一,、問題的提出

《有理數(shù)乘法》屬于《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，是學(xué)生在學(xué)會(huì)有理數(shù)加法后學(xué)習(xí)的又一運(yùn)算類型,，它與有理數(shù)的加法運(yùn)算一樣,，也是以小學(xué)算術(shù)為基礎(chǔ)，即有理數(shù)的乘法運(yùn)算在確定“積”的符號(hào)后,，其實(shí)質(zhì)就是小學(xué)數(shù)學(xué)中的乘法運(yùn)算.因此,，教學(xué)的關(guān)鍵就是如何把中學(xué)有理數(shù)的乘法運(yùn)算化歸為小學(xué)數(shù)學(xué)中的乘法運(yùn)算.由于有理數(shù)的乘法是有理數(shù)最基本的運(yùn)算之一，所以它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ),，也是今后學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)運(yùn)算,、代數(shù)式運(yùn)算、解方程以及函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ).學(xué)好這部分內(nèi)容，對(duì)增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的信心具有十分重要的意義.

由于初一學(xué)生剛接觸負(fù)數(shù),，對(duì)負(fù)數(shù)的意義理解不深,，因此，與小學(xué)數(shù)學(xué)中的乘法比較,，學(xué)生對(duì)含有負(fù)數(shù),，特別是兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘的意義理解，其思維角度變化較大,，思維強(qiáng)度也增大.所以,，本節(jié)課的重點(diǎn)是有理數(shù)乘法法則，難點(diǎn)是法則的生成（特別是符號(hào)法則的生成）.綜上所述,，在有理數(shù)乘法的教學(xué)過(guò)程中,，法則的生成應(yīng)成為課堂教學(xué)中重難點(diǎn)的突破點(diǎn).筆者曾先后聽了《有理數(shù)乘法（1）》的兩節(jié)課，這兩節(jié)課設(shè)計(jì)的教學(xué)框架基本相同,，分為以下三個(gè)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：回顧小學(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)及其運(yùn)算類型,，結(jié)合剛學(xué)完的有理數(shù)的概念、有理數(shù)加法,，提出本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)——“有理數(shù)的乘法”,；

環(huán)節(jié)2：引導(dǎo)學(xué)生在探究中歸納得出有理數(shù)乘法法則；

環(huán)節(jié)3：有理數(shù)乘法法則的簡(jiǎn)單應(yīng)用及從中得出的倒數(shù)的定義.

這兩節(jié)課的不同之處主要在于環(huán)節(jié)2中的細(xì)節(jié)處理上.具體實(shí)施時(shí),，兩節(jié)課都在45分鐘內(nèi)完成了教學(xué),，在學(xué)生的練習(xí)反饋上，學(xué)生似乎也都會(huì)了,，只是兩節(jié)課上學(xué)生在看演示實(shí)驗(yàn)時(shí)的情緒,、表情卻相差很多.聽完課后，筆者又認(rèn)真研究了有理數(shù)乘法法則生成的教學(xué),，反復(fù)觀看這兩位教師的教學(xué)錄像,，追蹤學(xué)生的思維過(guò)程，同時(shí)也調(diào)查了初一學(xué)生對(duì)有理數(shù)乘法的理解,，再反思我們教師的日常教學(xué),，提出自己粗淺的見解，供大家參考.

二,、有理數(shù)乘法法則生成的教學(xué)情境

情境A

問題1：小學(xué)時(shí)我們學(xué)了哪些數(shù),？學(xué)了哪些運(yùn)算？我們從小學(xué)升到中學(xué),，又學(xué)了什么數(shù),？又學(xué)了什么運(yùn)算？

問題2：小學(xué)時(shí),，我們已經(jīng)熟悉了正數(shù)及0的乘法運(yùn)算,，引入負(fù)數(shù)以后,，怎樣進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算呢？（出示課題）

問題3：如圖1,，一只蝸牛沿直線l爬行,，它現(xiàn)在的位置恰好在點(diǎn)O上.我們規(guī)定：向左為負(fù)，向右為正,，現(xiàn)在前為負(fù),，現(xiàn)在后為正.看看它以相同速度沿不同方向運(yùn)動(dòng)后的情況吧！（借助多媒體技術(shù),，逐一進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示）

由上可知：

（1）2×3=____,；

（2）（-2）×3=____；

（3）（+2）×（-3）=____,；

（4）（-2）×（-3）=____,；

（5）兩個(gè)數(shù)相乘，一個(gè)數(shù)是0時(shí),，結(jié)果為0.教師進(jìn)行動(dòng)畫演示,，要求學(xué)生在觀察的同時(shí)完成填空.

