第一課時

教學目標：

　　1．學會推導并掌握兩個正數的算術平均數與幾何平均數定理,；
　　2．理解定理的幾何意義；
　　3．能夠簡單應用定理證明不等式.

教學重點：均值定理證明

教學難點：等號成立條件

教學方法：引導式

教學過程：

一、復習回顧

　　上一節(jié),，我們完成了對不等式性質的學習,，首先我們來作一下回顧.

（學生回答）

　　由上述性質，我們可以推導出下列重要的不等式.

二,、講授新課

1．  重要不等式：

　　如果

　　證明：

　　當

　　所以,，

　　即

　　由上面的結論，我們又可得到

2．  定理：如果 是正數,，那么

　　證明：∵

　　即

　　顯然,，當且僅當

　　說明：ⅰ）我們稱 的算術平均數，稱 的幾何平均數,，因而,，此定理又可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

　　ⅱ） 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數,，而后者要求 都是正數.

　?、＃爱斍覂H當”的含義是充要條件.

3．均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”.

　　以長為 的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C,， .過點C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么

　　即

　　這個圓的半徑為 ,，顯然，它不小于CD,，即 ,，其中當且僅當點C與圓心重合；即 時,，等號成立.

在定理證明之后,，我們來看一下它的具體應用.

4．  例題講解：

　　例1 已知 都是正數，求證：

　?。?/span>1）如果積 是定值P,那么當 時,，和 有最小值

　　（2）如果和 是定值S,那么當 時,，積 有最大值 證明：因為 都是正數,，所以

　　（1）積xy為定值P時,，有

　　上式當 時，取“=”號,，因此,，當 時，和 有最小值 .

　?。?/span>2）和 為定值S時,，有

　　上式當 時取“=”號，因此，當 時,，積 有最大值 .

　　說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法,，但應注意三個條件：

　　（1）函數式中各項必須都是正數;

　?。?/span>2）函數式中含變數的各項的和或積必須是常數,；

　　（3）等號成立條件必須存在.

　　接下來,，我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用.

三,、課堂練習

　　課本P₁₁練習2，3

　　要求：學生板演,，老師講評.

課堂小結：

　　通過本節(jié)學習,，要求大家掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會應用它證明一些不等式,，但是在應用時,，應注意定理的適用條件.

課后作業(yè)：習題6.2   1，2,，3,，4

板書設計：

第二課時

教學目標：

　　1．進一步掌握均值不等式定理,；
　　2．會應用此定理求某些函數的最值,；
　　3．能夠解決一些簡單的實際問題.

教學重點：均值不等式定理的應用

教學難點：

　　解題中的轉化技巧

教學方法：啟發(fā)式

教學過程：

一、復習回顧

　　上一節(jié),，我們一起學習了兩個正數的算術平均數與幾何平均數的定理,，首先我們來回顧一下定理內容及其適用條件.

（學生回答）

　　利用這一定理，可以證明一些不等式,，也可求解某些函數的最值,，這一節(jié)，我們來繼續(xù)這方面的訓練.

二,、講授新課

　　例2 已知都是正數,，求證：

　　分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用,，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.

　　證明：由 都是正數,，得

　　即

　　例3  某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ,，深為3m,，如果池底每 的造價為150元，池壁每 的造價為120元,，問怎樣設計水池能使總造價最低,，最低總造價是多少元？

　　分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系式,，然后求函數的最值,，其中用到了均值不等式定理.

　　解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元,，根據題意,，得

　　當

　　因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時,，水池的總造價最低,，最低總造價是297600元.

　　評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數學語言的應用即函數解析式的建立,，又是不等式性質在求最值中的應用,，應注意不等式性質的適用條件.

　　為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數最值中的應用，我們來進行課堂練習.

三,、課堂練習

　　課本P₁₁練習1,，4

要    求：學生板演，老師講評.

課堂小結：

　　通過本節(jié)學習,，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數的最值,，并認識到它在實際問題中的應用.

課后作業(yè)：

　　習題6.2    5,6,7

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