眾所周知,，幾何與物理之間的關(guān)系非常密切,，最出名的例子當(dāng)屬愛因斯坦的廣義相對(duì)論：用幾何上的時(shí)間和空間來描述物理上的引力。本文將試圖描述大自然是如何匯入幾何的,。讓我們用物理學(xué)中的概念從一個(gè)新的視角去看一下數(shù)學(xué)的樣貌,。

首先，我們需要兩個(gè)簡(jiǎn)單的概念：一個(gè)來自數(shù)學(xué),，另一個(gè)來自物理,。數(shù)學(xué)方面的主要概念就是流形（manifold）。如果你之前沒有聽說過流形,，那么你可以想象一個(gè)彎曲且閉合的表面,，比如一個(gè)球??或甜甜圈??的表面,，而流形就是這種形狀在多維空間的推廣。幾何的目的就是要理解不同流形的屬性,，它們之間的關(guān)系,，以及我們用以描述它們的語言。 而在物理方面,，我們唯一需要的就是謙遜的粒子,。我們的計(jì)劃如下：把粒子放在要研究的流形上讓它漫游。通過理解粒子的行為,，我們可以推測(cè)粒子背后的空間（即流形）的各種屬性,。

○ 卡拉比-丘流形。 | 圖片來源： Andrew J Hanson, Indiana University

讓我們從最簡(jiǎn)單的情況開始,，想象一個(gè)滿足經(jīng)典力學(xué)理論的粒子,。這種經(jīng)典粒子平淡無奇，它會(huì)像我們預(yù)測(cè)的一樣：按照空間的軌跡滾動(dòng),。經(jīng)典粒子走過的軌道會(huì)滿足一些特殊的數(shù)學(xué)性質(zhì),，此軌道叫做測(cè)地線（geodesic）。但是這種讓經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的概念非常受限,，無法用來探測(cè)流形深處的東西,。而且這種經(jīng)典粒子的視野非常狹隘，它只能看到它自身周圍的一小塊區(qū)域,，卻對(duì)流行的整體性質(zhì)無從而知,。

如果我們轉(zhuǎn)向量子力學(xué)，事情會(huì)變得更加有趣,。在量子世界里,，粒子不再擁有一個(gè)確定的位置，事情會(huì)變得更加不確定,，我們需要用概率的語言來描述,。在量子力學(xué)中，粒子是用數(shù)學(xué)上的波函數(shù) ψ(x) 來描述的,。波函數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)函數(shù),，而ｘ是一系列坐標(biāo)，用以標(biāo)記流形上的各個(gè)點(diǎn),。粒子在ｘ點(diǎn)的概率正比于 |ψ(x)|2,。量子粒子以概率波的形式散開其實(shí)給了它更強(qiáng)大的能力。這讓量子粒子能感受到它在整個(gè)流形上的軌跡（相比之下,，經(jīng)典粒子只能看到它自身周圍的一小塊區(qū)域）,。它由此可以得知空間的整體結(jié)構(gòu)。量子粒子的態(tài)是由薛定諤方程來描述的：

這個(gè)符號(hào)叫做拉普拉斯算子,。粗略的說,，它表示你需要把 ψ 相對(duì)于所有的相關(guān)自變量做二階微分,。一般情況下，大家第一次見到拉普拉斯算子應(yīng)該是相對(duì)于平直的三維空間 （即 x ≡ (x,y,z) ）做的二階微分,， 

拉普拉斯由此平直三維空間中的形式向不同維度的擴(kuò)展顯而易見,。但更重要的是，拉普拉斯算子也可以向彎曲的流形擴(kuò)展,。這種情況下,，拉普拉斯算子取決于流形的度規(guī)（metric），也就是說此拉普拉斯算子符號(hào)之內(nèi)已經(jīng)包含了流形中不同的點(diǎn)之間的距離的相關(guān)信息,。

