（2017 · 全國(guó)I卷模擬理數(shù) ·21）

21．（12分）已知函數(shù),，其中a是實(shí)數(shù),，設(shè)A（x₁，f（x₁））,，B（x₂,，f（x₂））為該函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且x₁＜x₂．

（Ⅰ）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A,，B處的切線互相垂直,，且x₂＜0，求x₂﹣x₁的最小值,；

（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A,，B處的切線重合，求a的取值范圍．

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

（I）利用二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出,；

（II）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，因?yàn)榍芯€互相垂直,，可得,，即（2x₁+2）（2x₂+2）=﹣1．可得，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出,；

（III）當(dāng)x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂時(shí),，∵，故不成立,，∴x₁＜0＜x₂．分別寫出切線的方程,，根據(jù)兩條直線重合的充要條件即可得出，再利用導(dǎo)數(shù)即可得出．

解：（I）當(dāng)x＜0時(shí),，f（x）=（x+1）²+a，

∴f（x）在（﹣∞,，﹣1）上單調(diào)遞減,，在[﹣1，0）上單調(diào)遞增,；

當(dāng)x＞0時(shí),，f（x）=lnx，在（0,，+∞）單調(diào)遞增．

（II）∵x₁＜x₂＜0,，∴f（x）=x²+2x+a，∴f′（x）=2x+2,，

∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)A,，B處的切線的斜率分別為f′（x₁），f′（x₂）,，

∵函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A,，B處的切線互相垂直，

∴,，

∴（2x₁+2）（2x₂+2）=﹣1．

∴2x₁+2＜0,，2x₂+2＞0，

∴=1，

當(dāng)且僅當(dāng)﹣（2x₁+2）=2x₂+2=1,，即,，，時(shí)等號(hào)成立．

∴函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A,，B處的切線互相垂直,，且x₂＜0，求x₂﹣x₁的最小值為1．

（III）當(dāng)x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂時(shí),，∵,，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．

當(dāng)x₁＜0時(shí),，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x₁,，f（x₁）），處的切線方程為,，即．

當(dāng)x₂＞0時(shí),，函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（x₂，f（x₂））處的切線方程為,，即．

函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A,，B處的切線重合的充要條件是，

由①及x₁＜0＜x₂可得﹣1＜x₁＜0,，

由①②得==．

∵函數(shù),，y=﹣ln（2x₁+2）在區(qū)間（﹣1，0）上單調(diào)遞減,，

∴a（x₁）=在（﹣1,，0）上單調(diào)遞減，且x₁→﹣1時(shí),，ln（2x₁+2）→﹣∞,，即﹣ln（2x₁+2）→+∞，也即a（x₁）→+∞．

x₁→0,，a（x₁）→﹣1﹣ln2．

∴a的取值范圍是（﹣1﹣ln2,，+∞）

本題主要考查了基本函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,、基本不等式的性質(zhì)、直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),，考查了推理論證能力,、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí),，考查了函數(shù)與方程,、分類與整合,、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．