問題4：觀察上面的式子，你有什么發(fā)現(xiàn),？能說(shuō)出有理數(shù)乘法法則嗎,？

隨后教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出法則.

情境B

問題1：我們小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)了正數(shù)和0的四則運(yùn)算及其運(yùn)算律，升入中學(xué)后又學(xué)了什么數(shù),、什么運(yùn)算,？還應(yīng)學(xué)什么運(yùn)算呢,？教師出示課題.

問題2：有理數(shù)按其性質(zhì)符號(hào)可分為哪幾類,？由此，請(qǐng)同學(xué)們想一想有理數(shù)相乘會(huì)有幾種類型,？除去小學(xué)時(shí)已經(jīng)會(huì)的正數(shù)乘正數(shù),、正數(shù)乘以0后，若將其余的情形沿用小學(xué)已學(xué)的乘法交換律,，又可簡(jiǎn)化為幾種,？（教師將學(xué)生的結(jié)論寫在黑板上，指出今天的學(xué)習(xí)任務(wù)即為解決負(fù)數(shù)乘正數(shù),、負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù),、負(fù)數(shù)乘0的問題）

問題3：同學(xué)們能將今天的任務(wù)具體到三道題目嗎？（教師將學(xué)生任意出的相應(yīng)的題出示在題板上：（-6）×（+5）,，（-7）×0,，（-2）×（-3），再提問）這些題怎么算呢,？教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這三道題逐一進(jìn)行分析討論.

首先研究（-6）×（+5）：

生1：（-6）×（+5）=-30.

教師問：為什么呢,？

生1：5×6=30，而-6有負(fù)號(hào)嘛.

生2：根據(jù)法則嘛.

生3：因?yàn)?6的絕對(duì)值大于+5的絕對(duì)值，所以結(jié)果為負(fù).

生4：根據(jù)小學(xué)的經(jīng)驗(yàn),，（-6）×（+5）就表示5個(gè)（-6）相加,，和是-30.

教師與學(xué)生共同分析得出，生4的方法最合理.

接著研究（-7）×0：

生齊答：任何數(shù)與0相乘都得0.

最后研究（-2）×（-3）：

生5：（-2）×（-3）=+6.

師：為什么不是-6呢,？能否也用小學(xué)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考,？

教師引導(dǎo)學(xué)生一起尋求解題的思路：首先，（-2）×0=0,，而怎樣的兩個(gè)數(shù)相加會(huì)得0呢,？比如（-3）+（+3）=0，所以（-2）與0相乘就可以看成（-2）與（-3）+（+3）相乘,，依據(jù)小學(xué)時(shí)的分配律,，就等于（-2）×（-3）+（-2）×（+3），由前面可知,，（-2）×（+3）=（-2）+（-2）+（-2）=-6,，所以（-2）×（-3）就是-6的相反數(shù)+6，即（-2）×（-3）=+6.

問題4：以上三道題的解決都沿用了同學(xué)們小學(xué)時(shí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí),，也就是在假設(shè)小學(xué)的運(yùn)算律對(duì)中學(xué)的有理數(shù)仍能適用的前提下得到的,，那么，所得的答案是否符合實(shí)際情形呢,？請(qǐng)同學(xué)們觀察以下實(shí)驗(yàn)：如圖1,，一只蝸牛沿直線l爬行，它現(xiàn)在的位置恰好在點(diǎn)O上.我們規(guī)定：向左為負(fù),，向右為正,，現(xiàn)在前為負(fù)，現(xiàn)在后為正.看看它以相同速度沿不同方向運(yùn)動(dòng)后的情況吧?。ń柚嗝襟w技術(shù),，逐一進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示）

問題5：觀察上面實(shí)驗(yàn)中得出的式子，再結(jié)合我們剛才假設(shè)下得出的結(jié)論,，你有什么發(fā)現(xiàn),？由此，你能總結(jié)出關(guān)于有理數(shù)乘法的規(guī)則嗎,？

隨后教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出法則.