在上文的薛定諤方程中,，Ｅ 只是一個(gè)實(shí)數(shù)。物理學(xué)家們會(huì)把它理解為粒子的能量,。這里的核心思想是薛定諤方程并不是對(duì)于任意Ｅ 值都會(huì)有 ψ(x) 解,，而是只對(duì)某些特定的不連續(xù)的Ｅ值有解。而且,，因?yàn)槔绽顾阕?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2017/10/1721/113662176_3_20171017091120880' data-ratio='1' data-s='300,640' data-type='png' data-w='56' src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2017/10/1721/113662176_3_20171017091120880'>取決于我們?cè)谀膫€(gè)空間討論，有解的Ｅ值也一樣由空間決定,。這給我們提供了一個(gè)非常不同的方式去看待幾何,。你給我一個(gè)流形，告訴我它的形狀及曲率（更確切的說,，是拓?fù)浜投纫?guī)）,。用這些信息，我來解薛定諤方程并給回你一列Ｅ 值,。這一系列 E 值叫做拉普拉斯算子譜,，其內(nèi)包含流形的絕大部分信息。這種思維方式叫做譜幾何（spectral geometry）,。

譜幾何還有一個(gè)更接地氣的版本,。數(shù)學(xué)家 Mark Kac 曾在《我們能否聽到鼓的形狀？》一文中提到此版本而讓它聞名于世,。鼓震動(dòng)的頻率也是遵循薛定諤方程的,，只不過此時(shí)要滿足一個(gè)特殊的邊界條件：由鼓的邊緣形狀而定。現(xiàn)在的問題是：如果你已知所有的頻率,，你能反推出鼓的形狀嗎,？答案是不能，但是你可以由此得到很多鼓的形狀的相關(guān)信息,。相似的,，在幾何學(xué)中大家都知道譜的信息未必足以推測(cè)出背后的流形的所有信息。然而,，譜幾何仍是一個(gè)內(nèi)容豐富的學(xué)科,，譜中以非常有趣的形式嵌含了流形的各種不同屬性,。

為了幫助我們更好的理解譜幾何，我們一起來看一個(gè)非常簡(jiǎn)單的流形的例子：圓,。讓我們用維度ｘ標(biāo)記沿圓周的位置,。假設(shè)圓的半徑為Ｒ，我們可知 x ≡ x + 2πR 在此例中,，薛定諤方程非常簡(jiǎn)單,，即

薛定諤方程的解也非常簡(jiǎn)單，即 ψ = exp(inx/R),。此時(shí),，“我們所研究的空間是一個(gè)圓”的信息體現(xiàn)于這一要求：ψ 在圓周上的任一點(diǎn)都只有單一的值，所以ψ(x) = ψ(x+2πR),。由此可知我們必須有,，而此圓（一個(gè)簡(jiǎn)單的流形）的譜則是一個(gè)數(shù)字塔

我們很快還會(huì)回頭再看這個(gè)圓的例子。

雖然我是從量子物理的角度來介紹譜幾何,，但譜幾何學(xué)科并非由物理學(xué)家發(fā)現(xiàn),。不過，值得開心的是譜幾何可以如此自然的融于量子物理的框架中,，而且這二者之間還有更多的關(guān)聯(lián),。比如，一個(gè)更加復(fù)雜的擁有超對(duì)稱性質(zhì)的量子力學(xué)哈密頓量可以很自然的捕捉到流形的德拉姆或者多爾貝上同調(diào),。這樣,，很多微分幾何的偉大結(jié)果就可以用量子物理的語言重述了。這個(gè)方向非常有趣,，但不在本文討論范圍之內(nèi),。本文的重點(diǎn)是要告訴你一些用物理的語言思考幾何時(shí)會(huì)得到的一些新奇東西。

弦論是我們目前所知的能統(tǒng)一引力和量子力學(xué)的一個(gè)最好的假說理論,。弦論的基本概念表面上看起來有些愚蠢：它說在最基礎(chǔ)的層面,，如果你深深的看入每一個(gè)粒子，你將會(huì)看到一個(gè)小小的振動(dòng)的弦圈,。目前,，弦論尚無實(shí)驗(yàn)證據(jù)支持。然而,，弦論是一個(gè)很強(qiáng)大的數(shù)學(xué)框架?，F(xiàn)在我們就拿這個(gè)框架來解釋一些幾何上的問題。我們依舊用之前用過的同樣策略,，問這樣一個(gè)問題：一個(gè)在流形上運(yùn)動(dòng)的弦的能量譜是什么樣的,？

