1 300元．

 (2)由(1)得,，y＝－2x2＋130x－500

＝－2(x-65/2)2＋3225/2,，

由題意知，x為正整數(shù)．

故當x＝32或33時,，y最大為1 612.

所以當月產量為32或33件時,，可獲最大利潤，最大利潤為1 612元．

方程實際應用問題是我們常見的題型之一,，同樣,，在現(xiàn)實生活當中也需要運用不等式關系去解決問題。高考數(shù)學就明確要求,，讓考生扎實掌握和學會運用不等式相關知識內容去解決實際問題,，為今后的工作和生活打下基礎。

高考數(shù)學對不等式實際應用的具體要求,，我們可以從四個方面去消化：

1,、了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景．,；

2,、會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；

3,、通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù),、一元二次方程的聯(lián)系；

4,、會解一元二次不等式,，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖,。

通過對高考數(shù)學考試要求進行分析,，我們一定要學會通過具體情境，建立不等式模型,；掌握一元二次不等式解法,，理解一元二次不等式、一元二次方程,、二次函數(shù)之間關系并能熟練運用,。

解不等式相關的實際應用題，一般可按以下四個步驟進行：

1,、認真審題,，把握問題中的關鍵量，找準不等關系,；

2,、引進數(shù)學符號，用不等式表示不等關系；

3,、解不等式；

4,、回答實際問題,。

典型例題分析5：

某商品每件成本價為80元，售價為100元,，每天售出100件．若售價降低x成(1成＝10%),，售出商品數(shù)量就增加8x/5成．要求售價不能低于成本價。

(1)設該商店一天的營業(yè)額為y,，試求y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x),，并寫出定義域；

(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元,，求x的取值范圍．

解：(1)由題意得y＝100（1-x/10）·100(1+8x/50).

因為售價不能低于成本價,，

所以100（1-x/10）－80≥0.

所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定義域為[0,2]．

(2)由題意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260,，

化簡得8x2－30x＋13≤0.

解得1/2≤x≤13/4.

所以x的取值范圍是[1/2,2].

要想在高考數(shù)學中拿到一元二次不等式的分數(shù),，其實不難，關鍵要認真去掌握好知識,，提高運用能力,，重點知識重點突破，不放過任何一個小細節(jié),。如要熟練掌握一元一次不等式(組),、一元二次不等式(組)的解法；掌握好用零點分段法解高次不等式和分式不等式,特別要注意因式的處理方法,；了解簡單的無理不等式,、指數(shù)不等式和對數(shù)不等式轉化為一元二次不等式(組)基本類型及其解法。