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旋轉(zhuǎn)定義：

在平面內(nèi),，把一個圖形繞一個定點(diǎn)沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度,，這樣的圖形運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心,，旋轉(zhuǎn)的角叫做旋轉(zhuǎn)角,，如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)Pˊ，那么這兩個點(diǎn)叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn),。

 旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：

①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,。

②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

③旋轉(zhuǎn)前,、后的圖形全等,。

旋轉(zhuǎn)三要素：

①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向,；③旋轉(zhuǎn)角度,。

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手拉手旋轉(zhuǎn)

所謂手拉手旋轉(zhuǎn),，就是把兩個全等或相似的三角形繞著一對重合的對應(yīng)頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),，在旋轉(zhuǎn)的過程中,，再次生成一對全等或相似的三角形.其常見圖形如下：

1,、一對相似的等腰三角形（以等腰直角三角形和等邊三角形最為常見）的頂角頂點(diǎn)重合

已知△ABC∽△ADE可得△ABD≌△ACE

2、全等三角形的一對對應(yīng)頂點(diǎn)重合

已知△ABC≌△ADE  可得△ABD∽△ACE

3,、一對相似三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)重合

已知△ABC∽△DEC可得△BCD∽△ACE

手拉手旋轉(zhuǎn)中以共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形和共頂點(diǎn)的等邊三角形最為常見,，下面我們就以這兩種形式為例.來探究一下它們在旋轉(zhuǎn)中會出現(xiàn)哪些結(jié)論.

一、共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形

如圖,，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形,， ∠ABC=∠EBD=90°，AB=BC，EB=BD.試探究線段AE和CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.并說明理由.

解：AE=CE且AE⊥CD

理由如下：因?yàn)椤鰽BC和△EBD都是等腰直角三角形,，所以AB=CB,EB=DB,，且∠ABC=∠EBD=90°，則∠ABE=∠CBD.所以△ABE≌△CBD.所以AE=CD,；

如圖,，延長CD分別交AE、AB于點(diǎn)F,、G.

由全等可知,，∠BAE=∠BCD.又∠AGF=∠CGB

所以∠AFG=∠CBG=90°，即AE⊥CD.

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二,、共頂點(diǎn)的等邊三角形

如圖，△ABC和△DBE都是等邊三角形,，連接AE,、CD.

求證：（1）AE=CD，（2）AE和CD所在直線所成的銳角等于60°

證明：因?yàn)?span>△ABC和△DBE都是等邊三角形

所以AB=CB,EB=DB,，且∠EBD=∠ABC=60°.

所以∠ABE=∠CBD

所以△ABE≌△CBD.

所以AE=CD.

（2）如圖,，延長CD分別交AE、AB于點(diǎn)F,、G.

由全等可得,，∠GAF=∠BCG，又∠AGF=∠CGB.

所以∠AFG=∠CBG=60°.

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近年來,，手拉手旋轉(zhuǎn)在各地的中考試卷中屢次出現(xiàn)，尤以等邊三角形的手拉手和共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形為甚.今天我們就以幾道河南中考題為例,，探究一下手拉手旋轉(zhuǎn)在河南中考中的應(yīng)用.

（2017·河南）如圖1,，在Rt△ABC中，∠A=90°,，AB=AC,，點(diǎn)D，E分別在邊AB,，AC上,，AD=AE，連接DC,，點(diǎn)M,，P，N分別為DE,，DC,，BC的中點(diǎn)．

（1）觀察猜想

 圖1中,，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是     ，位置關(guān)系是      ,；

（2）探究證明

 把△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,，連接MN，BD,，CE,，判斷△PMN的形狀，并說明理由,；

（3）拓展延伸

把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),，若AD=4，AB=10,，請直接寫出△PMN面積的最大值．

分析：（1）由題可知BD=CE且BD⊥CE.又因?yàn)辄c(diǎn)P,、M、N分別是CD,、DE,、BC的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知,，PM=1/2CE且PM//CE,；PN=1/2BD且PN//BD.所以PM=PN且PM⊥PN.當(dāng)然，對于本題,，結(jié)合題中的幾個中點(diǎn),，也可通過倍長中線或延長過中點(diǎn)的線段交平行線添加輔助線.如圖：

證明方法可參照中考數(shù)學(xué)中的基本模型——中點(diǎn)模型，請同學(xué)們自行完成.

（2）審題可知,，圖中有一對共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,，易證△ABD≌△ACE.由全等可得，BD=CE且BD⊥CE.再根據(jù)中位線的性質(zhì)得,，PM=1/2CE,，PM//CE；PN=1/2BD,，PN//BD.所以BD=CE且BD⊥CE.

（3）由第二問可知,，△PMN是等腰直角三角形.

所以S△PMN=1/2PM*PN=1/8BD^2,

所以當(dāng)BD取最大值時，△PMN的面積有最大值

分析可知,，當(dāng)點(diǎn)D落在BA的延長線上時,，BD有最大值，此時BD=10=4=14.

所以△PMN面積的最大值為49/2.

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（2016·河南）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1,，點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn)，且BC=a,，AB=b．

填空：當(dāng)點(diǎn)A位于                                      　時,，線段AC的長取得最大值，且最大值為                      （用含a,，b的式子表示）

（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn),，且BC=3，AB=1,，如圖2所示,，分別以AB，AC為邊,，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,，連接CD，BE．

①請找出圖中與BE相等的線段,，并說明理由,；

②直接寫出線段BE長的最大值．

（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中,，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,，0）,，點(diǎn)P為線段AB外一動點(diǎn)，且PA=2,，PM=PB,，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

分析：（1）如圖：

觀察上面動圖,，你有答案了嗎,？對，當(dāng)點(diǎn)A位于CB延長線上時,，AC有最大值,，此時AC=a b.