○ 弦的行為。 | 圖片來源： Steuard Jensen, Alma College

讓我們回到圓的例子中。現(xiàn)在弦可以做兩件不同的事情,。第一,，弦可以形成一個(gè)小圈然后繞著圓運(yùn)動(dòng)。因?yàn)?，從遠(yuǎn)處看來,，這個(gè)弦圈就是一個(gè)粒子，顯然此弦圈的能量譜應(yīng)該跟粒子的能量譜一樣,，即：,。但是弦還可以做一些粒子做不到的事情：它可以拉伸自己。你可把弦想象成一條橡皮筋,；拉伸需要能量,，而如果一條弦繞著圓繞了 m 圈，它將會(huì)擁有的能量 ,。這說明繞圓運(yùn)動(dòng)的弦的能量譜包含了兩個(gè)數(shù)字塔：

這兒有一件非常有意思的事,。如果我們把 R 和 1/2πR 互相代換（如下面式子所示），這一系列能量譜將會(huì)保持不變,。

這說明,，如果你得到的只是一個(gè)能量譜，你根本無法判斷這個(gè)流形圓是一個(gè)半徑為 R 的大圓還是一個(gè)半徑為 1/2πR 的小圓,。從弦的視角來看,，這兩個(gè)圓看起來一模一樣！當(dāng)然,，我們此處只是討論了弦的能量譜，但其實(shí)弦的所有屬性都是可以遵循上面式子中的交換而保持不變的,。弦真的是不能區(qū)分大圓和小圓的,。這是一個(gè)美麗的事實(shí)，它的名字卻非常樸實(shí)無華：T 對(duì)偶（T-duality）,。

弦的迷惑不僅存在于圓這個(gè)簡(jiǎn)單的例子中,，也延伸到了其他的流形中。粗略的說,，流形總是成對(duì)存在的,。雖然從粒子的角度來看，這樣一對(duì)中的兩個(gè)流形是非常不同的,，從弦的角度看來,，這一對(duì)中的倆流形可是一模一樣的。（此結(jié)論對(duì)于一類特殊的叫做卡拉比-丘的流形是絕對(duì)正確的,，而對(duì)于其他的流形還有一個(gè)稍微擴(kuò)展的版本）,。但是這兩個(gè)流形之間的關(guān)系并不是如大圓小圓那種簡(jiǎn)單關(guān)系。相反的,，這兩個(gè)流形第一眼看上去并不相關(guān),。大部分時(shí)候,，它們甚至連拓?fù)湫?span>（即流形上的洞的數(shù)量，如甜甜圈有一個(gè)洞）都不同,。

這種流形之間的成對(duì)性叫做鏡面對(duì)稱（mirror symmetry）,。弦不能區(qū)分這兩個(gè)流形其實(shí)反而是弦的一大優(yōu)點(diǎn)。首先,，我們知道流形之間存在非常奇怪且難以預(yù)測(cè)的關(guān)系,。而且，數(shù)學(xué)家們通?？梢詫?duì)其中一個(gè)流形有很多話說,，卻對(duì)另外一個(gè)無話可說。然而,，依照弦論,，這兩個(gè)流形是一樣的；你只是需要用一個(gè)正確的方式去看它們,。關(guān)于第一個(gè)流形的任一（可以回答的）問題都可以告訴你關(guān)于另一個(gè)流形的一些有趣的事,。（嚴(yán)格來說，所有關(guān)于第一個(gè)流形的復(fù)幾何學(xué)領(lǐng)域的問題都可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于另一個(gè)流形的辛幾何學(xué)領(lǐng)域的問題）,。由此,，鏡面對(duì)稱可以變成一個(gè)強(qiáng)大的工具讓我們通過研究配偶流形的方法來探索我們以前不理解的一些流形。

鏡面對(duì)稱是25年前發(fā)現(xiàn)的,。那時(shí)候,，鏡面對(duì)稱成為幾何中最火熱的研究領(lǐng)域之一，吸引了大批數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,。我們需要承認(rèn),，數(shù)學(xué)和物理的研究方式有所不同。物理學(xué)家傾向于不死磕嚴(yán)密性上,，而是更依賴于一些直觀景象來理解大自然該怎樣在一個(gè)推測(cè)的基礎(chǔ)之上建立另一個(gè)推測(cè),。當(dāng)然，數(shù)學(xué)家們?cè)谝粋€(gè)推測(cè)得到嚴(yán)格證明前是不會(huì)滿足的,。鏡面對(duì)稱是少有的但是數(shù)量正在增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家手拉手探索同一個(gè)問題的領(lǐng)域之一,。這種友好合作關(guān)系給數(shù)學(xué)界和物理界都帶來了繁榮。

編輯：霧里熊

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