三,、兩節(jié)有理數(shù)乘法法則生成課例的教學(xué)反思

1.有理數(shù)乘法法則為什么要從符號(hào)和絕對(duì)值兩方面進(jìn)行規(guī)定

在課余，筆者曾口頭調(diào)查過(guò)一些學(xué)生,，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的回答很不一致：

生1：課本中的法則就是這么寫的.

生2：這樣會(huì)好記些吧,？老師讓大家就是先定符號(hào)再定絕對(duì)值的.

生3：因?yàn)橛欣頂?shù)加法的法則也是從這兩方面進(jìn)行定義的，乘法也差不多吧.

顯然,，這些回答都是“答非所問”,，原因就是很多學(xué)生根本沒有思考過(guò)這個(gè)問題,，或者教師在課堂上也根本沒問過(guò)這個(gè)問題.所以，學(xué)生對(duì)于這法則的得出,，或是源于教師的課堂教學(xué),，或者就是從書上看來(lái)的，而很少有從有理數(shù)本身的角度去研究有理數(shù)乘法法則的.反思這兩節(jié)課中法則的生成過(guò)程,，兩位教師都是從已有知識(shí)出發(fā),，通過(guò)探究，歸納出法則,，再到鞏固應(yīng)用,，而缺少了一個(gè)環(huán)節(jié)——讓學(xué)生歸納出法則后，再得出有理數(shù)與有理數(shù)相乘后所得的積仍是有理數(shù),，所以法則的實(shí)質(zhì)就是為了確定“積”這個(gè)有理數(shù).事實(shí)上,，有理數(shù)的加、減,、乘,、除的結(jié)果都仍是有理數(shù)，我們的教師若能在生成法則后都及時(shí)進(jìn)行這一本質(zhì)的回歸,，則既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,，又能對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力起到積極的效果.

2.有理數(shù)乘法法則與有理數(shù)加法法則之間的遷移關(guān)系

有理數(shù)乘法是繼有理數(shù)加法后的又一運(yùn)算類型，它與加法都屬于有理數(shù)的基本運(yùn)算,，學(xué)生剛學(xué)完有理數(shù)的加法,，體驗(yàn)到有理數(shù)的運(yùn)算來(lái)源于生活又用于解決實(shí)際問題，能讓學(xué)生對(duì)后續(xù)的有理數(shù)的運(yùn)算產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力,；有理數(shù)的加法法則是從符號(hào)和絕對(duì)值兩方面進(jìn)行考慮的,，這有利于有理數(shù)乘法法則歸納思路的形成；小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)的加法運(yùn)算律對(duì)有理數(shù)加法仍能適用,，這種經(jīng)驗(yàn)對(duì)于研究有理數(shù)乘法法則也是很有用的.這些都是正遷移,，這種遷移能讓學(xué)生將面臨的新問題與已經(jīng)會(huì)的舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)學(xué)習(xí)，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)很有幫助.但是,，有理數(shù)乘法與加法畢竟不同，在研究有理數(shù)的乘法法則時(shí),，有理數(shù)加法的法則也會(huì)對(duì)其造成負(fù)遷移.因?yàn)閮蓚€(gè)法則都是從符號(hào)和絕對(duì)值兩部分進(jìn)行規(guī)定,，特別是符號(hào)部分，都分同號(hào)與異號(hào)兩種情形,，而已經(jīng)學(xué)過(guò)的加法法則容易對(duì)剛學(xué)的乘法法則造成記憶上的干擾,，正如情境B中生3的回答，正是將加法法則用于解決乘法問題的錯(cuò)誤例子.我們知道,，所有的新知識(shí)的學(xué)習(xí)都涉及遷移,，先前的知識(shí)可以幫助或妨礙學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí),，因此，我們教師要善于通過(guò)分析,、研究新舊知識(shí)在內(nèi)容與方法上的聯(lián)系與區(qū)別,，以幫助學(xué)生全面、準(zhǔn)確,、深刻地了解所學(xué)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)特征以及知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,，促進(jìn)新舊知識(shí)的積極遷移.