（2）題中有一對共頂點(diǎn)等邊三角形，易證△BAE≌△DAC,，所以BE=DC,，要使BE最大，只需CD最大即可.由上題可知,，當(dāng)點(diǎn)D落在CB的延長線上時,，CD有最大值，此時CD=CB BD=3 1=4,，所以BE的最大值是4.

（3）解法一：由題可知△PBM是等腰直角三角形,，可構(gòu)造共頂點(diǎn)的等腰直角三角形.將點(diǎn)A繞點(diǎn)P順時針方向90°得到點(diǎn)C.如下作圖：

連接AC，BC.則AC=2√2.

易證△BPC≌△MPA.所以BC=AM.

要使AM取最大值,，只需BC取最大值即可.

當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線上時,，BC取最大值.此時,，BC=BA AC=2√2 3.

所以AM的最大值是2√2 3.

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（2-√2，√2）

解法二：將點(diǎn)A繞點(diǎn)P沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C.

如下左圖. 連接AC,，MC.則AC=2√2.

易證△MPC≌△BPA.所以MC=BA=3,.

當(dāng)點(diǎn)C落在線段AM上時,，AM取最大值，此時,，AM=AC MC=2√2 3.

解法三：捆綁旋轉(zhuǎn)法（關(guān)于捆綁旋轉(zhuǎn),，可參閱文章再說捆綁旋轉(zhuǎn)）. 由題可知，AP=2,，且點(diǎn)A為定點(diǎn),，所以點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，半徑為2的圓上. 如圖：

再來確定點(diǎn)M的軌跡. 由題可知,，∠PBM=45°,，且BM=√2BP.

所以點(diǎn)M可以看做是將點(diǎn)P繞點(diǎn)A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再以點(diǎn)B為位似中心放大√2倍得到的. 因此將點(diǎn)P的軌跡,，即圓P繞點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)45°,，再以點(diǎn)B為中心放大√2倍，得到的就是點(diǎn)M的軌跡.而該圓的圓心就是將點(diǎn)A繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)45°,，再以點(diǎn)B為位似中心放大√2倍得到的.如下左圖：

此時,，AA''=AB=3，A''M=2√2.

當(dāng)點(diǎn)M落在AA''的延長線上時,，AM取最大值,，此時AM=AA'' A''M=2√2 3.

若點(diǎn)M是由點(diǎn)B繞點(diǎn)P沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的，如圖：

此時,，當(dāng)AM取最大值時,，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2-√2，-√2）

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（2015·河南）如圖1,，在Rt△ABC中，∠B=90°,，BC=2AB=8,，點(diǎn)D、E分別是邊BC,、AC的中點(diǎn),，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn),，記旋轉(zhuǎn)角為α．

 （1）問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)α=0°時,，AE:BD=                  ；②當(dāng)α=180°時,，AE:BD=                  ．

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時,，BD:CE的大小有無變化,？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D,，E三點(diǎn)共線時,，直接寫出線段BD的長．

分析：（1）根據(jù)題意作圖如下：

則BD:CE=√5：2.

（2）根據(jù)兩邊成比例且夾角相等,，可證△ACE∽△BCD,，

所以AE:BD=AC:BC=√5：2.

（3）在△CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離始終保持不變.所以點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心,，CD長為半徑的圓上.又∠CDE=90°,，當(dāng)A、D,、E三點(diǎn)共線時,，可得∠ADC=90°.根據(jù)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線可知，AD所在直線即為圓的切線.所以過點(diǎn)A作圓的切線,，切點(diǎn)的位置即為點(diǎn)D的確定位置.如圖：

①如上左圖,，因?yàn)锳B=CD根據(jù)勾股定理可求AD=BC，又,，且∠ABC=90°,，所以四邊形ABCD是矩形，所以BD=AC=4√5.  ②如下圖：設(shè)AD與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.

AB=CD,∠ABF=∠CDF,，∠AFB=∠CFD.所以△ABF≌△CDF

所以AF=CF,，BF=DF.

所以∠CBD=∠ACB.，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G.

則GD:BG=AB:BC=1:2,，設(shè)DG=x,，則BG=2x.所以CG=8-2x.

在Rt△CDG中，CG^2 DG^2=CD^2.

即x^2 (8-2x)^2=4^2,，解得,，x=4（舍去）或x=12/5.

所以BD=√5X=12√5/5.

綜上所述，BD=4√5或BD=12√5/5.

反思：本題的前兩問比較簡單,，難點(diǎn)在于第三問,，而第三問的難點(diǎn)又在于確定點(diǎn)D的位置，進(jìn)而準(zhǔn)確畫出所需圖形.在確定點(diǎn)D的過程中,，根據(jù)A,、D、E三點(diǎn)共線,，且CD⊥DE.利用輔助圓及其切線巧妙地確定了點(diǎn)D的位置.（關(guān)于輔助圓的應(yīng)用可參考以下兩篇文章 （“圓”來如此——輔助圓在解題中的應(yīng)用（一）  ,、   “圓”來如此——輔助圓在解題中的作用（二））