3.利用數(shù)軸通過(guò)蝸牛運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)對(duì)生成有理數(shù)乘法法則的有效性

提出這一問題，主要源于有理數(shù)加法與有理數(shù)乘法本質(zhì)上的不同及學(xué)生的實(shí)際反饋.眾所周知,，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)主要來(lái)源于兩個(gè)方面：一是已有知識(shí),，二是生活實(shí)踐.從本質(zhì)上看，相對(duì)而言,，有理數(shù)加法與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系的更直接,，也就更能體現(xiàn)一種直觀上的累積，所以有理數(shù)加法法則的生成,，先從計(jì)算足球賽的凈勝球數(shù)等許多的生活實(shí)例引入,，主要是借助數(shù)軸上一個(gè)物體的左右運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)直接得出的，直觀而有效.而有理數(shù)乘法則不同,，它是在保持小學(xué)已有的乘法及其運(yùn)算律不變的基礎(chǔ)上,，對(duì)運(yùn)算中數(shù)的范圍擴(kuò)大到有理數(shù)后的情形.所以，有理數(shù)乘法法則的生成過(guò)程,，從本質(zhì)上看就是數(shù)理上的探索過(guò)程,，也就應(yīng)該考慮數(shù)學(xué)本身的繼承與發(fā)展.對(duì)于有理數(shù)乘法法則，學(xué)生相關(guān)的已有知識(shí)主要有：小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)的正數(shù)與正數(shù)相乘,，正數(shù)與0相乘及乘法交換律,、分配律，中學(xué)里剛學(xué)完的有理數(shù)的加法法則及其從符號(hào)和絕對(duì)值兩方面進(jìn)行歸納的思路.本節(jié)教材也仍然借助數(shù)軸來(lái)研究有理數(shù)的乘法,，兩節(jié)課中教師也都用到了,，不同的是：情境A中，教師將該實(shí)驗(yàn)作為法則生成的主要載體,；情境B中,，教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶小學(xué)時(shí)已學(xué)的乘法知識(shí)，接著假設(shè)這些知識(shí)在有理數(shù)范圍內(nèi)仍能適用,，巧妙地推理出運(yùn)算結(jié)果,，然后去猜想有理數(shù)乘法法則，再利用該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證,，最后師生一起提煉出數(shù)系擴(kuò)大到有理數(shù)范圍后的乘法法則.在課后,，筆者也曾向?qū)W生了解他們對(duì)該實(shí)驗(yàn)的評(píng)價(jià)，許多學(xué)生覺得實(shí)驗(yàn)中既要分時(shí)間上的先后又要分方向上的左右,，覺得很麻煩,，用學(xué)生的原話概括：暈乎乎的,！其實(shí)，不僅是學(xué)生覺得理解有困難,，就是教師本身在演示過(guò)程中出現(xiàn)表述不清的現(xiàn)象也很常見.因此,，筆者認(rèn)為本節(jié)教材中的數(shù)軸實(shí)驗(yàn)只宜用于驗(yàn)證.值得一提的是，在情境B的生成過(guò)程中,，學(xué)生不僅收獲了法則的生成,，同時(shí)更經(jīng)歷了一次很有意義的理性思維過(guò)程，其思維能力無(wú)疑也得到了提升.

總之,，有理數(shù)乘法作為有理數(shù)基本運(yùn)算之一,，因其有負(fù)數(shù)的參與，學(xué)生對(duì)它的學(xué)習(xí)往往會(huì)產(chǎn)生許多問題.如果我們教師能在教學(xué)素材的選用上優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容,，在引導(dǎo)問題的啟發(fā)性上盡量讓學(xué)生感受和體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程,，在數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用上注重分類討論、數(shù)形結(jié)合,、類比等思想方法的滲透,，在知識(shí)的拓展與創(chuàng)新上重視知識(shí)的積極遷移，讓學(xué)生在探究中培養(yǎng)起理性思考能力,，對(duì)學(xué)生后續(xù)研究有理數(shù)以及實(shí)數(shù)等的相關(guān)運(yùn)算都將起到積極的作用.